Programación lineal

La Programación Lineal (Optimización lineal), es el nombre que se le da al cálculo de la mejor solución, a un problema modelado como un conjunto de relaciones lineales. Estos problemas surgen en muchas disciplinas de la ciencia y la ingeniería.

Es comúnmente utilizada en el ejercicio de la ingeniería, para abordar problemas de productividad, de acuerdo a la satisfacción de determinadas restricciones – por ejemplo: recursos, principalmente los limitados y costosos -, de acuerdo a un criterio de optimización: maximizar un beneficio o minimizar un costo.

El objetivo primordial de la Programación Lineal es optimizar, es decir, maximizar o minimizar funciones lineales, en varias variables lineales, con restricciones lineales (sistemas de inecuaciones lineales), optimizando una función objetivo también lineal.

Los resultados y el proceso de optimización se convierten en una base cuantitativa del proceso de toma de decisiones frente a las situaciones planteadas. Decisiones en las que sería importante tener en cuenta diversos criterios adicionales, como:

Es preciso considerar que la solución de un modelo matemático establece una base para la toma de decisiones; sin embargo, puede considerarse como esencial el análisis de los resultados obtenidos.

¿Cómo resolver un problema mediante programación lineal?

El primer paso para la resolución de un problema de programación lineal consiste en la identificación de los elementos básicos de un modelo matemático, estos son:

El siguiente paso consiste en la determinación de los mismos, para lo cual proponemos seguir la siguiente metodología:

La función objetivo

La función objetivo tiene una estrecha relación con la pregunta general que se desea responder. Si en un modelo resultasen distintas preguntas, la función objetivo se relacionaría con la pregunta del nivel superior, es decir, la pregunta fundamental. Así por ejemplo, si en una situación se desean minimizar los costos, es muy probable que la pregunta de mayor nivel sea la que se relacione con aumentar la utilidad en lugar de un interrogante que busque hallar la manera de disminuir los costos.

Las variables de decisión

Similar a la relación que existe entre objetivos específicos y objetivo general, se comportan las variables de decisión respecto a la función objetivo, puesto que estas se identifican partiendo de una serie de preguntas derivadas de la pregunta fundamental. Las variables de decisión, son en teoría, factores controlables del sistema que se está modelando, y como tal, estas pueden tomar diversos valores posibles, de los cuales se precisa conocer su valor óptimo, que contribuya con la consecución del objetivo de la función general del problema.

Las restricciones

Cuando hablamos de las restricciones en un problema de programación lineal, nos referimos a todo aquello que limita la libertad de los valores que pueden tomar las variables de decisión.

La mejor manera de hallarlas consiste en pensar en un caso hipotético en el que decidiéramos darle un valor infinito a nuestras variables de decisión, por ejemplo, ¿qué pasaría si en un problema que precisa maximizar sus utilidades en un sistema de producción de calzado decidiéramos producir una cantidad infinita de zapatos? Seguramente ahora nos surgirían múltiples interrogantes, como por ejemplo:

Pues bueno, entonces habríamos descubierto que nuestro sistema presenta una serie de limitantes, tanto físicas, como de contexto, de tal manera que los valores que en un momento dado podrían tomar nuestras variables de decisión se encuentran condicionados por una serie de restricciones.

Ejemplo de resolución de un problema de programación lineal

La fábrica de Hilados y Tejidos «SALAZAR» requiere fabricar dos tejidos de calidad diferente T y T’; se dispone de 500 Kg de hilo a, 300 Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c. Para obtener un metro de T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72 gr de c; para producir un metro de T’ por día se necesitan 200 gr de a, 100 gr de b y 27 gr de c. El T se vende a $4000 el metro y el T’ se vende a $5000 el metro. Si se debe obtener el máximo beneficio, ¿cuántos metros de T y T’ se deben fabricar?

Paso 1: Formular el problema

Para realizar este paso partimos de la pregunta central del problema.

¿Cuántos metros de T y T’ se deben fabricar?

Y la formulación es:

“Determinar la cantidad de metros diarios de tejido tipo T y T’ a fabricar teniendo en cuenta el óptimo beneficio respecto a la utilidad”.

Paso 2: Determinar las variables de decisión

Basándonos en la formulación del problema nuestras variables de decisión son:

XT: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T a fabricar

XT’: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T’ a fabricar

PASO 4: Determinar la Función Objetivo

En este paso es de vital importancia establecer el contexto operativo del problema para de esta forma determinar si es de Maximización o Minimización. En este caso abordamos el contexto de beneficio por ende lo ideal es Maximizar.

Función Objetivo

ZMAX = 4000XT + 5000XT’

PASO 5: Resolver el modelo utilizando software o métodos manuales

La solución de un modelo de programación lineal puede abordarse de diversas formas: métodos manuales (Simplex), métodos gráficos y solucionadores (software).

La consideración del método manual Simplex, y el método gráfico tiene un fundamento pedagógico. La perspectiva de lo que representa un modelo de programación lineal, se amplía considerablemente mediante estos métodos.

Ahora bien, en la práctica, los métodos utilizados por excelencia son los solucionadores (software). Programas de computación que utilizan algoritmos que permiten resolver modelos robustos con suma facilidad. Dentro de los solucionadores más tradicionales encontramos:

Son programas gratuitos, a menudo restringidos en cuanto al número de variables y restricciones, y por estos días, muchos de ellos descontinuados.

En la actualidad, los solucionadores de programación basada en restricciones, ofrecen la mejor de las prestaciones. Son robustos, se encuentran integrados y algunos de ellos son gratuitos, como es el caso de Google OR-Tools.

Para efectos prácticos, el anterior ejercicio fue resuelto mediante Solver – Excel, y su resultado fue: