Las variables binarias son un artificio matemático que permite que modelos de programación no lineal se resuelvan como tal. El buen uso de las variables binarias se convierte en una poderosa herramienta matemática para plantear problemas más complejos que los que habitualmente se resuelven acudiendo a las variables continuas.
Como su nombre lo indica, una variable binaria es aquella que puede tomar valores ya sea de cero (0) o uno (1), esta idea tan simple puede convertirse en una ayuda fundamental tanto para la modelación, como para la resolución de los problemas. Un ejemplo de ello puede ser el caso en el que determinado producto puede producirse o no, también un centro de distribución que puede abrirse o no.
El fundamento económico que más se presta para ser resuelto mediante el uso de variables binarias es el de Costo Fijo, el cual es fijo por cantidad y variable por unidad, pero depende si el recurso relacionado al costo se usa, o no, por ejemplo, el costo de arrendamiento de una bodega, el cual se cobrará a partir de la producción de cualquier unidad, pero no se cobrará si no se produce unidad alguna (no se hace uso de la bodega).
Otra ejemplo de la aplicación de las variables binarias se puede apreciar cuando en el sistema existen restricciones excluyentes (condicionadas la una de la otra), es decir, que a partir de la satisfacción de una condición no se hace necesario el cumplimiento de la otra condición. Por ejemplo, si se desea lanzar una producción de calzado en el cual se tenga que decidir alquilar un equipo de inyección y en el mercado existen dos alternativas de maquinarias pero solo una es contratable, en este caso se planeará la producción con las capacidades y costos asociados a cada equipo, sin embargo ambas restricciones son excluyentes, es decir solo se aplicará una de las dos.
El caso de la Bauxita
Los resultados del problema deben de determinar las rutas que se emplearán para realizar la distribución de materias primas y producto terminado, además de determinar que plantas de procesamiento operan o no (para lo cual hay que hacer uso de las variables binarias) con el objetivo de satisfacer todas los requerimientos de los clientes al menor costo total posible.
Una compañía multinacional de aluminio tiene depósitos de bauxita (materia prima) en tres lugares del mundo A, B y C. Tiene además cuatro plantas donde la bauxita se convierte en alúmina (un producto intermedio), en lugares B, C, D y E. También tiene plantas de esmaltado en los lugares D y E. El proceso de conversión de la bauxita en alúmina es relativamente poco costoso. El esmaltado, sin embargo, es costoso puesto que se requiere de un equipo electrónico especial. Una tonelada de alúmina produce 0.4 toneladas de aluminio terminado. Los datos siguientes están disponibles.
Conversión de Bauxita en alúmina
Proceso de esmaltado
Las ventas anuales de aluminio terminado son de 1000 toneladas (ton) en la planta D y 1200 ton en la planta E.
Costos de transporte en $/ton de Bauxita
Los números que aparecen ordinalmente enseguida de cada fuente y destino serán utilizados para definir las variables.
Costos de transporte de alúmina, en $/ton de alúmina
Los lingotes de producto terminado no se transportan entre D y E y viceversa. Formule y resuelva un modelo de optimización para determinar la mejor red – configuración y diseño de la cadena de abastecimiento presentada.
Note que existe un problema de determinar cuáles plantas de alúmina deben ser abiertas.
Variables de decisión
Las variables de decisión se plantearán mayoritariamente en relación a las unidades a transportar desde un nodo hacia el otro.
Una muy buena manera de llamar a las variables es sugerido en la anterior gráfica (X(ij) – Y(jk) – W(j)). Por ende las variables de decisión serán:
Xij = Cantidad de toneladas de bauxita a transportar desde la mina i hacia la planta de alúmina j por año; donde i {A,B,C} y j {B,C,D,E}.
Yjk = Cantidad de toneladas de alúmina a transportar desde la planta de alúmina j hacia la planta de esmaltado k por año; donde j {B,C,D,E} y k {D,E}.
Hasta este punto todo es normal, sin embargo es necesario determinar una serie de variables binarias que indicarán que plantas de alúmina se abrirán o no, además estas estarán asociadas a los costos fijos generados por la apertura de cada planta en la función objetivo.
Wj = 1, si la planta j se abre, de lo contrario 0; donde j {B,C,D,E}. (Variable Binaria).
Restricciones
Restricciones por capacidad anual de cada mina de Bauxita
Mina A: XAB + XAC + XAD + XAE ≤ 36000
Mina B: XBB + XBC + XBD + XBE ≤ 52000
Mina C: XCB + XCC + XCD + XCE ≤ 28000
Es decir que todos los envíos efectuados desde cada mina hacia cualquiera de los cuatro destinos no puede exceder la capacidad de cada mina.
Restricciones por capacidad anual de procesamiento de Bauxita en cada planta de alúmina
Planta B: XAB + XBB + XCB ≤ 40000WB
Planta C: XAC + XBC + XCC ≤ 20000WC
Planta D: XAD + XBD + XCD ≤ 30000WD
Planta E: XAE + XBE + XCE ≤ 80000WE
Estas restricciones aseguran que los enviados realizados desde cualquiera de las minas hacia cada planta específica sean menores o iguales a los que cada planta pueda procesar, además la capacidad de cada planta va acompañada de la variable binaria que le corresponde, es decir que como el valor que puede adquirir cada variable binaria es 1 o 0, cuando esta sea 1 (la planta se abre) la capacidad se multiplicará por uno (1) es decir que no se altera, pero cuando esta variable adquiera el valor de 0 (la planta no se abre) la capacidad se multiplicará por cero (0) es decir que la capacidad quedará reducida a 0 por ende no se podrán enviar unidades a esa planta.
Restricciones por capacidad anual de procesamiento de alúmina en cada planta de esmaltado
En este conjunto de restricciones no se utilizarán las variables correspondientes a las de envío de Bauxita (X) sino las correspondientes al envío de Alúmina (Y), en las restricciones de balanceo representaremos la equivalencia dado el rendimiento que tiene la Bauxita de cada mina para convertirse en alúmina.
Planta D: YBD + YCD + YDD + YED ≤ 4000
Planta E: YBE + YCE + YDE + YEE ≤ 7000
Es decir que todos los envíos de alúmina hacia las plantas de esmaltado no superen cada una de las capacidades de procesamiento de las mismas.
Restricciones por las ventas anuales de aluminio terminado en cada planta de esmaltado
En este caso se debe recordar que existe una equivalencia entre la alúmina y el aluminio terminado (equivalencia determinada por el rendimiento de la alúmina para fabricar aluminio que es del 40%, «una tonelada de alúmina produce 0.4 toneladas de aluminio terminado»). Entonces podemos usar las variables de toneladas de alúmina con su debida equivalencia para elaborar las restricciones de demanda.
Planta D: 0,4(YBD + YCD + YDD + YED) = 1000
Planta E: 0,4(YBE + YCE + YDE + YEE) = 1200
Restricciones de balance
Como lo mencionamos en módulos anteriores las restricciones de balance tienen lugar en los nodos de transbordo, es decir, en los nodos que no son de oferta o demanda pura. Como en este nodo entran variables que representan toneladas de Bauxita y salen variables que representan alúmina se debe de aplicar el rendimiento correspondiente para realizar la conversión.
0.060XAB + 0.080XBB + 0.062XCB = YBD + YBE
0.060XAC + 0.080XBC + 0.062XCC = YCD + YCE
0.060XAD + 0.080XBD + 0.062XCD = YDD + YDE
0.060XAE + 0.080XBE + 0.062XCE = YED + YEE
Al introducir estos datos en software como WinQSB debemos saber que al lado derecho del signo igual o el signo de la inecuación no deben ir variables, por ende estas pasan a restar al lado izquierdo, igualando la ecuación a cero (0).
Restricciones obvias
Las cuales determinan la naturaleza de las variables
Xij ≥ 0 ∀ i,j
Xjk ≥ 0 ∀ j,k
Wj ∈ {1,0} ∀ j
Función Objetivo
Para elaborar la función objetivo hay que tener en cuenta los costos de explotación en cada mina, los costos de procesamiento de bauxita en las plantas de alúmina, los costos procesamiento en cada planta de esmaltado, así como los costos de envío asociados a cada ruta y determinantemente los costos relacionados con las variables binarias los cuales son los costos fijos condicionados a si la planta se abre o no.
ZMIN = 820XAB + 2430XAC + 930XAD + 2340XAE + 370XBB + 990XBC + 580XBD + 1870XBE + 2170XCB + 550XCC + 1160XCD + 1480XCE + 9050YBD + 7040YBE + 9440YCD + 6460YCE + 8880YDD + 7195YDE + 10205YED + 5440YEE + 3000000WB + 2500000WC + 4800000WD + 6000000WE
Ingresando los datos a WinQSB
Resultados obtenidos mediante WinQSB
El anterior problema resuelto es un ejemplo introductorio a la modelación a gran escala y a la aplicación que tienen la investigación de operaciones dentro de las nuevas tendencias de Cadena de Abastecimiento.