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Sistemas de loteo mediante programación lineal entera

Bryan Salazar López — Wed, 24 Jul 2019 20:09:38 +0000

Uno de los principales problemas cuando la demanda puede variar significativamente con el tiempo es el hecho de que ya no puede considerarse como óptima una cantidad constante de pedido. Dicha cantidad puede variar significativamente entre pedidos y debe ser determinada cada vez que una orden va a ser procesada.

Para manejar estas situaciones, se pueden establecer los siguiente métodos de loteo:

Lote a lote (L4L).
Método de periodo constante.
Cantidad económica de pedido.
Cantidad Periódica de pedido.
Costo total mínimo.
Heurístico Silver – Meal.
Algoritmo Wagner – Whitin.
Programación lineal.

Al igual que mediante el algoritmo Wagner – Whitin, la programación lineal entera ofrece una solución óptima.

Elementos básicos del modelo de programación lineal entera

El modelo de programación lineal entera supone una mayor complejidad en la etapa de modelación, sin embargo los resultados obtenidos mediante software son más que satisfactorios debido al análisis de sensibilidad que puede hacerse con ellos.

El proceso sistemático de modelación es el siguiente:

Función objetivo

La función objetivo debe relacionarse con la pregunta fundamental que se quiere responder con el modelo. En el caso de los sistemas de loteo:

¿Cómo se pueden disminuir los costos de totales?

En cuyo caso sería:

MINIMIZAR costos de inventario y MINIMIZAR costos de preparación.

Variables de decisión

Las variables de decisión parten del criterio de la función objetivo. En el caso de que se quieran minimizar los costos de inventario y de preparación, las variables de decisión deben permitir que se respondan las siguientes cuestiones:

¿Qué cantidad de productos deben ordenarse por periodo?
¿Qué nivel de inventario deberá mantenerse al final de cada periodo?

Ejemplo de un sistema de loteo mediante programación lineal entera

Una empresa desea determinar el tamaño de lote óptimo de un programa MRP. La siguiente tabla muestra los requerimientos netos para ocho (8) semanas de programación (planeación corta).

Criterio de la función objetivo: MINIMIZAR

Variables de decisión

Restricciones de balance de inventarios

Estas restricciones resultan precisas para relacionar los costos asociados al almacenamiento en la función objetivo. Además, de como su nombre lo indica, balancear las unidades del modelo.

Su formulación es simple, y se basan en el concepto de balance de inventarios:

Pedido + Inventario inicial – Demanda = Inventario final

Tenga en cuenta que el inventario final del periodo i es equivalente al inventario inicial del periodo i+1. Es decir, el inventario final de la semana 1 es equivalente al inventario inicial de la semana 2.

Restricciones de demanda

En estas restricciones se establecerán los objetivos de cumplimiento de la demanda, teniendo en cuenta cantidades a ordenar e inventarios.

Restricciones binarias. ¿Se ordena o no?

Los costos de preparación dependerán de si en un periodo se ordena una corrida de producción o no. De manera que para contemplar este tipo de costos se utilizan variables binarias, así entonces si en un periodo se ordena un lote, el valor de variable binaria asociada a dicho periodo será equivalente a 1, en caso contrario será equivalente a 0.

Para modelar correctamente las variables binarias asociadas a los costos de preparación, estas deben asociarse con la cantidad a ordenar en dicho periodo y al máximo tamaño de lote posible, es decir al total de la demanda que tiene un periodo por delante, por ejemplo:

La anterior es la restricción asociada a la orden de producir u ordenar en el periodo 1. En caso de que el modelo encuentre viable producir en dicho periodo, el valor de la variable binaria W1 será igual a 1, de manera que multiplicará el total de la demanda que tiene el periodo 1 por delante, en este caso equivale a la sumatoria de todos los periodos del modelo, es decir, el tamaño máximo del lote. Así entonces X1, es decir cantidad a ordenar a producir en el periodo 1, deberá ser menor al tamaño máximo del lote.

En caso de que el modelo no encuentre viable producir en dicho periodo, el valor de la variable binaria W1 será igual a 0, de manera que multiplicará el total de la demanda que tiene el periodo 1 por delante por 0. Así entonces X1 deberá ser menor o igual que 0, dicho de otra manera, en ese periodo no se ordena o produce.

Tenga en cuenta que las variables binarias tienen un costo asociado en la función objetivo, este costo será el costo de preparación; de manera que el hecho de que estas variables tomen valores de 1 o 0, dependerá del costo total de la función objetivo.

Veamos otro ejemplo:

La anterior restricción está asociada a la orden de producir u ordenar en el periodo 2. En este caso se cumplen los mismos principios de la anterior restricción, sin embargo el valor de la demanda varía, debido a que la demanda total que tiene el periodo 2 por delante es equivalente a 475 unidades; es decir, a la demanda total menos los requerimientos del periodo 1, es decir que el tamaño máximo del lote para una orden de la semana 2 deberá, en caso de que se autorice producir, ser menor a 475 unidades, lo cual aseguraría que al final del último periodo no se presenten inventarios.

Todas las restricciones binarias quedarían de la siguiente manera:

Restricciones límites y de no-negatividad

Cuando el criterio de la función objetivo consiste en minimizar, es muy importante que se establezcan restricciones de no-negatividad, es decir, restricciones que aseguren que las variables asociadas a la producción y a los inventarios, no tomen valores menores a cero (0).

Del mismo modo, se establecerá el tipo de valores de las variables binarias.

Formulación de la función objetivo

En la función objetivo deberán relacionarse todos los costos asociados al plan de producción:

Costos de ordenar.
Costos de almacenar.

Los costos de ordenar se encuentran relacionados con las variables binarias, de manera que si estas toman valores equivalentes a 1 se causará el costo de ordenar en un periodo determinado.

Los costos de almacenar deberán asociarse con los inventarios de cada periodo.

Así entonces, cada vez que en un periodo se produzca, se asociará un costo de preparación; y cada vez que una unidad sea almacenada, se asociará un costo de mantenimiento del inventario.

Resolviendo mediante WinQSB

Utilizando el Software WinQSB por medio de la herramienta Linear and Integer Programming se puede obtener la solución al modelo formulado.

El primer paso consiste en ingresar los parámetros del modelo:

Number of Variables: Número de variables.
Number of Constraints: Número de restricciones.
Objetive Criterion: Criterio de la función objetivo.
Default Variable Type: Tipo de variable predeterminada.
Data Entry Format: Formato de entrada de datos.

El siguiente paso consiste en ingresar la información del modelo formulado:

Tenga en cuenta que debe modificarse el tipo de variable en aquellas binarias. Del mismo modo tenga presente que las restricciones deben despejarse para dejar las constantes (coeficientes sin variables) en el lado derecho de la matriz.

El siguiente paso consiste en resolver el modelo de acuerdo a la información ingresada. En este caso la solución obtenida es la siguiente:

El cuadro de loteo e inventario que puede resumirse de la solución obtenida es la siguiente:

Al resolver este ejemplo con diversos sistemas de loteo se pueden obtener la siguientes soluciones:

Lote a lote: $376,00
Periodo constante: $200,50
EOQ: $171,05
POQ: $140,50
Costo total mínimo: $140,50
Meal Silver: $131,00
Wagner Whitin: $131,00

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Cantidad económica de pedido (EOQ) en WinQSB

Bryan Salazar López — Wed, 24 Jul 2019 17:43:38 +0000

WINQSB es un paquete de herramientas muy versátil que permite el análisis y resolución de modelos matemáticos, problemas administrativos, de producción, proyectos, inventarios, transporte, entre muchos otros.

«Inventory theory and system» es el módulo de WinQSB creado con el fin de resolver y evaluar problemas y sistemas de control de inventarios, respectivamente. Las capacidades específicas de este módulo incluyen la resolución de los siguientes modelos:

Cantidad económica de pedido con demanda determinística (EOQ)
Análisis del problema de cantidad discontinua para demanda determinística
Problemas con demanda estocástica para un solo período
Problemas con demanda dinámica con existencias de reserva (sistemas de loteo)
Modelo de cantidad fija de orden continuo
Modelo de revisión continua
Modelos de intervalo fijo de revisión periódica
Modelo de revisión periódica con reaprovisionamiento opcional

Solución de un problema de cantidad económica de pedido con WinQSB

El problema

La organización SALAZAR LTDA presenta una demanda anual de 150.000 unidades de sus envases de plástico presentación «AA». En un reciente proceso de costeo el departamento de ingeniería ha determinado mediante el método agregado que el costo de emitir cada orden es de $ 13.800, además se ha estimado que la tasa de mantenimiento equivale al 12% anual. Teniendo en cuenta que el precio de venta de cada envase «AA» es de $ 1.733 y que este presenta un margen de contribución unitario del 25%, además que el Lead Time del proveedor equivale a 5 días y que la organización labora de manera ininterrumpida durante los 365 días al año. Determine la Cantidad optima de pedido, su punto de reposición ROP, El número de ordenes colocadas al año, el tiempo entre cada orden y realice una presentación que muestre los costos asumidos teniendo en cuenta la cantidad óptima establecida.

Ingresando a Inventory theory and system (WinQSB)

Una vez se haya ingresado al módulo Inventory Theory and System, se abrirá una ventana de inicio del módulo, tal como se muestra a continuación:

En esta ventana podremos entonces crear un nuevo problema, o cargar uno que ya hayamos desarrollado. Una vez demos clic en «Nuevo Problema (New Problem)» se abrirá un menú emergente que nos permitirá elegir el tipo de problema e ingresar sus parámetros básicos.

En este caso elegiremos la primera opción correspondiente a Cantidad Económica de Pedido (EOQ) y la unidad de tiempo la trabajaremos en años (year). Una vez se registren los parámetros y al dar clic en el botón OK, se mostrará la siguiente ventana:

En esta tabla se deben registrar todos los datos necesarios para la solución del problema:

Demand per year (Demanda por año): La demanda dada en unidades por año.
Order or Setup Cost per Order (Costo de ordenar o cargar): dada en unidades monetarias por orden o corrida.
Unit Holding Cost per year (Costo de almacenar una unidad por año): dada en unidades monetarias por unidad por año.
Unit Shortage Cost per year (Costo por la falta de una unidad por año): dada en unidades monetarias por unidad por año.
Unit Shortage Cost Independent of Time (Costo por la falta de una unidad independiente del tiempo): Penalización por faltantes dada en unidades monetarias por unidad.
Replenishment or Production Rate per year (Rata de reaprovisionamiento o producción por año): Dada en unidades, el valor predeterminado es «M», es decir una tasa muy grande.
Lead Time for a New Order in year (Tiempo de carga para una nueva orden, en años): dada en años (unidad de tiempo elegida).
Unit acquisition Cost Without Discount (Costo de compra de una unidad, sin descuento): dada en unidades monetarias por unidad.
Number of Discount Breaks (Número de puntos de descuento)
Order Quantity If You Known (Cantidad de la orden, en caso de ser conocido): dada en unidades.

El primer dato del que disponemos es la demanda anual, equivalente a 150.000 unidades; el costo de ordenar o cargar también fue suministrado, equivalente a $13.800; el costo de almacenamiento de una unidad por año deberá obtenerse teniendo en cuenta que contamos con una tasa de mantenimiento anual y el costo unitario de cada envase (obtenido descontando el margen de utilidad sobre el precio de venta):

Es decir, nuestro costo de almacenar una unidad por año corresponde a $156. Por último conocemos el Lead Time del proveedor cada vez que emitimos una orden, equivalente a 5 días, dado que es requerido en años nuestra base será la información que nos indica que la compañía labora de forma ininterrumpida 365 días por años, así entonces el Lead time será de 0,0137 años aproximadamente. Registramos la información en el tabulado de WinQSB:

Una vez introducida la información procedemos a su solución mediante la opción Resolver el problema (Solve the Problem):

La solución óptima del problema se muestra a continuación:

La columna Economic Order Analysis presenta el análisis resultante del problema:

Order Quantity (Cantidad a ordenar – EOQ): 5152 unidades aproximadamente.
Maximum Inventory (Inventario máximo): 5152 unidades aproximadamente.
Order interval in year (Tiempo transcurrido entre órdenes): 0.0343 años, equivalente a 12 días aproximadamente.
Reorder point (Punto de reorden): 2055 unidades.
Total setup or ordering cost (Costo anual de colocar órdenes): $401820.8
Total holding cost (Costo anual de mantener el inventario): $401820.8
Subtotal of above (Costo total): $803641.7

Gráficas resultantes

El análisis gráfico del EOQ nos proporciona una visión sumamente útil y sencilla del comportamiento de los costos (Graphic cost analysis) y de los niveles de inventario así como los puntos de reorden (Graphic inventory profile). Ambas gráficas podemos obtenerlas por medio de WinQSB mediante las siguientes opciones:

Graphic Cost Analysis:

Graphic inventory profile:

Para la obtención de este gráfico es preciso validar los valores correspondientes a los ejes y de los valores obtenidos en el resultado. En caso de aceptar los valores preestablecidos que tiene WinQSB en el menú es muy común observar que el software presenta un error de unidades en el gráfico, puesto que eleva los valores de inventario a una potencia superior 3 con base 10, de igual manera altera las unidades de tiempo. Por tal razón recomendamos sobrescribir los valores del menú, sí es posible, redondeando unidades:

El gráfico correspondiente al comportamiento del inventario es el siguiente:

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Problema del agente viajero – TSP

Bryan Salazar López — Wed, 12 Jun 2019 21:20:53 +0000

En el Problema del Agente Viajero – TSP (Travelling Salesman Problem), el objetivo es encontrar un recorrido completo que conecte todos los nodos de una red, visitándolos tan solo una vez y volviendo al punto de partida, y que además minimice la distancia total de la ruta, o el tiempo total del recorrido.

Este tipo de problemas tiene gran aplicación en el ámbito de la logística y distribución, así como en la programación de curvas de producción.

El problema del agente viajero tiene una variación importante, y esta depende de que las distancias entre un nodo y otro sean simétricas o no, es decir, que la distancia entre A y B sea igual a la distancia entre B y A, puesto que en la práctica es muy poco probable que así sea.

La cantidad de rutas posibles en una red está determinada por la ecuación:

(n-1)!

Es decir que en una red de 5 nodos la cantidad de rutas probables es igual a (5-1)! = 24, y a medida que el número de nodos aumente la cantidad de rutas posibles crece factorialmente. En el caso de que el problema sea simétrico la cantidad de rutas posibles se reduce a la mitad, es decir:

( (n-1)! ) / 2

Lo cual significa un ahorro significativo en el tiempo de procesamiento de rutas de gran tamaño.

Métodos de solución

La complejidad del cálculo del problema del agente viajero ha despertado múltiples iniciativas por mejorar la eficiencia en el cálculo de rutas. El método más básico es el conocido con el nombre de fuerza bruta, que consiste en el cálculo de todos los posibles recorridos, lo cual se hace extremadamente ineficiente y casi que se imposibilita en redes de gran tamaño. También existen heurísticos que se han desarrollado por la complejidad en el cálculo de soluciones óptimas en redes robustas, es por ello que existen métodos como el vecino más cercano, la inserción más barata y el doble sentido. Por último se encuentran los algoritmos que proporcionan soluciones óptimas, como el método de branch and bound (ramificación y poda), que trabaja el problema como un algoritmo de asignación y lo resuelve por medio del método simplex.

Método de la fuerza bruta

El método de la fuerza bruta no implica la aplicación de ningún algoritmo sistemático, tan solo consiste en explorar todos los recorridos posibles. Considerando la siguiente red simétrica, los caminos posibles se reducen a la mitad:

Posibles rutas

A – B – D – C – A = 9 + 15 + 4 + 7 = 35 km

A – B – C – D – A = 9 + 10 + 4 + 8 = 31 km

A – C – B – D – A = 7 + 10 + 15 + 8 = 40 km

Rutas simétricas

A – D – C – B – A = 8 + 4 + 10 + 9 = 31 km

A – C – D – B – A = 7 + 4 + 15 + 9 = 35 km

A – D – B – C – A = 8 + 15 + 10 +7 = 40 km

Método del vecino más cercano

El método del vecino más cercano es un algoritmo heurístico diseñado para solucionar el problema del agente viajero, no asegura una solución óptima, sin embargo suele proporcionar buenas soluciones, y tiene un tiempo de cálculo muy eficiente. El método de desarrollo es muy similar al utilizado para resolver problemas de árbol de expansión mínima.

El método consiste en una vez establecido el nodo de partida, evaluar y seleccionar su vecino más cercano. En este caso:

En la siguiente iteración habrá que considerar los vecinos más cercanos al nodo C (se excluye A por ser el nodo de origen):

En la siguiente iteración los vecinos más cercanos de D serán C, con quien ya tiene conexión, A quién es el nodo de origen y B, por esta razón B se debe seleccionar por descarte. Al estar en B todos los nodos se encuentran visitados, por lo que corresponde a cerrar la red uniendo el nodo B con el nodo A, así entonces la ruta solución por medio del vecino más próximo sería A, C, D, B, A = 7, 4, 15, 9 = 35 km.

Este es un caso en el que a pesar de tener una red compuesta por pocos nodos, el método del vecino más cercano no proporciona la solución óptima, la cual calculamos con el método de fuerza bruta como 31 km.

Método de Branch and Bound – WinQSB

El método de branch and bound (ramificación y poda), nos proporciona una solución óptima del problema del agente viajero, calculando mediante el algoritmo simplex la solución del modelo. A medida que aumente el tamaño de la red el método puede tardar gran cantidad de tiempo en resolverse, sin embargo para redes de mediano tamaño es una excelente alternativa.

En este caso y considerando la red que hemos desarrollado mediante los métodos anteriores, utilizaremos el módulo Network Modeling del software WinQSB para encontrar la solución óptima.

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Problemas de asignación

Bryan Salazar López — Wed, 12 Jun 2019 20:52:09 +0000

El problema de asignación es una variación del problema original de transporte, variación en la cual las variables de decisión X(i,j) solo pueden tomar valores binarios, es decir ser cero (0) o uno (1), en la solución óptima, lo que supone que la oferta y la demanda están perfectamente alineadas, de hecho ambas son iguales a uno (1).

Múltiples son los casos en los que como ingenieros industriales podemos hacer uso del problema de asignación para resolver diversas situaciones, entre los que cabe mencionar se encuentran la asignación de personal a maquinas, herramientas a puestos de trabajos, horarios a maestros, candidatos a vacantes, huéspedes a habitaciones, comensales a mesas, vendedores a zonas territoriales etc.

En el modelo de asignación, la idea fundamental de resolución es ¿Qué fuente satisface mejor el destino?, y dado que hemos asociado el modelo a una gran diversidad de circunstancias esta pregunta puede plantearse en múltiples contextos, como ¿Qué candidato es el idóneo para la vacante?, o ¿Qué personal es el indicado para la línea productiva?, o ¿Qué personal es el mejor para ejecutar determinada tarea?. Una característica particular del modelo de asignación es que para su resolución no se hace necesario que el número de fuentes sea igual al número de destinos, lo cual es muy común en la vida real, teniendo en cuenta su aplicación, pues generalmente la cantidad de aspirantes es superior al número de vacantes (lógicamente haciendo referencia a la aplicación del modelo al contexto de oferta y demanda laboral).

Método Húngaro

Apartándonos un poco de la idea expresada en módulos anteriores respecto a la facilidad de resolver problemas atinentes a la investigación operativa en especial aquellos de transporte mediante el uso de herramientas tecnológicas como lo son WinQSB, LINGO, TORA, STORM, Excel, Or Tools, etc.. vale la pena ya sea para fines académicos o de cultura ingenieril realizar la resolución del problema de asignación mediante el algoritmo que se creó para tal fin, como lo es el Método Húngaro.

El método Húngaro es un método de optimización de problemas de asignación, conocido como tal gracias a que los primeros aportes al método clásico definitivo fueron de Dénes König y Jenő Egerváry dos matemáticos húngaros. El algoritmo tal como se detallará a continuación está diseñado para la resolución de problemas de minimización únicamente, será entonces cuestión de agregar un paso adicional para abordar ejercicios de maximización.

Paso 1

Antes que nada cabe recordar que el método húngaro trabaja en una matriz de costos n*m (en este caso conocida como matriz m*m, dado que el número de filas es igual al número de columnas n = m), una vez construida esta se debe encontrar el elemento más pequeño en cada fila de la matriz.

Paso 2

Una vez se cumple el procedimiento anterior se debe construir una nueva matriz n*m, en la cual se consignarán los valores resultantes de la diferencia entre cada costo y el valor mínimo de la fila a la cual cada costo corresponde (valor mínimo hallado en el primer paso).

Paso 3

Este paso consiste en realizar el mismo procedimiento de los dos pasos anteriores referidos ahora a las columnas, es decir, se halla el valor mínimo de cada columna, con la diferencia que este se halla de la matriz resultante en el segundo paso, luego se construirá una nueva matriz en la cual se consignarán los valores resultantes de la diferencia entre cada costo y el valor mínimo de la columna a la cual cada costo corresponde, matriz llamada «Matriz de Costos Reducidos».

Paso 4

A continuación se deben de trazar líneas horizontales o verticales o ambas (únicamente de esos tipos) con el objetivo de cubrir todos los ceros de la matriz de costos reducidos con el menor número de líneas posibles, si el número de lineas es igual al número de filas o columnas se ha logrado obtener la solución óptima (la mejor asignación según el contexto de optimización), si el número de líneas es inferior al número de filas o columnas se debe de proceder con el paso 5.

Paso 5

Este paso consiste en encontrar el menor elemento de aquellos valores que no se encuentran cubiertos por las lineas del paso 4, ahora se restará del restante de elementos que no se encuentran cubiertos por las líneas; a continuación este mismo valor se sumará a los valores que se encuentren en las intersecciones de las lineas horizontales y verticales, una vez finalizado este paso se debe volver al paso 4.

Solución de un problema de asignación mediante el Método Húngaro

El problema

La compañía de manufactura «Jiménez y Asociados» desea realizar una jornada de mantenimiento preventivo a sus tres máquinas principales A, B y C. El tiempo que demanda realizar el mantenimiento de cada máquina es de 1 día, sin embargo la jornada de mantenimiento no puede durar más de un día, teniendo en cuenta que la compañía cuenta con tres proveedores de servicios de mantenimiento debe de asignarse un equipo de mantenimiento a cada máquina para poder cumplir con la realización del mantenimiento preventivo. Teniendo en cuenta que según el grado de especialización de cada equipo prestador de servicios de mantenimiento el costo de la tarea varía para cada máquina en particular, debe de asignarse el equipo correcto a la máquina indicada con el objetivo de minimizar el costo total de la jornada. Los costos asociados se pueden observar en la siguiente tabla:

Paso 1

Encontramos el menor elemento de cada fila

Paso 2

Construimos una nueva matriz con las diferencias entre los valores de la matriz original y el elemento menor de la fila a la cual corresponde.

Paso 3

En la matriz construida en el paso anterior se procede a efectuar el paso 1 esta vez en relación a las columnas, por ende escogemos el elemento menor de cada columna. Igualmente construimos una nueva matriz con la diferencia entre los valores de la matriz 2 y el elemento menor de la columna a la cual corresponde cada valor.

Paso 4

En este paso trazaremos la menor cantidad de combinaciones de líneas horizontales y verticales con el objetivo de cubrir todos los ceros de la matriz de costos reducidos.

Como se puede observar el menor número de líneas horizontales y/o verticales necesarias para cubrir los ceros de la matriz de costos reducidos es igual a 2, por ende al ser menor que el número de filas o columnas es necesario recurrir al paso 5.

Paso 5

En este paso seleccionamos el menor elemento de los elementos no subrayados.

Luego se procede a restarse de los elementos no subrayados y a adicionarse a los elementos ubicados en las intersecciones de las líneas, en este caso existe una única intersección (3).

Ahora ya efectuado este paso pasamos al paso 4.

Ahora observamos cómo se hace necesario trazar tres líneas (la misma cantidad de filas o columnas de la matriz) por ende se ha llegado al tabulado final, en el que por simple observación se determina las asignaciones óptimas.

Por ende la asignación que representa el menor costo para la jornada de mantenimiento preventivo determina que el Equipo 1 realice el mantenimiento de la Máquina 1, el Equipo 2 realice el mantenimiento de la Máquina 3 y el Equipo 3 realice el mantenimiento de la Máquina 2, jornada que tendrá un costo total de 17 unidades monetarias.

Solución de un problema de maximización mediante el Método Húngaro

El problema

Una organización de recolección de café cuenta con tres equipos de siembra y cosecha del mismo (equipos 1, 2, 3). Estos equipos de trabajo se encuentran entrenados para trabajar en condiciones particulares del proceso, condiciones como lo son el tipo de suelo, las condiciones del clima y el tipo de grano. La organización cuenta con cuatro terrenos disponibles para efectuar el proceso de siembra y cosecha (terrenos A, B, C, D), estos terrenos tienen condiciones particulares de suelo, clima y tipo de grano. Cada equipo cuenta con la capacidad de efectuar el proceso en solo uno de los terrenos disponibles, salvo el equipo 2, que cuenta con una serie de herramientas tecnológicas que le permiten realizar la siembra y cosecha del grano en dos de los terrenos disponibles.

Se ha contratado a un Ingeniero Industrial con el objetivo de realizar las asignaciones precisas que maximicen la cantidad de sacos de café cosechados en total. El siguiente tabulado muestra la capacidad (en cientos de sacos) de cosecha de café de cada uno de los equipos dependiendo de cada uno de los terrenos.

Solución

En este problema debemos recordar un concepto fundamental para la aplicación del método húngaro, este concepto nos dice que el número de filas debe ser exactamente igual al número de columnas. Por ende, la acción a realizar debería ser crear un equipo ficticio, el cual nos deje el tabulado balanceado y a este asignarle un número de sacos cosechados equivalente a cero en cada uno de los terrenos. Sin embargo el problema nos indica que uno de los equipos se encuentra en capacidad de que se le asignen dos terrenos, en este caso crearemos un equipo 2 alternativo (Equipo 2B) el cual nos balanceará el tabulado y nos hará prescindir del equipo ficticio pensado inicialmente. A este equipo 2B que crearemos le corresponderá la misma capacidad de cosecha del equipo 2 (en adelante equipo 2A) según el terreno, lógicamente.

Una vez balanceado el tabulado debemos de cuestionarnos acerca del criterio de optimización, pues recordemos que el método húngaro se encuentra diseñado para ejercicios de minimización. En este caso nuestro objetivo es maximizar, por lo que tendremos que aplicar un paso adicional.

Lo primero que debemos hacer es ubicar el mayor valor del tabulado inicial.

En este caso este valor es 15, por lo cual procederemos a realizar la siguiente operación con cada uno de los valores:

Restaremos a 15, el valor de cada una de las celdas y este valor quedará en cada una de las celdas correspondientes.

Ahora nuestro tabulado inicial quedará de la siguiente manera:

A partir de este tabulado ya podemos aplicar el algoritmo del método húngaro como se aplicaría en un caso e minimización (normalmente).

Ahora encontramos el menor elemento de cada fila.

Y se lo restamos a todas las celdas de la fila.

Ahora efectuamos este mismo paso, pero esta vez con las columnas. Elegimos el menor de los valores de cada columna y se lo restamos a cada una de las celdas de la columna correspondiente.

Ahora procedemos a cubrir la mayor cantidad de ceros, con la menor cantidad de líneas, si el número de líneas que empleemos es igual al grado de la matriz (en este caso matriz grado 4, 4×4) habremos llegado al final del ejercicio.

Dado que el número de líneas es igual al grado de la matriz, hemos concluido el algoritmo. Lo único que quedará será asignar a cada equipo el terreno en el que el intercepto es igual a 0 (cero).

Las asignaciones, como es lógico deberán iniciarse por el equipo al cual solo corresponda un terreno, en este caso al Equipo 3 le corresponde el Terreno A. De esta manera al Equipo 1 le corresponde el Terreno D. Mientras tanto el Equipo 2 se encargará de la cosecha en los terrenos B y C. Según el tabulado del problema (recordemos que es de maximización), la cantidad de sacos (expresada en cientos de sacos) será así:

Solución de un problema de asignación mediante programación lineal

El problema

La compañía de manufactura «Jiménez y Asociados» desea realizar una jornada de mantenimiento preventivo a sus tres máquinas principales A, B y C. El tiempo que demanda realizar el mantenimiento de cada máquina es de 1 día, sin embargo la jornada de mantenimiento no puede durar más de un día, teniendo en cuenta que la compañía cuenta con tres proveedores de servicios de mantenimiento debe de asignarse un equipo de mantenimiento a cada máquina para poder cumplir con la realización del mantenimiento preventivo. Teniendo en cuenta que según el grado de especialización de cada equipo prestador de servicios de mantenimiento el costo de la tarea varía para cada máquina en particular, debe de asignarse el equipo correcto a la máquina indicada con el objetivo de minimizar el costo total de la jornada. Los costos asociados se pueden observar en la siguiente tabla:

Variables de decisión

Las variables de decisión de este tipo de problemas es igual a las variables de cualquier modelo de transporte tradicional, es decir variables X_i,j donde i {Equipo de mantenimiento 1,2,3} y j {Máquina 1,2,3}, y corresponden a variables binarias en las cuales el valor 1 significa la asignación de un equipo de mantenimiento a una máquina en particular.

Restricciones

Dado que un equipo de mantenimiento no puede ser asignado a más de una maquinaria, esta característica debe de restringirse mediante las siguientes inecuaciones.

X_1,1 + X_1,2 + X_1,3 = 1

X_2,1 + X_2,2 + X_2,3 = 1

X_3,1 + X_3,2 + X_3,3 = 1

Además debe restringirse el hecho de que cada máquina solo requiere de un equipo de mantenimiento, por ende

X_1,1 + X_2,1 + X_3,1 = 1

X_1,2 + X_2,2 + X_3,2 = 1

X_1,3 + X_2,3 + X_3,3 = 1

Además se hace necesario que para efectos de resolución en cualquier paquete de herramientas se especifique que estas variables corresponden al conjunto de los enteros (por obvias razones) y que deben ser mayores que cero (dado que es un problema de minimización esta restricción se hace muy necesario).

X_i,j ≥ 0

X_i,j ∈ {Z}

Función Objetivo

Z_MIN = 10X_1,1 + 9X_1,2 + 5X_1,3 + 9X_2,1 + 8X_2,2 + 3X_2,3 + 6X_3,1 + 4X_3,2 + 7X_3,3

Ingresando los datos a WinQSB

Resultados obtenidos mediante WinQSB

Solución de un problema de asignación mediante WinQSB – Network Modeling

La facilidad de resolver un problema de asignación mediante WinQSB es aún mayor a la que se incurre mediante programación lineal, y esta metodología justifica el pensar en que el método húngaro es sumamente anacrónico únicamente contemplado para fines históricos y académicos. En el módulo NETWORK MODELING del paquete de herramientas WinQSB se puede resolver el modelo tan solo traspasando los costos de una matriz n*m a otra que brinda el módulo n*m.

Ingresando los datos a WinQSB – Network Modeling

Resultados obtenidos mediante WinQSB – Network Modeling

De esta manera se hace evidente cual es la alternativa predilecta para resolver problemas de asignación.

Le recomendamos revisar: Problemas de asignación en Google OR-Tools. Descubre esta poderosa herramienta de modelamiento y solución de problemas de optimización.

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Variables binarias – El Caso de la Bauxita

Bryan Salazar López — Wed, 12 Jun 2019 20:11:50 +0000

Las variables binarias son un artificio matemático que permite que modelos de programación no lineal se resuelvan como tal. El buen uso de las variables binarias se convierte en una poderosa herramienta matemática para plantear problemas más complejos que los que habitualmente se resuelven acudiendo a las variables continuas.

Como su nombre lo indica, una variable binaria es aquella que puede tomar valores ya sea de cero (0) o uno (1), esta idea tan simple puede convertirse en una ayuda fundamental tanto para la modelación, como para la resolución de los problemas. Un ejemplo de ello puede ser el caso en el que determinado producto puede producirse o no, también un centro de distribución que puede abrirse o no.

El fundamento económico que más se presta para ser resuelto mediante el uso de variables binarias es el de Costo Fijo, el cual es fijo por cantidad y variable por unidad, pero depende si el recurso relacionado al costo se usa, o no, por ejemplo, el costo de arrendamiento de una bodega, el cual se cobrará a partir de la producción de cualquier unidad, pero no se cobrará si no se produce unidad alguna (no se hace uso de la bodega).

Otra ejemplo de la aplicación de las variables binarias se puede apreciar cuando en el sistema existen restricciones excluyentes (condicionadas la una de la otra), es decir, que a partir de la satisfacción de una condición no se hace necesario el cumplimiento de la otra condición. Por ejemplo, si se desea lanzar una producción de calzado en el cual se tenga que decidir alquilar un equipo de inyección y en el mercado existen dos alternativas de maquinarias pero solo una es contratable, en este caso se planeará la producción con las capacidades y costos asociados a cada equipo, sin embargo ambas restricciones son excluyentes, es decir solo se aplicará una de las dos.

El caso de la Bauxita

El caso de la BAUXITA es un ejemplo preparado por el Pr. Carlos Julio Vidal Holguín, en el cual se plantea un ejercicio aplicable a la cadena de abastecimiento en el cual hay que resolver un modelo de transbordo para lograr producir aluminio.

Los resultados del problema deben de determinar las rutas que se emplearán para realizar la distribución de materias primas y producto terminado, además de determinar que plantas de procesamiento operan o no (para lo cual hay que hacer uso de las variables binarias) con el objetivo de satisfacer todas los requerimientos de los clientes al menor costo total posible.

Una compañía multinacional de aluminio tiene depósitos de bauxita (materia prima) en tres lugares del mundo A, B y C. Tiene además cuatro plantas donde la bauxita se convierte en alúmina (un producto intermedio), en lugares B, C, D y E. También tiene plantas de esmaltado en los lugares D y E. El proceso de conversión de la bauxita en alúmina es relativamente poco costoso. El esmaltado, sin embargo, es costoso puesto que se requiere de un equipo electrónico especial. Una tonelada de alúmina produce 0.4 toneladas de aluminio terminado. Los datos siguientes están disponibles.

Conversión de Bauxita en alúmina

Proceso de esmaltado

Las ventas anuales de aluminio terminado son de 1000 toneladas (ton) en la planta D y 1200 ton en la planta E.

Costos de transporte en $/ton de Bauxita

Los números que aparecen ordinalmente enseguida de cada fuente y destino serán utilizados para definir las variables.

Costos de transporte de alúmina, en $/ton de alúmina

Los lingotes de producto terminado no se transportan entre D y E y viceversa. Formule y resuelva un modelo de optimización para determinar la mejor red – configuración y diseño de la cadena de abastecimiento presentada.

Note que existe un problema de determinar cuáles plantas de alúmina deben ser abiertas.

Variables de decisión

Las variables de decisión se plantearán mayoritariamente en relación a las unidades a transportar desde un nodo hacia el otro.

Una muy buena manera de llamar a las variables es sugerido en la anterior gráfica (X(ij) – Y(jk) – W(j)). Por ende las variables de decisión serán:

X_ij = Cantidad de toneladas de bauxita a transportar desde la mina i hacia la planta de alúmina j por año; donde i {A,B,C} y j {B,C,D,E}.

Y_jk= Cantidad de toneladas de alúmina a transportar desde la planta de alúmina j hacia la planta de esmaltado k por año; donde j {B,C,D,E} y k {D,E}.

Hasta este punto todo es normal, sin embargo es necesario determinar una serie de variables binarias que indicarán que plantas de alúmina se abrirán o no, además estas estarán asociadas a los costos fijos generados por la apertura de cada planta en la función objetivo.

W_j= 1, si la planta j se abre, de lo contrario 0; donde j {B,C,D,E}. (Variable Binaria).

Restricciones

Restricciones por capacidad anual de cada mina de Bauxita

Mina A: X_AB + X_AC + X_AD + X_AE ≤ 36000

Mina B: X_BB + X_BC + X_BD + X_BE ≤ 52000

Mina C: X_CB + X_CC + X_CD + X_CE ≤ 28000

Es decir que todos los envíos efectuados desde cada mina hacia cualquiera de los cuatro destinos no puede exceder la capacidad de cada mina.

Restricciones por capacidad anual de procesamiento de Bauxita en cada planta de alúmina

Planta B: X_AB + X_BB + X_CB ≤ 40000W_B

Planta C: X_AC + X_BC + X_CC ≤ 20000W_C

Planta D: X_AD + X_BD + X_CD ≤ 30000W_D

Planta E: X_AE + X_BE + X_CE ≤ 80000W_E

Estas restricciones aseguran que los enviados realizados desde cualquiera de las minas hacia cada planta específica sean menores o iguales a los que cada planta pueda procesar, además la capacidad de cada planta va acompañada de la variable binaria que le corresponde, es decir que como el valor que puede adquirir cada variable binaria es 1 o 0, cuando esta sea 1 (la planta se abre) la capacidad se multiplicará por uno (1) es decir que no se altera, pero cuando esta variable adquiera el valor de 0 (la planta no se abre) la capacidad se multiplicará por cero (0) es decir que la capacidad quedará reducida a 0 por ende no se podrán enviar unidades a esa planta.

Restricciones por capacidad anual de procesamiento de alúmina en cada planta de esmaltado

En este conjunto de restricciones no se utilizarán las variables correspondientes a las de envío de Bauxita (X) sino las correspondientes al envío de Alúmina (Y), en las restricciones de balanceo representaremos la equivalencia dado el rendimiento que tiene la Bauxita de cada mina para convertirse en alúmina.

Planta D: Y_BD + Y_CD + Y_DD + Y_ED ≤ 4000

Planta E: Y_BE + Y_CE + Y_DE + Y_EE ≤ 7000

Es decir que todos los envíos de alúmina hacia las plantas de esmaltado no superen cada una de las capacidades de procesamiento de las mismas.

Restricciones por las ventas anuales de aluminio terminado en cada planta de esmaltado

En este caso se debe recordar que existe una equivalencia entre la alúmina y el aluminio terminado (equivalencia determinada por el rendimiento de la alúmina para fabricar aluminio que es del 40%, «una tonelada de alúmina produce 0.4 toneladas de aluminio terminado»). Entonces podemos usar las variables de toneladas de alúmina con su debida equivalencia para elaborar las restricciones de demanda.

Planta D: 0,4(Y_BD + Y_CD + Y_DD + Y_ED) = 1000

Planta E: 0,4(Y_BE + Y_CE + Y_DE + Y_EE) = 1200

Restricciones de balance

Como lo mencionamos en módulos anteriores las restricciones de balance tienen lugar en los nodos de transbordo, es decir, en los nodos que no son de oferta o demanda pura. Como en este nodo entran variables que representan toneladas de Bauxita y salen variables que representan alúmina se debe de aplicar el rendimiento correspondiente para realizar la conversión.

0.060X_AB + 0.080X_BB + 0.062X_CB = Y_BD + Y_BE

0.060X_AC + 0.080X_BC + 0.062X_CC = Y_CD + Y_CE

0.060X_AD + 0.080X_BD + 0.062X_CD = Y_DD + Y_DE

0.060X_AE + 0.080X_BE + 0.062X_CE = Y_ED + Y_EE

Al introducir estos datos en software como WinQSB debemos saber que al lado derecho del signo igual o el signo de la inecuación no deben ir variables, por ende estas pasan a restar al lado izquierdo, igualando la ecuación a cero (0).

Restricciones obvias

Las cuales determinan la naturaleza de las variables

X_ij ≥ 0 ∀ i,j

X_jk ≥ 0 ∀ j,k

W_j ∈ {1,0} ∀ j

Función Objetivo

Para elaborar la función objetivo hay que tener en cuenta los costos de explotación en cada mina, los costos de procesamiento de bauxita en las plantas de alúmina, los costos procesamiento en cada planta de esmaltado, así como los costos de envío asociados a cada ruta y determinantemente los costos relacionados con las variables binarias los cuales son los costos fijos condicionados a si la planta se abre o no.

Z_MIN = 820X_AB + 2430X_AC + 930X_AD + 2340X_AE + 370X_BB + 990X_BC + 580X_BD + 1870X_BE + 2170X_CB + 550X_CC + 1160X_CD + 1480X_CE + 9050Y_BD + 7040Y_BE + 9440Y_CD + 6460Y_CE + 8880Y_DD + 7195Y_DE + 10205Y_ED + 5440Y_EE + 3000000W_B + 2500000W_C + 4800000W_D + 6000000W_E

Ingresando los datos a WinQSB

Resultados obtenidos mediante WinQSB

El anterior problema resuelto es un ejemplo introductorio a la modelación a gran escala y a la aplicación que tienen la investigación de operaciones dentro de las nuevas tendencias de Cadena de Abastecimiento.

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Algoritmo de la ruta más corta

Bryan Salazar López — Wed, 12 Jun 2019 19:14:22 +0000

Ya el nombre de este tipo de algoritmo es bastante sugestivo. El algoritmo de la ruta más corta consiste, si es necesario decirlo, en una modalidad de problemas de redes, en la cual se debe determinar el plan de rutas que genere la trayectoria con la mínima distancia total, que una un nodo fuente con un nodo destino, sin importar el número de nodos que existan entre estos.

Esta modalidad de problemas puede solucionarse como un modelo de transbordo normal, sin embargo la principal sugerencia es la de establecer una oferta en el nodo fuente igual a una unidad (1) y establecer una demanda en el arco destino igual a una unidad (1).

Vale la pena considerar, que en la práctica, es muy frecuente la utilización del algoritmo resultante con variaciones que consisten en la minimización de tiempos, no necesariamente de distancias.

Algoritmo de la ruta más corta – Ejemplo

El caso

Un minero ha quedado atrapado en una mina, la entrada a la mina se encuentra ubicada en el nodo 1, se conoce de antemano que el minero permanece atrapado en el nodo 9, para llegar a dicho nodo hay que atravesar una red de túneles que van conectados entre sí. El tiempo de vida que le queda al minero sin recibir auxilio es cada vez menor y se hace indispensable hallar la ruta de acceso al nodo 9 más corta. Las distancias entre nodos de la mina se encuentran en la siguiente gráfica dadas en cientos de metros. Formule un modelo de transbordo y resuelva mediante cualquier paquete de herramientas de investigación operativa que permita establecer la ruta más corta para poder así auxiliar al minero.

Variables de decisión

El nombre de las variables en este caso poco importa, dado que de ser escogida para la solución básica eso significa simplemente que será empleada como ruta para ir a rescatar al minero, sin embargo nada tiene de malo el que se le pueda asociar con el envío de unidades desde la entrada de la mina hacia el minero, por ende puede sugerirse este como nombre de las variables. «Cantidad de unidades enviadas desde el nodo i hacia el nodo j».

X₁₂ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 1, hacia el nodo 2

X₁₃ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 1, hacia el nodo 3

X₂₃ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 2, hacia el nodo 3

X₂₄ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 2, hacia el nodo 4

X₃₂ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 3, hacia el nodo 2

X₃₄ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 3, hacia el nodo 4

X₃₅ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 3, hacia el nodo 5

X₄₆ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 4, hacia el nodo 6

X₄₇ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 4, hacia el nodo 7

X₅₄ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 5, hacia el nodo 4

X₅₆ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 5, hacia el nodo 6

X₅₇ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 5, hacia el nodo 7

X₅₈ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 5, hacia el nodo 8

X₆₇ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 6, hacia el nodo 7

X₆₉ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 6, hacia el nodo 9

X₇₆ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 7, hacia el nodo 6

X₇₈ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 7, hacia el nodo 8

X₇₉ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 7, hacia el nodo 9

X₈₇ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 8, hacia el nodo 7

X₈₉ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 8, hacia el nodo 9

Restricciones

Restricciones de Oferta y Demanda

Hay que recordar que el objetivo de este modelo es la consecución de un plan de ruta que nos permita encontrar al minero lo más pronto posible al recorrer la distancia mínima posible, por ende la clave para plantear el modelo como si fuese de transbordo es establecer una demanda y oferta igual a la unidad (1).

X₁₂ + X₁₃ = 1

X₆₉ + X₇₉ + X₈₉ = 1

Restricciones de Balance

X₁₂ + X₃₂ – X₂₃ – X₂₄ = 0

X₁₃ + X₂₃ – X₃₂ – X₃₄ – X₃₅ = 0

X₂₄ + X₃₄ + X₅₄ – X₄₆ – X₄₇ = 0

X₃₅ – X₅₄ – X₅₆ – X₅₇ – X₅₈ = 0

X₄₆ + X₅₆ + X₅₇ – X₆₇ – X₆₉ = 0

X₆₇ + X₄₇ + X₅₇ + X₈₇ – X₇₆ – X₇₈ – X₇₉ = 0

X₇₈ + X₅₈ – X₈₉ = 0

En palabras sencillas: «Todo lo que entra a cada nodo es igual a lo que sale de él»

Función objetivo

Z_MIN = 4X₁₂ + 2X₁₃ + 2X₂₃ + 7X₂₄ + 4X₃₂ + 9X₃₄ + 6X₃₅ + 1X₄₆ + 5X₄₇ + 2X₅₄ + 4X₅₆ + 3X₅₇+ 2X₅₈ + 1X₆₇ + 5X₆₉ + 4X₇₆ + 3X₇₈ + 5X₇₉ + 2X₈₇ + 7X₈₉

Ingresando los datos en WinQSB

Solución obtenida mediante WinQSB

La ruta más corta para rescatar al minero tiene como distancia total 1600 metros (dado que las distancias estaban dadas en cientos de metros) y es tal como se muestra en la siguiente gráfica:

Sin embargo, WinQSB cuenta con una metodología mucho más sencilla de resolución de algoritmos de ruta más corta, metodología que explicaremos más adelante, de todas formas hemos encontrado cómo, aplicando debidamente la razón y un algoritmo conocido como el de transbordo, podemos solucionar problemas distintos en teoría.

Solución del algoritmo de la ruta más corta mediante WinQSB

El módulo del WinQSB que permite la resolución del algoritmo de la ruta más corta es el Network Modeling, el cual utiliza una interfaz muy sencilla en forma de matriz en la cual hay que ingresar el valor de los ramales (dependiendo del contexto este valor puede representar distancias, tiempo, costos etc.) correspondiente a cada relación de un nodo con otro.

Paso a paso

Primero se debe ingresar al módulo Network Modeling del paquete WinQSB, una vez nos encontremos en este aparecerá el menú que se muestra en la siguiente gráfica, menú en el cual tendremos que seleccionar la opción Shortest Path Problem (Problema de la ruta más corta).

Además en este menú emergente debemos de ingresar la cantidad de nodos que conforman la red del problema y tenemos la posibilidad de asignarle un nombre al mismo, en nuestro caso la cantidad de nodos de la red es igual a 9; clic en OK y aparecerá la siguiente ventana.

En esta ventana se debe ingresar la magnitud de cada ramal correspondiente a cada relación entre los nodos, tal como veremos a continuación.

Damos clic en Solve and Analize y tendremos un menú emergente en el cual tendremos que seleccionar el nodo fuente y el nodo destino, tal como se muestra en la siguiente gráfica.

Una vez efectuada la selección tendremos la opción de ver el tabulado final y la opción de ver un paso a paso gráfico; para el tabulado final click en SOLVE y para el paso a paso clic en SOLVE AND DISPLAY STEPS.

Podemos cotejar la solución que obtuvimos al plantear este problema como un modelo de transbordo con esta solución. La eficiencia se encuentra determinada en escoger la herramienta adecuada para resolver el problema planteado.

Le recomendamos revisar: Problema de la ruta más corta en Google OR-Tools. Descubre esta poderosa herramienta de modelamiento y solución de problemas de optimización.

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Problema del transporte en WinQSB

Bryan Salazar López — Tue, 11 Jun 2019 21:17:52 +0000

El problema del transporte como un modelo especial dentro de la programación lineal, presenta una metodología de resolución que resulta ser mucho más sencilla que los problemas de programación tradicionales. La herramienta de resolución de problemas atinentes a la investigación de operaciones por excelencia WinQSB también distingue el problema de transporte como un caso especial y desarrolla un módulo dedicado de manera exclusiva al trabajo con este tipo de modelos en el llamado Network Modeling módulo que estudiaremos a continuación.

Network Modeling (NET): Este programa resuelve los problemas de red, incluyendo flujo de red capacitados (transbordo), transporte, asignación, la ruta más corta, flujo máximo, árbol de expansión mínima, y problemas del vendedor viajero. Una red incluye nodos y conexiones (arcos / enlaces) Cada nodo tiene una capacidad para el flujo de red y los problemas de transporte. Si hay una conexión entre dos nodos, puede haber un costo, un beneficio, una distancia o la capacidad de flujo asociado a la conexión. Con base en el tipo de problema específico, NET resuelve la conexión o el envío satisfaciendo las restricciones con el ánimo de optimizar la función objetivo especificada.

Resolviendo un problema de transporte mediante WinQSB

El primer paso para resolver un problema de transporte mediante WinQSB es ingresar al módulo Network Modeling.

El problema

Una empresa energética colombiana dispone de cuatro plantas de generación para satisfacer la demanda diaria eléctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla. Las plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al día respectivamente. Los costos asociados al envío de suministro energético por cada millón de KW entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.

Formule un modelo de programación lineal que permita satisfacer las necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte.

Ingresando a Network Modeling

Una vez se haya ingresado al módulo Network Modeling, se abrirá una ventana de inicio del módulo, tal como se muestra a continuación.

Aquí podemos crear un nuevo problema o cargar uno que ya nos encontremos desarrollando, en este caso abriremos un nuevo problema. Una vez demos click en «Nuevo Problema» se abrirá un menú emergente que nos pedirá ingresar la información básica del problema.

En este menú debemos completar la información concerniente al tipo de problema, criterio de la función objetivo y el número de fuentes y destinos que tenga nuestro problema, en este caso tenemos 4 fuentes y 4 destinos. Una vez completado el proceso damos click en OK y observaremos la siguiente ventana. En esta ventana podemos observar la matriz en la que ingresaremos los datos.

El proceso de reconocimiento de la ventana matriz es rápido, además de las ya explicadas herramientas se encuentran funciones de edición bastante conocidas y de formato alfanumérico. Antes de ingresar los datos podemos modificar los nombres de las fuentes y destinos en el menú Edición (Edit / Node Names). Nosotros renombraremos en este caso los nodos por los indicados en el problema.

Ahora se consignan los costos asociados al modelo, igualmente se consignan la respectiva oferta de cada una de las plantas y las demandas de las ciudades.

Ahora que se ha completado de suministrar toda la información se procede a resolver el modelo (click en resolver), la ventana que se abrirá tendrá la información respecto a las unidades enviadas de cada Planta hacia cada ciudad y el costo total óptimo.

De esta manera se obtiene la solución óptima del modelo de transporte, sin embargo no es todo lo que WinQSB tiene para ofrecer respecto al modelo de transporte, dado que este software posee herramientas que entregan el resultado gráficamente y presenta los resultados que se obtienen mediante los métodos heurísticos que hemos visto en módulos anteriores como Método de Aproximación de Vogel, Método de Costos Mínimos y el Método de la Esquina Noroeste, que una vez se ha obtenido la solución mediante el programa sirven para entornos netamente académicos.

Métodos heurísticos en WinQSB (Network Modeling)

Para poder visualizar (recordamos que esto es regularmente requerido con fines académicos) los tabulados finales obtenidos mediante los métodos heurísticos en Network Modeling tenemos que acceder a la pestaña llamada «Solve and Analyze» una vez ahí debemos seleccionar la opción «Select Initial Soluction Method», Tal como lo mostramos a continuación.

Una vez cumplido este procedimiento se abrirá un menú en el cual podremos seleccionar el método heurístico cuyo tabulado final queremos observar.

Una vez hemos seleccionado el método damos click en «OK» y procedemos a acceder a la opción «Solve and Display Steps – Tableu» que se encuentra en la pestaña «Solve and Analyze» tal como lo mostramos a continuación.

Ahora veremos el tabulado final del método heurístico escogido.

Método de Aproximación de Vogel

Método del Costo Mínimo

Método de la Esquina Noroeste

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Programación lineal en WinQSB

Bryan Salazar López — Fri, 07 Jun 2019 22:07:51 +0000

WinQSB es un paquete de herramientas muy versátil que permite el análisis y resolución de modelos matemáticos, problemas administrativos, de producción, proyectos, inventarios, transporte, entre muchos otros. Ofrece una interfaz básica pero amigable, y es la aplicación por excelencia utilizada por profesionales de Ingeniería Industrial y áreas administrativas para la resolución de sus modelos de programación lineal, continua o entera.

Acerca de Linear and integer programming: es el módulo de WinQSB creado con el fin de resolver problemas de programación lineal y programación lineal entera. Un problema de programación lineal implica una función objetivo lineal, un número limitado de restricciones lineales, y una serie de variables que pueden ser acotadas con valores limitados.

Solución de un problema de programación lineal mediante WinQSB

El primer paso para resolver un problema de programación lineal (PL) consiste en el modelamiento matemático, y es en esta fase en la que el profesional de Ingeniería Industrial debe desarrollar su mayor habilidad y destreza. Los pasos para resolver un problema de PL se encuentran en el módulo de programación lineal.

El problema

Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 pesos cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 Kg. De acero y 3 Kg. de aluminio, y para la de montaña 2 Kg. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña deberá fabricar para maximizar las utilidades?

El modelo matemático

Declaración de variables

x = Cantidad de bicicletas de paseo a producir

y = Cantidad de bicicletas de montaña a producir

Restricciones de capacidad

Aluminio:

x + 2y <= 80

Acero:

3x + 2y <= 120

Función Objetivo

Zmax = 20000x + 15000y

Ingresando a Linear and Integer Programming (WinQSB)

Una vez se haya ingresado al módulo Linear and Integer Programming, se abrirá una ventana de inicio del módulo, tal como se muestra a continuación:

En esta ventana podremos entonces crear un nuevo problema, o cargar uno que ya hayamos desarrollado. Una vez demos clic en «Nuevo Problema (New Problem)» se abrirá un menú emergente que nos permitirá ingresar los parámetros básicos del problema:

El programa requiere que se definan las especificaciones del problema, que incluye el nombre de problema, el número de variables, el número de restricciones, el criterio de la función objetivo, los tipos de variable por defecto, y el formato de entrada de datos, ya sea en forma de matriz o en forma de modelo normal.

El nombre de problema, los nombres de variables, nombres de restricción, el número de variables, número de restricciones , el criterio de la función objetivo, tipos de variables, y la entrada de datos formato se pueden modificar mediante el menú Formato y menú Editar una vez se haya abierto el modelo.

Para el problema que estamos abordando es necesario que ingresemos los siguientes parámetros:

Número de variables: 2 (x , y )

Número de restricciones: 2 (Disponibilidad de Aluminio y Acero)

Función Objetivo: Maximizar (Utilidades)

Tipos de variables por defecto: Enteras no negativas (Serán bicicletas, unidades enteras)

Formato de entrada: Matriz (Recomendado)

Una vez se registren los parámetros y al dar clic en el botón OK, se mostrará la siguiente ventana, en aras de utilizar las mismas variables que en el modelo, mostraremos el método de renombrar las variables:

Desde el menú EDIT, también podremos modificar el nombre de las restricciones, tal como se aprecia en la siguiente imagen:

La interfaz para ingresar los valores que controlan el problema es la siguiente:

En ella hemos registrado los datos que controlan nuestro problema de estudio. El siguiente paso, consiste en resolver el problema, para ello damos clic en el botón Solve and Analize: Este comando resuelve el problema . Si se especifica alguna variable como un entero o binario, el programa utilizará automáticamente el método de Branch and Bound (Rama y Cotas) para resolver el problema. El método simplex modificado es utilizado para resolver problemas de programación lineal continua.

Esta opción mostrará automáticamente un tabulado resumen de la solución si el problema tiene una solución óptima, mostrará la inviabilidad de análisis si el problema no es factible, o mostrará si el análisis no acotación si el problema no está acotado en función objetivo o valores de las variables.

Este mensaje nos indica que el problema ha sido resuelto, y que existe una solución óptima que ha sido encontrada. Al dar clic en Aceptar, nos llevará al cuadro resumen de la solución:

Interpretar cada uno de los valores del cuadro solución, es cuan o más importante que obtener la solución óptima, dado que de dicha interpretación podremos extraer un buen análisis de sensibilidad:

Solution value: Valor solución, es el valor que toman las variables de decisión en nuestra solución óptima, en este caso nos indica que se deberán producir 20 bicicletas tipo paseo y 30 bicicletas tipo montaña.

Unit Cost or Profit: El costo unitario o contribución es el valor que les fue asignado a las variables por nosotros en la función objetivo.

Total Contribution: Es la contribución total a la solución objetivo, es el producto del valor solución * costo unitario o contribución.

Basic Status: Después de que el problema se resuelve , esto representa si la variable es una variable de base, en el límite inferior, o en el límite superior en la tabla simplex final.

Allowable MIN, MAX C(j): Para un coeficiente de la función objetivo en particular. Este es el rango en que la base actual de la solución sigue siendo la misma.

Objective Function: Nos muestra el resultado de nuestra función objetivo, en este caso la solución óptima tiene una función objetivo (utilidad) de $ 850.000

Left Hand Side: Del lado izquierdo, es el valor que toma la ecuación de cada restricción luego de reemplazar las variables que la componen por los valores solución. Por ejemplo, la ecuación de la restricción de Acero que es x + 2y <= 80, al reemplazar los valores solución quedará: (20) + 2(30) <= 80, el valor del lado izquierdo será entonces 80.

Right Hand Side: Del lado derecho, es el valor asignado por nosotros a las restricciones como máximo o mínimo recurso disponible.

Slack o Surplus: Cuando la restricción en cuestión tiene el operador <=, corresponde a una holgura, es decir, se puede interpretar como el recurso no utilizado. Cuando la restricción en cuestión tiene el operador >=, corresponde a un exceso, es decir, se puede interpretar como el recurso utilizado por encima de la restricción de mínimo uso.

Shadow Price: El precio sombra de una restricción, es el cambio marginal de la función objetivo cuando el valor del lado derecho de la restricción aumenta en una unidad. En nuestro ejemplo sería así: por cada kg de acero adicional que tengamos disponible, la función objetivo aumentará en $ 1250.

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