El método gráfico es un procedimiento de solución de problemas de programación lineal, muy limitado en cuanto al número de variables (2 si es un gráfico 2D y 3 si es 3D) pero muy rico en materia de interpretación de resultados e incluso análisis de sensibilidad. Este consiste en representar cada una de las restricciones y encontrar en la medida de lo posible el polígono (poliedro) factible, comúnmente llamado el conjunto solución o región factible, en el cual por razones trigonométricas en uno de sus vértices se encuentra la mejor respuesta (solución óptima).
El problema
La fábrica de Hilados y Tejidos «SALAZAR» requiere fabricar dos tejidos de calidad diferente T y T’; se dispone de 500 Kg de hilo a, 300 Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c. Para obtener un metro de T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72 gr de c; para producir un metro de T’ por día se necesitan 200 gr de a, 100 gr de b y 27 gr de c. El T se vende a $4000 el metro y el T’ se vende a $5000 el metro. Si se debe obtener el máximo beneficio, ¿Cuántos metros de T y T’ se deben fabricar?
Modelamiento mediante programación lineal
Variables
XT: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T a fabricar
XT’: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T’ a fabricar
Restricciones
0,12XT + 0,2XT’ <= 500 Hilo “a”
0,15XT + 0,1XT’ <= 300 Hilo “b”
0,072XT + 0,027XT’ <= 108 Hilo “c”
Las restricciones de no negatividad no son necesarias en este ejemplo dado que se trata de un ejercicio de maximización, cuando el ejercicio sea de minimización lo más recomendado es incluirlas.
Función objetivo
ZMAX = 4000XT + 5000XT’
Solución mediante método gráfico
Paso 1: Graficar las restricciones
Para iniciar con el trazado de las restricciones es indispensable igualar las restricciones a 0, de esta manera podemos mediante despeje de ecuaciones iniciar con la tabulación que nos otorgará las coordenadas para esbozar cada una de las gráficas. Además dado que se trabajará en el plano cartesiano sería prudente renombrar las variables
XT = x
XT’ = y
Igualamos las restricciones,
0,12X + 0,2y = 500
0,15X + 0,1y = 300
0,072X + 0,027y = 108
Acto seguido iniciamos con la primera restricción, hallamos las primeras dos coordenadas. Para hallar las coordenadas regularmente llevamos una de las variables a cero, para de esta manera despejar más fácilmente la segunda.
Por ejemplo, para un x = 0
0,12(0) + 0,2y = 500
0,2y = 500
500/0,2 = y
2500 = y
y para un y = 0
0,12x + 0,2(0) = 500
0,12x = 500
x = 500/0,12
x = 4167
Seguimos con la segunda restricción
En el siguiente gráfico se muestra el polígono solución de color gris, en este conjunto es donde cada coordenada cumple con todas las restricciones, las cuales se caracterizan por ser restricciones de menor o igual y esta característica se representa con una flecha hacía abajo.
Una vez se llega a este punto es indispensable saber que las soluciones óptimas se alojan en los vértices del polígono solución (color gris) y que identificar a la solución óptima es cuestión de elegir la mejor alternativa dependiendo de las herramientas disponibles (tecnológicas y conocimientos matemáticos).
La primera opción es la geométrica, esta depende de trazar la ecuación que representa a la función objetivo (este paso consiste en realizar el mismo procedimiento de las restricciones).
Función objetivo,
ZMAX = 4000x + 5000y
luego igualamos a 0.
4000x + 5000y = 0
Luego tabulamos para obtener las coordenadas necesarias para esbozar la gráfica correspondientes a la ecuación (en esta ocasión es recomendable más de dos coordenadas, incluyendo la coordenada (x = 0, y = 0).
Una vez se ha esbozado la función objetivo (línea negra) sacamos replicas paralelas a esta que se encuentren con cada vértice, y solo en el caso en que la línea imaginaria paralela a la función objetivo no corte el polígono solución se ha encontrado la solución óptima. En otras palabras trasladamos la función objetivo por todo el polígono conservando su forma paralela con la original, la detenemos en los vértices y evaluamos si esta corta o no el conjunto solución.
Claramente solo en el punto «B», es decir en el vértice formado por la intersección de las ecuaciones 1 y 2, la línea imaginaria no corta el polígono solución, entonces es este punto el correspondiente a la coordenada óptima.
Para hallar el valor de esta coordenada es indispensable recurrir a la resolución de ecuaciones lineales 2×2, y se pueden considerar varios métodos de solución entre ellos:
- Método por sustitución
- Método por igualación
- Método por reducción o Eliminación
- Método por eliminación Gauss
- Método por eliminación Gauss – Jordán
- Método por determinantes
Así entonces, se dispone de gran cantidad de métodos, uno de los más utilizados es el método de reducción o eliminación, el cual es muy sencillo de aplicar.
El método por reducción o eliminación consiste en igualar los coeficientes de una de las variables multiplicando una o las dos ecuaciones, teniendo en cuenta que estos coeficientes queden iguales pero con signos contrarios.
Ecuación 1 0,12x + 0,2y = 500
Ecuación 2 0,15x + 0,1y = 300 multiplicamos por (-2)
Ecuación 3 (2*(-2)) -0,30x – 0,2y = -600
Sumamos 1 y 3 -0,18x = -100
Despejamos «x» x = -100 / (-0,18)
x = 555,55
luego reemplazamos x = 555,55 en cualquiera de las dos ecuaciones originales con el objetivo de despejar «y».
Ecuación 1 0,12x + 0,2y = 500
Reemplazamos «x» 0,12(555,55) + 0,2y = 500
Despejamos «y» 66,666 + 0,2y = 500
0,2y = 500 – 66,666
0,2y = 433,334
y = 433,334 / 0,2
y = 2166,67
De esta forma hemos obtenido los valores para «x» y «y».
Recordemos que x y y fueron los nombres que recibieron las variables originales XT y XT’
x = XT
y = XT’
XT = 555,55
XT’ = 2166,67
y la contribución obtenida (reemplazando las variables en la función objetivo) es de:
Zmax = 4000XT + 5000XT’
Zmax = 4000(555,55) + 5000(2166,67)
Zmax = 13.055.550
Ahora podemos cotejar los resultados con los obtenidos mediante resolución por Solver – Excel, sin embargo recuerden que el método de búsqueda de la solución óptima en el método gráfico que utilizamos es el geométrico y que existe una posibilidad mucho más compleja pero igualmente efectiva, este es el método de iteración por vértice, y que consiste en hallar todas las coordenadas de los vértices y luego en cada coordenada se evalúa la función objetivo, (cada coordenada nos proporciona un valor en «x» y otro en «y», luego reemplazamos estos valores en la función objetivo «4000x + 5000y = ?» y luego evaluamos los resultados seleccionando la mayor cantidad).
Variantes en el método gráfico
Como en la mayoría de los casos, el ejemplo con el que aquí se explicó el método gráfico es el ideal, es decir un ejercicio de conjunto acotado con solución óptima única, sin embargo existen una variedad de problemas diferentes a los ideales y que vale la pena analizar:
Solución óptima múltiple
Una de las variantes que puede presentar un ejercicio de programación lineal consiste en la cantidad de soluciones óptimas halladas, ya que gran cantidad de modelos presenta más de una solución óptima, es decir una solución en la cual la función objetivo es exactamente igual en una combinación cuantitativa de variables diferente.
Estos problemas deben de afrontarse de tal manera que prime el análisis de sensibilidad, es decir una vez encontradas múltiples soluciones iguales se debe proceder al comportamiento del consumo de los recursos y restricciones, evidentemente prevaleciendo el concepto de productividad de los recursos más limitados y costosos.
Un ejemplo de este caso es el siguiente:
La ebanistería «SALAZAR LTDA» ha recibido una gran cantidad de partes prefabricadas para la elaboración de mesas, sin embargo no ha podido iniciar un plan de producción enfocado a estas por la alta demanda que tiene de sus productos restantes. Las mesas que pueden elaborarse de las partes prefabricadas son de dos modelos, modelo A y B, y estas no requieren más que ser ensambladas y pintadas. Esta semana se ha determinado dedicar 10 horas de ensamble y 8 de pintura para elaborar la mayor cantidad de mesas posibles teniendo en cuenta que cada mesa modelo A requiere de 2 horas de ensamble y 1 de pintura respectivamente, y que cada mesa modelo B requiere de 1 hora de ensamble y 2 de pintura respectivamente. Si el margen de utilidad es de $20000 por cada mesa modelo A y $10000 por cada mesa modelo B. Determine el modelo adecuado de producción para esta semana.
Variables
X = Cantidad de mesas modelo A a fabricar esta semana
Y = Cantidad de mesas modelo B a fabricar esta semana
Restricciones
2X + Y <= 10 «Horas de ensamble»
X + 2Y <= 8 «Horas de pintura»
X, Y => 0 «De no negatividad»
Función objetivo
Zmax = 20000X + 10000Y
La gráfica resultante sería:
Como nos podemos dar cuenta mediante la geometría en dos vértices la línea imaginaria perpendicular a la función objetivo no atraviesa el conjunto solución, por ende en dos puntos se presentan soluciones óptimas, que son los puntos B y C.
Y vamos más allá, ya que el teorema fundamental de la programación lineal nos dice que: «Si una función alcanza el valor objetivo en dos vértices consecutivos de la región factible, entonces alcanza también dicho valor óptimo en todos los puntos del segmento de la recta que los une«.
Es decir, ya que B y C son vértices óptimos consecutivos, todos los puntos de la recta que los une son óptimos.
Observemos la solución óptima múltiple en los dos vértices:
Z(0) = 20000(0) + 10000(0) = 0
Z(A) = 20000(0) + 10000(4) = $40000
Z(B) = 20000(4) + 10000(2) = $100000
Z(C) = 20000(5) + 10000(0) = $100000
Existen entonces dos soluciones óptimas
Solución óptima 1
X = 4 Y = 2
Solución óptima 2
X = 5 Y = 0
La pregunta siguiente es ¿Cuál decisión tomar?, pues depende de factores tales como una análisis de sensibilidad donde se tenga en cuenta el consumo distinto de determinados recursos (horas ensamble vs. horas pintura) y factores extras al modelo como lo puede llegar a ser en este caso una necesidad de espacio de almacenamiento, dado que existe una alternativa en la que se elaboran más mesas que en la otra, de todas formas es interesante el paso posterior a esbozar los resultados pues requerirá de la capacidad de quien toma las decisiones.
Solución óptima no acotada
Otra de las variantes que presentan los modelos de programación lineal corresponde a los modelos de solución óptima no acotada, es decir problemas con infinitas soluciones óptimas. Hay que reconocer que en la vida real gran parte de estos problemas se deben a un mal planteamiento de las restricciones, sin embargo es común que este tipo de problemas sean evaluados en la vida académica.
Un ejemplo:
La compañía comercializadora de bebidas energéticas «WILD» se encuentra promocionando dos nuevas bebidas, la tipo A y la tipo B, dado que se encuentran en promoción se puede asegurar el cubrimiento de cualquier cantidad de demanda, sin embargo existen 2 políticas que la empresa debe tener en cuenta. Una de ellas es que la cantidad de bebidas tipo A que se vendan no puede ser menor que las de tipo B, y la segunda es que se deben de vender por lo menos 1500 bebidas de cualquier tipo.
Dado que se encuentran en promoción el precio de venta de ambas bebidas equivale a $1800 pesos.
Determine la cantidad de unidades que deben venderse.
Variables
X = Cantidad de bebidas tipo A a vender
Y = Cantidad de bebidas tipo B a vender
Restricciones
X => Y
X + Y => 1500
Función Objetivo
Zmax = 1800X + 1800Y
La gráfica resultante sería:
Es claro que en este ejercicio las variables pueden aumentar mejorando indefinidamente la función objetivo, en estos casos se dice que la solución óptima no es acotada, por lo cual las posibles soluciones son infinitas.
Solución infactible
El caso de la solución infactible es más típico de lo pensado, y corresponde a los casos en los cuales no existen soluciones que cumplen con todas las restricciones. Es muy común ver este fenómeno producto de inviables proporciones de oferta y demanda.
Un ejemplo:
La compañía de galletas «CAROLA» desea planificar la producción de galletas que tendrá que entregar a su cliente en dos semanas, el contrato indica que la compañía «CAROLA» se compromete a entregar por lo menos 300 cajas de galletas cualquiera sea su tipo (presentación D, presentación N o una combinación de ambas presentaciones), cada caja de galletas presentación D tiene un tiempo de elaboración de 2 horas, y un tiempo de horneado de 3 horas, mientras cada caja de presentación N tiene un tiempo de elaboración de 3 horas y un tiempo de horneado de 1 hora. La compañía cuenta estas dos semanas con 550 horas para elaboración y con 480 horas de horneado. Teniendo en cuenta que el margen de utilidad de cada caja de galletas presentación D y N es de $8500 y $8100 respectivamente, determine mediante un modelo de programación lineal el plan de producción que maximice las utilidades.
Variables
X = Cantidad de cajas de galletas presentación D a producir en 2 semanas
Y = Cantidad de cajas de galletas presentación N a producir en 2 semanas
Restricciones
2X + 3Y <= 550
3X + Y <= 480
X + Y => 300
Función Objetivo
Zmax = 8500X + 8100Y
La gráfica resultante es la siguiente:
Evidentemente, no existe forma alguna de satisfacer todas las restricciones, por ende se concluye que no existe solución factible.
Restricciones redundantes o sobrantes
Existen en los modelos de programación lineal un tipo de restricciones que no juegan rol alguno en la determinación del conjunto solución (de igual manera en la solución óptima), lo que lleva a deducir que estas son redundantes.
Por ejemplo:
La compañía «CONGELADORES MAJO» pretende fabricar dos tipos de congeladores denominados A y B. Cada uno de ellos debe pasar por tres operaciones antes de su comercialización: Ensamblaje, pintura y control de calidad. Los congeladores tipo A requieren 2 horas de ensamblaje, 3 kg de pintura y 4 horas de control de calidad; los congeladores tipo B requieren 3 horas de ensamblaje, 6 kg de pintura y 5 horas de control de calidad. El margen contributivo por cada congelador tipo A y B es de $102000 y $98000 respectivamente. La compañía dispone como máximo semanalmente 300 horas de ensamblaje, 840 kg de pintura y 450 horas de control de calidad. Con base en la información suministrada determine las unidades a producir semanalmente de cada referencia para maximizar las utilidades.
Variables
X = Cantidad de congeladores tipo A a producir semanalmente
Y = Cantidad de congeladores tipo B a producir semanalmente
Restricciones
2X + 3Y <= 300
3X + 5Y <= 840
4X + 5Y <= 450
Función Objetivo
Zmax = 102000X + 98000Y
La gráfica resultante es la siguiente,
La solución óptima corresponde a:
X = 150
Y = 0
y la función objetivo quedaría.
Zmax = $15300000
Claramente podemos observar como la restricción 1 y la restricción 2 no determinan el conjunto solución, por ende se denominan restricciones redundantes o sobrantes.
