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Método de la Ruta Crítica mediante Python (CPM)

Bryan Salazar López — Fri, 22 Oct 2021 19:02:49 +0000

Para entender de qué se trata el método de Ruta Crítica, y cómo funciona como un algoritmo de redes, podemos dirigirnos a: Método de la Ruta Crítica (CPM). De acuerdo al objetivo de este artículo, basta con mencionar que la Ruta Crítica es una herramienta que soporta el análisis, la planificación, y la programación de proyectos. Que básicamente, nos ayuda a determinar cuáles de las actividades que componen un proyecto, son críticos con relación en su efecto sobre el tiempo total del proyecto.

El objetivo de este artículo es el de, mediante herramientas tecnológicas, abordar un caso básico de CPM, para desarrollar el método utilizando un lenguaje de programación, en este caso Python, que nos permita, automatizar los cálculos y así obtener las actividades críticas del proyecto, la duración del mismo y un diagrama de Gantt.

En el desarrollo de este ejercicio emplearemos:

Colaboratory: Este es un entorno de programación y ejecución virtual de Python desarrollado por Google. Nos permitirá no tener la necesidad de realizar ninguna instalación en nuestros equipos. Todo lo que desarrollemos lo ejecutaremos en un cuaderno virtual.
Python: Este será el lenguaje de programación que vamos a utilizar, y advertimos: No es necesario tener conocimientos previos, y el objetivo del artículo no es convertirnos en programadores expertos. Utilizaremos fragmentos de códigos, librerías disponibles, y explicaremos lo necesario para configurar nuestro desarrollo de acuerdo a los objetivos específicos de nuestros modelos.
CriticalPath: Las librerías son a Python, lo que las apps son a un teléfono celular. Esta es quizá una de las características más a tractivas de este lenguaje: Casi que existe una librería para cada necesidad. En este caso, CriticalPath, es una librería que calcula la ruta crítica a través de una red de tareas.
Matplotlib: Es una biblioteca completa para crear visualizaciones estáticas, animadas e interactivas en Python. Nos permitirá visualizar nuestros nodos y nuestras localizaciones solución.
Pandas: Es un paquete de Python que proporciona estructuras de datos rápidas, y flexibles, diseñadas para que el trabajo con datos estructurados (tabulares, multidimensionales, potencialmente heterogéneos) y de series de tiempo sea fácil e intuitivo.
Numpy: Es una librería que nos permitirá efectuar operaciones matriciales en Python.
Datetime: Es un módulo que proporciona herramientas para manipular fechas y horas.

Para evaluar los resultados obtenidos a través del tratamiento de un problema técnicamente formulado y abordado, utilizaremos un caso descrito en el libro Investigación de Operaciones (9na edición), de Hamdy A. Taha (University of Arkansas, Fayetteville), (Ejemplo 6.5-1):

Caso de aplicación

Un editor firmó un contrato con un autor para publicar un libro de texto. El autor somete a consideración una copia impresa de un archivo de computadora del manuscrito. Las actividades (simplificadas) asociadas con la producción del libro de texto se resumen en la siguiente tabla.

Actividades		Predecesoras	Duración (semanas)
A	Corrección del manuscrito, por parte del editor	–	3
B	Preparación de páginas muestra	–	2
C	Diseño de la portada del libro	–	4
D	Preparación de las ilustraciones	–	3
E	Aprobación del manuscrito editado y de páginas muestra, por parte del autor	A, B	2
F	Formación del libro	E	4
G	Revisión de las páginas formadas, por parte del autor	F	2
H	Revisión de las ilustraciones por el autor	D	1
I	Producción de las placas de impresión	G, H	2
J	Producción y encuadernación del libro	C, I	4

La tarea será determinar la Ruta Crítica (Actividades críticas) y la duración estimada del proyecto.

Paso 1: Crear el entorno de trabajo en Colaboratory

Lo primero que vamos a hacer consiste en crear un entorno de trabajo en Google Colaboratory, así que vayamos allá: Abrir cuaderno nuevo.

Verán que tienen un lienzo para programar el modelo, así que en este cuaderno podemos ir generando las líneas de código que explicaremos en los pasos siguientes.

Paso 2: Importar las librerías necesarias

Respecto a las librerías, en la introducción del artículo hicimos una descripción de la funcionalidad de cada una, veamos como importarlas en nuestro entorno:

#Importar las librerías necesarias
!pip install criticalpath
from criticalpath import Node
import datetime
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.patches import Patch
import numpy as np

De esta manera, tenemos todo lo necesario para empezar a desarrollar nuestro código.

Paso 3: Ingresar los datos del modelo

Básicamente los datos del modelo corresponden a las tareas, su duración y las relaciones de dependencia que rigen la secuencia del proyecto.

El siguiente fragmento permite ingresar estos datos al modelo:

#Ingresar los datos del modelo (Tareas y dependencias)

#Crear el proyecto "p"
p = Node('proyecto')

tareas = [("A", {"duracion": 3}), 
          ("B", {"duracion": 2}), 
          ("C", {"duracion": 4}), 
          ("D", {"duracion": 3}), 
          ("E", {"duracion": 2}), 
          ("F", {"duracion": 4}), 
          ("G", {"duracion": 2}), 
          ("H", {"duracion": 1}), 
          ("I", {"duracion": 2}), 
          ("J", {"duracion": 4})]

dependencias = [("A", "E"), 
                ("B", "E"), 
                ("E", "F"),
                ("F", "G"), 
                ("G", "I"), 
                ("I", "J"),
                ("C", "J"), 
                ("H", "I"), 
                ("D", "H")]

# Cargar al proyecto las tareas y sus duraciones
for i in tareas:
    p.add(Node(i[0], duration=i[1]["duracion"]))

# Cargar al proyecto sus dependencias (secuencias)
for j in dependencias:
    p.link(j[0],j[1])

# Actualizar el proyecto:
p.update_all()

El anterior fragmento nos permite cargar todos los datos necesarios para conocer la Ruta Crítica del modelo. Veamos cómo obtenerla:

#Obtener la Ruta Crítica del modelo
p.get_critical_path()

Al ejecutar esta instrucción tenemos la siguiente salida:

De la misma manera, podemos obtener la duración estimada del proyecto:

#Obtener la duración del proyecto
p.duration

Al ejecutar esta instrucción tenemos la siguiente salida:

Así entonces, de esta manera muy sencilla tenemos las actividades que componen la Ruta Crítica y la duración del proyecto de acuerdo a CPM (17 semanas). Podríamos finalizar el modelo hasta acá, sin embargo, queremos obtener el diagrama de Gantt del proyecto, y para eso es necesario obtener algunas variables adicionales.

Paso 4: Obtener las variables de inicio y finalización

Ya que el problema planteado no establece fechas de inicio y finalización, podemos, mediante Python, utilizar una fecha de inicio artificial, por ejemplo: Hoy. ¿Con qué objetivo hacemos esto? Los diagramas de Gantt requieren de una línea de tiempo y es preciso establecer estas variables. Estableceremos fechas de inicio, de finalización y un status para cada actividad del proyecto.

En este caso puntual, ya que la duración de cada actividad se nos da en semanas, multiplicaremos el valor de la duración por 7:

#Obtener las variables de inicio y finalización
ruta_critica = [str(n) for n in p.get_critical_path()]

proj_fecha_inicio = datetime.date.today()

proj_calendario = pd.DataFrame([dict(Tarea = key, 
                                   Inicio = datetime.date.today(), 
                                   Fin = datetime.date.today() + datetime.timedelta(val['duracion']*7), 
                                   Status = 'Actividad Normal')
                              for key, val in dict(tareas).items()])

for key, val in dict(tareas).items():
    dep = [d for d in dependencias if d[1] == key]
    prev_tareas = [t[0] for t in dep]
    if prev_tareas:
        prev_fin = proj_calendario[proj_calendario.Tarea.isin(prev_tareas)]['Fin'].max()
        proj_calendario.loc[proj_calendario.Tarea == key, 'Inicio'] = prev_fin
        proj_calendario.loc[proj_calendario.Tarea == key, 'Fin'] = prev_fin + datetime.timedelta(val['duracion']*7)
        
proj_calendario.loc[proj_calendario.Tarea.isin(ruta_critica), 'Status'] = 'Ruta Crítica'
        
display(proj_calendario)

Al ejecutar este fragmento de código, tendremos:

Podemos apreciar cómo tenemos las fechas estimadas de inicio de cada actividad y su correspondiente fecha de finalización (teniendo en cuenta que la duración de las actividades está dada en semanas). También tenemos un status relacionado con la naturaleza de cada actividad: Crítica o Normal.

Y tenemos fechas de inicio y finalización, lo siguiente será calcular cuántos días pasan entre el inicio del proyecto y el inicio y finalización de cada actividad:

# Número de días desde que el proyecto inicia hasta que la tarea inicia
proj_calendario['dias_inicio'] = (proj_calendario.Inicio-proj_fecha_inicio).dt.days
# Número de días desde que el proyecto inicia hasta que la tarea finaliza
proj_calendario['dias_fin'] = (proj_calendario.Fin-proj_fecha_inicio).dt.days
# Días entre el inicio y el fin de cada tarea
proj_calendario['dias_inicio_fin'] = proj_calendario.dias_fin - proj_calendario.dias_inicio

display(proj_calendario)

Al ejecutar este fragmento de código, tendremos:

Paso 5: Obtener el diagrama de Gantt (Graficar)

El siguiente paso consiste en graficar de acuerdo al diagrama de Gantt, ls actividades del proyecto. El eje x estará dado en días.

#Graficar las actividades en un diagrama de Gantt
fig, ax = plt.subplots(1, figsize=(16,6))
ax.barh(proj_calendario.Tarea, proj_calendario.dias_inicio_fin, left=proj_calendario.dias_inicio)
plt.show()

Al ejecutar el fragmento tendremos:

Paso 6: Mejorar el diagrama de Gantt

Una vez obtenido el diagrama podemos realizar modificaciones sobre el mismo, por ejemplo: dar un color específico a las actividades de la ruta crítica, anexar leyendas, entre otros. Vamos a resaltar con rojo las actividades críticas, y a anexar alguna leyenda de actividades:

# Dar color rojo a las columnas de actividades críticas
def color(row):
    c_dict = {'Ruta Crítica':'#E64646', 'Actividad Normal':'#4F81BE'}
    return c_dict[row['Status']]
proj_calendario['color'] = proj_calendario.apply(color, axis=1)
fig, ax = plt.subplots(1, figsize=(16,6))
ax.barh(proj_calendario.Tarea, proj_calendario.dias_inicio_fin, left=proj_calendario.dias_inicio, color=proj_calendario.color)

#Anexar leyendas
c_dict = {'Ruta crítica':'#E64646', 'Actividad normal':'#4F81BE'}
leyenda = [Patch(facecolor=c_dict[i], label=i)  for i in c_dict]
plt.legend(handles=leyenda)

plt.show()

Al ejecutar el fragmento tendremos:

Ahora tenemos un modelo capaz de obtener las actividades críticas de un proyecto, determinar su duración de acuerdo al algoritmo CPM y graficar las actividades mediante un diagrama de Gantt.

También es posible incorporar una variable de «estado de terminación» de cada actividad, para así observar el avance del proyecto.

El código completo de este desarrollo lo puedes encontrar en nuestro cuaderno: Método de la Ruta Crítica (CPM) mediante Python.

La entrada Método de la Ruta Crítica mediante Python (CPM) se publicó primero en Ingenieria Industrial Online.

PERT – Técnica de evaluación y revisión de proyectos

Bryan Salazar López — Thu, 13 Jun 2019 20:38:22 +0000

El método PERT (Project Evaluation and Review Techniques), es un algoritmo basado en la teoría de redes diseñado para facilitar la planificación de proyectos. El resultado final de la aplicación de este algoritmo será un cronograma para el proyecto, en el cual se podrá conocer la duración total del mismo, y la clasificación de las actividades según su criticidad.

El algoritmo PERT se desarrolla mediante intervalos probabilísticos, considerando tiempos optimistas, probables y pesimistas, lo cual lo diferencia del método CPM que supone tiempos determinísticos.

Conceptos básicos para diagramar actividades con redes

Regla 1: Cada actividad se debe representar sí y sólo sí, por un ramal o arco.

Regla 2: Cada actividad debe estar identificada por dos nodos distintos. En el caso de existir actividades concurrentes (que inicien al mismo tiempo, o que el inicio de una actividad dependa de la finalización de 2 o más actividades distintas) se debe recurrir a actividades ficticias (representadas por arcos punteados que no consumen ni tiempo ni recursos) para satisfacer esta regla.

Por ejemplo, la actividad C para su inicio requiere que finalicen A y B. Las actividades A y B inician al mismo tiempo.

Fases para la planificación de un proyecto con PERT

Paso 1: Actividades del proyecto

La primera fase corresponde a identificar todas las actividades que intervienen en el proyecto, sus interrelaciones, sucesiones, reglas de precedencia. Con la inclusión de cada actividad al proyecto se debe cuestionar respecto a que actividades preceden a esta, y a cuales siguen inmediatamente esta finalice. Además, deberán relacionarse los tiempos estimados para el desarrollo de cada actividad.

A diferencia del método CPM, el método PERT asume tres estimaciones de tiempo por cada actividad, estas estimaciones son:

Tiempo optimista (a): Duración que ocurre cuando el desarrollo de la actividad transcurre de forma perfecta. En la práctica suele acudirse al tiempo récord de desarrollo de una actividad, es decir, el mínimo tiempo en que una actividad de esas características haya sido ejecutada.

Tiempo más probable (m): Duración que ocurre cuando el desarrollo de la actividad transcurre de forma normal. En la práctica suele tomarse como el tiempo más frecuente de ejecución de una actividad de iguales características.

Tiempo pesimista (b): Duración que ocurre cuando el desarrollo de la actividad transcurre de forma deficiente, o cuando se materializan los riesgos de ejecución de la actividad.

Paso 2: Calcular el tiempo estimado (Duración promedio) y la varianza

Para efectos de determinar la ruta crítica del proyecto se acude al tiempo de duración promedio, también conocido cómo tiempo estimado. Este tiempo es determinado a partir de las estimaciones como:

El cálculo del tiempo estimado deberá hacerse entonces para cada actividad. Por ejemplo para la actividad A:

Además de calcular el tiempo estimado, deberá calcularse la varianza de cada actividad. El cálculo de esta medida de dispersión se utiliza para determinar la incertidumbre de que se termine el proyecto de acuerdo al programa. Para efectos del algoritmo PERT, el cálculo de la varianza se hará a partir de sus estimaciones tal cómo se muestra a continuación:

El cálculo de la varianza deberá hacerse entonces para cada actividad. Por ejemplo para la actividad A:

Para las actividades del tabulado mencionado en el Paso 1, los tiempos estimados y varianzas serían las siguientes:

Paso 3: Diagrama de red

Con base en la información obtenida en la fase anterior y haciendo uso de los conceptos básicos para diagramar una red, obtendremos el gráfico del proyecto (los tiempos relacionados con cada actividad en el gráfico corresponden a los tiempos estimados):

Paso 4: Calcular la red

Para el cálculo de la red se consideran 3 indicadores, T1, T2 y H. Estos indicadores se calculan en cada evento o nodo (entiéndase nodo entonces como un punto en el cual se completan actividades y se inician las subsiguientes.

T1: Tiempo más temprano de realización de un evento. Para calcular este indicador deberá recorrerse la red de izquierda a derecha y considerando lo siguiente:

T1 del primer nodo es igual a 0.
T1 del nodo n = T1 del nodo n-1 (nodo anterior) + duración de la actividad (tiempo estimado) que finaliza en el nodo n.
Si en un nodo finaliza más de una actividad, se toma el tiempo de la actividad con mayor valor.

En este caso para el cálculo del T1 en el nodo 8, en el que concurre la finalización de 2 actividades, deberá considerarse el mayor de los T1 resultantes:

T1 (nodo 6) + G = 13 + 6 = 19

T1 (nodo 7) + H = 8 + 4 = 12

Así entonces, el T1 del nodo 8 será igual a 19 (el mayor valor).

T2: Tiempo más tardío de realización del evento. Para calcular este indicador deberá recorrerse la red de derecha a izquierda y considerando lo siguiente:

T2 del primer nodo (de derecha a izquierda) es igual al T1 de este.
T2 del nodo n = T2 del nodo n-1 (nodo anterior, de derecha a izquierda) – duración de la actividad que se inicia (tiempo estimado).
Si en un nodo finaliza más de una actividad, se toma el tiempo de la actividad con menor valor.

En este caso para el cálculo del T2 del nodo 1, en el que concurren el inicio de 2 actividades deberá entonces considerarse lo siguiente:

T2 nodo 2 – B = 6 – 6 = 0

T2 nodo 3 – C = 9 – 2 = 7

Así entonces, el T2 del nodo 1 será 0, es decir el menor valor.

H: Tiempo de holgura, es decir la diferencia entre T2 y T1. Esta holgura, dada en unidades de tiempo corresponde al valor en el que la ocurrencia de un evento puede tardarse. Los eventos en los cuales la holgura sea igual a 0 corresponden a la ruta crítica, es decir que la ocurrencia de estos eventos no puede tardarse una sola unidad de tiempo respecto al cronograma establecido, dado que en el caso en que se tardara retrasaría la finalización del proyecto.

Las actividades críticas por definición constituyen la ruta más larga que abarca el proyecto, es decir que la sumatoria de las actividades de una ruta crítica determinará la duración estimada del proyecto. Puede darse el caso en el que se encuentren más de una ruta crítica.

Ruta crítica

Esta ruta se encuentra compuesta por las actividades A, C, E, G, I, J. La duración del proyecto sería de 22 semanas.

Paso 5: Cálculo de la varianza, desviación estándar y probabilidades

La varianza y la desviación estándar para la culminación del proyecto se relacionan con las actividades que comprenden la ruta crítica. Así entonces, para calcular la varianza basta con sumar las varianzas de las actividades A, C, E, G, I y J:

La desviación estándar corresponde a la raíz cuadrada de la varianza del proyecto, es decir:

Con la información que acabamos de obtener podemos efectuar cálculos probabilísticos de terminación del proyecto. Por ejemplo, sí se nos pide hallar la probabilidad de que el proyecto se culmine antes de 26 semanas, procederíamos de la siguiente forma y siguiendo la teoría de distribución normal:

Buscando este valor en una tabla de distribución normal encontramos que equivale a 0,9812, es decir que la probabilidad de culminar el proyecto en 26 semanas o menos es del 98,12%.

Paso 6: Establecer el cronograma

Para establecer un cronograma deberán considerarse varios factores, el más importante de ellos es la relación de precedencia, y el siguiente corresponde a escalonar las actividades que componen la ruta crítica de tal manera que se complete el proyecto dentro de la duración estimada.

La entrada PERT – Técnica de evaluación y revisión de proyectos se publicó primero en Ingenieria Industrial Online.

Método de la ruta crítica – CPM

Bryan Salazar López — Wed, 12 Jun 2019 21:39:21 +0000

El método de la ruta crítica CPM (Critical Path Method), es un algoritmo basado en la teoría de redes diseñado para facilitar la planificación de proyectos. El resultado final del CPM será un cronograma para el proyecto, en el cual se podrá conocer la duración total del mismo, y la clasificación de las actividades según su criticidad. El algoritmo CPM se desarrolla mediante intervalos determinísticos, lo cual lo diferencia del método PERT que supone tiempos probabilísticos.

Conceptos básicos para diagramar actividades con redes

Regla 1: Cada actividad se debe representar sí y sólo sí, por un ramal o arco.

Por ejemplo, la actividad C para su inicio requiere que finalicen A y B. Las actividades A y B inician al mismo tiempo.

Fases para la planificación de un proyecto con CPM

Paso 1: Actividades del proyecto

La primera fase corresponde a identificar todas las actividades que intervienen en el proyecto, sus interrelaciones, sucesiones, reglas de precedencia. Con la inclusión de cada actividad al proyecto se debe cuestionar respecto a que actividades preceden a esta, y a cuales siguen inmediatamente esta finalice. Además, deberá relacionarse el tiempo estimado para el desarrollo de cada actividad.

Actividad	Actividad predecesora	Tiempo
A	—	3h
B	A	1h
C	A	2h
D	A	2h
E	B – C – D	4h

Paso 2: Diagrama de la red

Con base en la información obtenida en la fase anterior y haciendo uso de los conceptos básicos para diagramar una red, obtendremos el gráfico del proyecto:

Fb y Fd corresponde a actividades ficticias que no consumen tiempo ni recursos.

Paso 3: Calcular la red

T1: Tiempo más temprano de realización de un evento. Para calcular este indicador deberá recorrerse la red de izquierda a derecha y considerando lo siguiente:

T1 del primer nodo es igual a 0.
T1 del nodo n = T1 del nodo n-1 (nodo anterior) + duración de la actividad que finaliza en el nodo n.
Si en un nodo finaliza más de una actividad, se toma el tiempo de la actividad con mayor valor.

En este caso para el cálculo del T1 en el nodo 4, en el que concurren la finalización de 3 actividades, 2 de ellas ficticias (Fb y Fd, cuyos tiempos son cero) y una es la actividad C. En este caso deberá considerarse el mayor de los T1 resultantes:

T1 (nodo 3) + Fb = 4 + 0 = 4

T1 (nodo 2) + C = 3 + 2 = 5

T1 ( nodo 5) + Fd = 5 + 0 = 5

Así entonces, el T1 del nodo 4 será igual a 5 (el mayor valor).

T2: Tiempo más tardío de realización del evento. Para calcular este indicador deberá recorrerse la red de derecha a izquierda y considerando lo siguiente:

T2 del primer nodo (de derecha a izquierda) es igual al T1 de este.
T2 del nodo n = T2 del nodo n-1 (nodo anterior, de derecha a izquierda) – duración de la actividad que se inicia.
Si en un nodo finaliza más de una actividad, se toma el tiempo de la actividad con menor valor.

En este caso para el cálculo del T2 del nodo 2, en el que concurren el inicio de varias actividades deberá entonces considerarse lo siguiente:

T2 nodo 3 – B = 5 – 1 = 4

T2 nodo 4 – C = 5 – 2 = 3

T2 nodo 5 – D = 5 – 2 = 3

Así entonces, el T2 del nodo 2 será 3, es decir el menor valor.

Ruta crítica 1:

Esta ruta se encuentra compuesta por las actividades A, C y E. La duración del proyecto será de 9 horas.

Ruta Crítica 2:

Paso 4: Establecer el cronograma

Te invitamos a leer: Método de la Ruta Crítica (CPM) mediante Python

La entrada Método de la ruta crítica – CPM se publicó primero en Ingenieria Industrial Online.

Problemas de asignación

Bryan Salazar López — Wed, 12 Jun 2019 20:52:09 +0000

El problema de asignación es una variación del problema original de transporte, variación en la cual las variables de decisión X(i,j) solo pueden tomar valores binarios, es decir ser cero (0) o uno (1), en la solución óptima, lo que supone que la oferta y la demanda están perfectamente alineadas, de hecho ambas son iguales a uno (1).

Múltiples son los casos en los que como ingenieros industriales podemos hacer uso del problema de asignación para resolver diversas situaciones, entre los que cabe mencionar se encuentran la asignación de personal a maquinas, herramientas a puestos de trabajos, horarios a maestros, candidatos a vacantes, huéspedes a habitaciones, comensales a mesas, vendedores a zonas territoriales etc.

En el modelo de asignación, la idea fundamental de resolución es ¿Qué fuente satisface mejor el destino?, y dado que hemos asociado el modelo a una gran diversidad de circunstancias esta pregunta puede plantearse en múltiples contextos, como ¿Qué candidato es el idóneo para la vacante?, o ¿Qué personal es el indicado para la línea productiva?, o ¿Qué personal es el mejor para ejecutar determinada tarea?. Una característica particular del modelo de asignación es que para su resolución no se hace necesario que el número de fuentes sea igual al número de destinos, lo cual es muy común en la vida real, teniendo en cuenta su aplicación, pues generalmente la cantidad de aspirantes es superior al número de vacantes (lógicamente haciendo referencia a la aplicación del modelo al contexto de oferta y demanda laboral).

Método Húngaro

Apartándonos un poco de la idea expresada en módulos anteriores respecto a la facilidad de resolver problemas atinentes a la investigación operativa en especial aquellos de transporte mediante el uso de herramientas tecnológicas como lo son WinQSB, LINGO, TORA, STORM, Excel, Or Tools, etc.. vale la pena ya sea para fines académicos o de cultura ingenieril realizar la resolución del problema de asignación mediante el algoritmo que se creó para tal fin, como lo es el Método Húngaro.

El método Húngaro es un método de optimización de problemas de asignación, conocido como tal gracias a que los primeros aportes al método clásico definitivo fueron de Dénes König y Jenő Egerváry dos matemáticos húngaros. El algoritmo tal como se detallará a continuación está diseñado para la resolución de problemas de minimización únicamente, será entonces cuestión de agregar un paso adicional para abordar ejercicios de maximización.

Paso 1

Antes que nada cabe recordar que el método húngaro trabaja en una matriz de costos n*m (en este caso conocida como matriz m*m, dado que el número de filas es igual al número de columnas n = m), una vez construida esta se debe encontrar el elemento más pequeño en cada fila de la matriz.

Paso 2

Una vez se cumple el procedimiento anterior se debe construir una nueva matriz n*m, en la cual se consignarán los valores resultantes de la diferencia entre cada costo y el valor mínimo de la fila a la cual cada costo corresponde (valor mínimo hallado en el primer paso).

Paso 3

Este paso consiste en realizar el mismo procedimiento de los dos pasos anteriores referidos ahora a las columnas, es decir, se halla el valor mínimo de cada columna, con la diferencia que este se halla de la matriz resultante en el segundo paso, luego se construirá una nueva matriz en la cual se consignarán los valores resultantes de la diferencia entre cada costo y el valor mínimo de la columna a la cual cada costo corresponde, matriz llamada «Matriz de Costos Reducidos».

Paso 4

A continuación se deben de trazar líneas horizontales o verticales o ambas (únicamente de esos tipos) con el objetivo de cubrir todos los ceros de la matriz de costos reducidos con el menor número de líneas posibles, si el número de lineas es igual al número de filas o columnas se ha logrado obtener la solución óptima (la mejor asignación según el contexto de optimización), si el número de líneas es inferior al número de filas o columnas se debe de proceder con el paso 5.

Paso 5

Este paso consiste en encontrar el menor elemento de aquellos valores que no se encuentran cubiertos por las lineas del paso 4, ahora se restará del restante de elementos que no se encuentran cubiertos por las líneas; a continuación este mismo valor se sumará a los valores que se encuentren en las intersecciones de las lineas horizontales y verticales, una vez finalizado este paso se debe volver al paso 4.

Solución de un problema de asignación mediante el Método Húngaro

El problema

La compañía de manufactura «Jiménez y Asociados» desea realizar una jornada de mantenimiento preventivo a sus tres máquinas principales A, B y C. El tiempo que demanda realizar el mantenimiento de cada máquina es de 1 día, sin embargo la jornada de mantenimiento no puede durar más de un día, teniendo en cuenta que la compañía cuenta con tres proveedores de servicios de mantenimiento debe de asignarse un equipo de mantenimiento a cada máquina para poder cumplir con la realización del mantenimiento preventivo. Teniendo en cuenta que según el grado de especialización de cada equipo prestador de servicios de mantenimiento el costo de la tarea varía para cada máquina en particular, debe de asignarse el equipo correcto a la máquina indicada con el objetivo de minimizar el costo total de la jornada. Los costos asociados se pueden observar en la siguiente tabla:

Paso 1

Encontramos el menor elemento de cada fila

Paso 2

Construimos una nueva matriz con las diferencias entre los valores de la matriz original y el elemento menor de la fila a la cual corresponde.

Paso 3

En la matriz construida en el paso anterior se procede a efectuar el paso 1 esta vez en relación a las columnas, por ende escogemos el elemento menor de cada columna. Igualmente construimos una nueva matriz con la diferencia entre los valores de la matriz 2 y el elemento menor de la columna a la cual corresponde cada valor.

Paso 4

En este paso trazaremos la menor cantidad de combinaciones de líneas horizontales y verticales con el objetivo de cubrir todos los ceros de la matriz de costos reducidos.

Como se puede observar el menor número de líneas horizontales y/o verticales necesarias para cubrir los ceros de la matriz de costos reducidos es igual a 2, por ende al ser menor que el número de filas o columnas es necesario recurrir al paso 5.

Paso 5

En este paso seleccionamos el menor elemento de los elementos no subrayados.

Luego se procede a restarse de los elementos no subrayados y a adicionarse a los elementos ubicados en las intersecciones de las líneas, en este caso existe una única intersección (3).

Ahora ya efectuado este paso pasamos al paso 4.

Ahora observamos cómo se hace necesario trazar tres líneas (la misma cantidad de filas o columnas de la matriz) por ende se ha llegado al tabulado final, en el que por simple observación se determina las asignaciones óptimas.

Por ende la asignación que representa el menor costo para la jornada de mantenimiento preventivo determina que el Equipo 1 realice el mantenimiento de la Máquina 1, el Equipo 2 realice el mantenimiento de la Máquina 3 y el Equipo 3 realice el mantenimiento de la Máquina 2, jornada que tendrá un costo total de 17 unidades monetarias.

Solución de un problema de maximización mediante el Método Húngaro

El problema

Una organización de recolección de café cuenta con tres equipos de siembra y cosecha del mismo (equipos 1, 2, 3). Estos equipos de trabajo se encuentran entrenados para trabajar en condiciones particulares del proceso, condiciones como lo son el tipo de suelo, las condiciones del clima y el tipo de grano. La organización cuenta con cuatro terrenos disponibles para efectuar el proceso de siembra y cosecha (terrenos A, B, C, D), estos terrenos tienen condiciones particulares de suelo, clima y tipo de grano. Cada equipo cuenta con la capacidad de efectuar el proceso en solo uno de los terrenos disponibles, salvo el equipo 2, que cuenta con una serie de herramientas tecnológicas que le permiten realizar la siembra y cosecha del grano en dos de los terrenos disponibles.

Se ha contratado a un Ingeniero Industrial con el objetivo de realizar las asignaciones precisas que maximicen la cantidad de sacos de café cosechados en total. El siguiente tabulado muestra la capacidad (en cientos de sacos) de cosecha de café de cada uno de los equipos dependiendo de cada uno de los terrenos.

Solución

En este problema debemos recordar un concepto fundamental para la aplicación del método húngaro, este concepto nos dice que el número de filas debe ser exactamente igual al número de columnas. Por ende, la acción a realizar debería ser crear un equipo ficticio, el cual nos deje el tabulado balanceado y a este asignarle un número de sacos cosechados equivalente a cero en cada uno de los terrenos. Sin embargo el problema nos indica que uno de los equipos se encuentra en capacidad de que se le asignen dos terrenos, en este caso crearemos un equipo 2 alternativo (Equipo 2B) el cual nos balanceará el tabulado y nos hará prescindir del equipo ficticio pensado inicialmente. A este equipo 2B que crearemos le corresponderá la misma capacidad de cosecha del equipo 2 (en adelante equipo 2A) según el terreno, lógicamente.

Una vez balanceado el tabulado debemos de cuestionarnos acerca del criterio de optimización, pues recordemos que el método húngaro se encuentra diseñado para ejercicios de minimización. En este caso nuestro objetivo es maximizar, por lo que tendremos que aplicar un paso adicional.

Lo primero que debemos hacer es ubicar el mayor valor del tabulado inicial.

En este caso este valor es 15, por lo cual procederemos a realizar la siguiente operación con cada uno de los valores:

Restaremos a 15, el valor de cada una de las celdas y este valor quedará en cada una de las celdas correspondientes.

Ahora nuestro tabulado inicial quedará de la siguiente manera:

A partir de este tabulado ya podemos aplicar el algoritmo del método húngaro como se aplicaría en un caso e minimización (normalmente).

Ahora encontramos el menor elemento de cada fila.

Y se lo restamos a todas las celdas de la fila.

Ahora efectuamos este mismo paso, pero esta vez con las columnas. Elegimos el menor de los valores de cada columna y se lo restamos a cada una de las celdas de la columna correspondiente.

Ahora procedemos a cubrir la mayor cantidad de ceros, con la menor cantidad de líneas, si el número de líneas que empleemos es igual al grado de la matriz (en este caso matriz grado 4, 4×4) habremos llegado al final del ejercicio.

Dado que el número de líneas es igual al grado de la matriz, hemos concluido el algoritmo. Lo único que quedará será asignar a cada equipo el terreno en el que el intercepto es igual a 0 (cero).

Las asignaciones, como es lógico deberán iniciarse por el equipo al cual solo corresponda un terreno, en este caso al Equipo 3 le corresponde el Terreno A. De esta manera al Equipo 1 le corresponde el Terreno D. Mientras tanto el Equipo 2 se encargará de la cosecha en los terrenos B y C. Según el tabulado del problema (recordemos que es de maximización), la cantidad de sacos (expresada en cientos de sacos) será así:

Solución de un problema de asignación mediante programación lineal

El problema

La compañía de manufactura «Jiménez y Asociados» desea realizar una jornada de mantenimiento preventivo a sus tres máquinas principales A, B y C. El tiempo que demanda realizar el mantenimiento de cada máquina es de 1 día, sin embargo la jornada de mantenimiento no puede durar más de un día, teniendo en cuenta que la compañía cuenta con tres proveedores de servicios de mantenimiento debe de asignarse un equipo de mantenimiento a cada máquina para poder cumplir con la realización del mantenimiento preventivo. Teniendo en cuenta que según el grado de especialización de cada equipo prestador de servicios de mantenimiento el costo de la tarea varía para cada máquina en particular, debe de asignarse el equipo correcto a la máquina indicada con el objetivo de minimizar el costo total de la jornada. Los costos asociados se pueden observar en la siguiente tabla:

Variables de decisión

Las variables de decisión de este tipo de problemas es igual a las variables de cualquier modelo de transporte tradicional, es decir variables X_i,j donde i {Equipo de mantenimiento 1,2,3} y j {Máquina 1,2,3}, y corresponden a variables binarias en las cuales el valor 1 significa la asignación de un equipo de mantenimiento a una máquina en particular.

Restricciones

Dado que un equipo de mantenimiento no puede ser asignado a más de una maquinaria, esta característica debe de restringirse mediante las siguientes inecuaciones.

X_1,1 + X_1,2 + X_1,3 = 1

X_2,1 + X_2,2 + X_2,3 = 1

X_3,1 + X_3,2 + X_3,3 = 1

Además debe restringirse el hecho de que cada máquina solo requiere de un equipo de mantenimiento, por ende

X_1,1 + X_2,1 + X_3,1 = 1

X_1,2 + X_2,2 + X_3,2 = 1

X_1,3 + X_2,3 + X_3,3 = 1

Además se hace necesario que para efectos de resolución en cualquier paquete de herramientas se especifique que estas variables corresponden al conjunto de los enteros (por obvias razones) y que deben ser mayores que cero (dado que es un problema de minimización esta restricción se hace muy necesario).

X_i,j ≥ 0

X_i,j ∈ {Z}

Función Objetivo

Z_MIN = 10X_1,1 + 9X_1,2 + 5X_1,3 + 9X_2,1 + 8X_2,2 + 3X_2,3 + 6X_3,1 + 4X_3,2 + 7X_3,3

Ingresando los datos a WinQSB

Resultados obtenidos mediante WinQSB

Solución de un problema de asignación mediante WinQSB – Network Modeling

La facilidad de resolver un problema de asignación mediante WinQSB es aún mayor a la que se incurre mediante programación lineal, y esta metodología justifica el pensar en que el método húngaro es sumamente anacrónico únicamente contemplado para fines históricos y académicos. En el módulo NETWORK MODELING del paquete de herramientas WinQSB se puede resolver el modelo tan solo traspasando los costos de una matriz n*m a otra que brinda el módulo n*m.

Ingresando los datos a WinQSB – Network Modeling

Resultados obtenidos mediante WinQSB – Network Modeling

De esta manera se hace evidente cual es la alternativa predilecta para resolver problemas de asignación.

Le recomendamos revisar: Problemas de asignación en Google OR-Tools. Descubre esta poderosa herramienta de modelamiento y solución de problemas de optimización.

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Variables binarias – El Caso de la Bauxita

Bryan Salazar López — Wed, 12 Jun 2019 20:11:50 +0000

Las variables binarias son un artificio matemático que permite que modelos de programación no lineal se resuelvan como tal. El buen uso de las variables binarias se convierte en una poderosa herramienta matemática para plantear problemas más complejos que los que habitualmente se resuelven acudiendo a las variables continuas.

Como su nombre lo indica, una variable binaria es aquella que puede tomar valores ya sea de cero (0) o uno (1), esta idea tan simple puede convertirse en una ayuda fundamental tanto para la modelación, como para la resolución de los problemas. Un ejemplo de ello puede ser el caso en el que determinado producto puede producirse o no, también un centro de distribución que puede abrirse o no.

El fundamento económico que más se presta para ser resuelto mediante el uso de variables binarias es el de Costo Fijo, el cual es fijo por cantidad y variable por unidad, pero depende si el recurso relacionado al costo se usa, o no, por ejemplo, el costo de arrendamiento de una bodega, el cual se cobrará a partir de la producción de cualquier unidad, pero no se cobrará si no se produce unidad alguna (no se hace uso de la bodega).

Otra ejemplo de la aplicación de las variables binarias se puede apreciar cuando en el sistema existen restricciones excluyentes (condicionadas la una de la otra), es decir, que a partir de la satisfacción de una condición no se hace necesario el cumplimiento de la otra condición. Por ejemplo, si se desea lanzar una producción de calzado en el cual se tenga que decidir alquilar un equipo de inyección y en el mercado existen dos alternativas de maquinarias pero solo una es contratable, en este caso se planeará la producción con las capacidades y costos asociados a cada equipo, sin embargo ambas restricciones son excluyentes, es decir solo se aplicará una de las dos.

El caso de la Bauxita

El caso de la BAUXITA es un ejemplo preparado por el Pr. Carlos Julio Vidal Holguín, en el cual se plantea un ejercicio aplicable a la cadena de abastecimiento en el cual hay que resolver un modelo de transbordo para lograr producir aluminio.

Los resultados del problema deben de determinar las rutas que se emplearán para realizar la distribución de materias primas y producto terminado, además de determinar que plantas de procesamiento operan o no (para lo cual hay que hacer uso de las variables binarias) con el objetivo de satisfacer todas los requerimientos de los clientes al menor costo total posible.

Una compañía multinacional de aluminio tiene depósitos de bauxita (materia prima) en tres lugares del mundo A, B y C. Tiene además cuatro plantas donde la bauxita se convierte en alúmina (un producto intermedio), en lugares B, C, D y E. También tiene plantas de esmaltado en los lugares D y E. El proceso de conversión de la bauxita en alúmina es relativamente poco costoso. El esmaltado, sin embargo, es costoso puesto que se requiere de un equipo electrónico especial. Una tonelada de alúmina produce 0.4 toneladas de aluminio terminado. Los datos siguientes están disponibles.

Conversión de Bauxita en alúmina

Proceso de esmaltado

Las ventas anuales de aluminio terminado son de 1000 toneladas (ton) en la planta D y 1200 ton en la planta E.

Costos de transporte en $/ton de Bauxita

Los números que aparecen ordinalmente enseguida de cada fuente y destino serán utilizados para definir las variables.

Costos de transporte de alúmina, en $/ton de alúmina

Los lingotes de producto terminado no se transportan entre D y E y viceversa. Formule y resuelva un modelo de optimización para determinar la mejor red – configuración y diseño de la cadena de abastecimiento presentada.

Note que existe un problema de determinar cuáles plantas de alúmina deben ser abiertas.

Variables de decisión

Las variables de decisión se plantearán mayoritariamente en relación a las unidades a transportar desde un nodo hacia el otro.

Una muy buena manera de llamar a las variables es sugerido en la anterior gráfica (X(ij) – Y(jk) – W(j)). Por ende las variables de decisión serán:

X_ij = Cantidad de toneladas de bauxita a transportar desde la mina i hacia la planta de alúmina j por año; donde i {A,B,C} y j {B,C,D,E}.

Y_jk= Cantidad de toneladas de alúmina a transportar desde la planta de alúmina j hacia la planta de esmaltado k por año; donde j {B,C,D,E} y k {D,E}.

Hasta este punto todo es normal, sin embargo es necesario determinar una serie de variables binarias que indicarán que plantas de alúmina se abrirán o no, además estas estarán asociadas a los costos fijos generados por la apertura de cada planta en la función objetivo.

W_j= 1, si la planta j se abre, de lo contrario 0; donde j {B,C,D,E}. (Variable Binaria).

Restricciones

Restricciones por capacidad anual de cada mina de Bauxita

Mina A: X_AB + X_AC + X_AD + X_AE ≤ 36000

Mina B: X_BB + X_BC + X_BD + X_BE ≤ 52000

Mina C: X_CB + X_CC + X_CD + X_CE ≤ 28000

Es decir que todos los envíos efectuados desde cada mina hacia cualquiera de los cuatro destinos no puede exceder la capacidad de cada mina.

Restricciones por capacidad anual de procesamiento de Bauxita en cada planta de alúmina

Planta B: X_AB + X_BB + X_CB ≤ 40000W_B

Planta C: X_AC + X_BC + X_CC ≤ 20000W_C

Planta D: X_AD + X_BD + X_CD ≤ 30000W_D

Planta E: X_AE + X_BE + X_CE ≤ 80000W_E

Estas restricciones aseguran que los enviados realizados desde cualquiera de las minas hacia cada planta específica sean menores o iguales a los que cada planta pueda procesar, además la capacidad de cada planta va acompañada de la variable binaria que le corresponde, es decir que como el valor que puede adquirir cada variable binaria es 1 o 0, cuando esta sea 1 (la planta se abre) la capacidad se multiplicará por uno (1) es decir que no se altera, pero cuando esta variable adquiera el valor de 0 (la planta no se abre) la capacidad se multiplicará por cero (0) es decir que la capacidad quedará reducida a 0 por ende no se podrán enviar unidades a esa planta.

Restricciones por capacidad anual de procesamiento de alúmina en cada planta de esmaltado

En este conjunto de restricciones no se utilizarán las variables correspondientes a las de envío de Bauxita (X) sino las correspondientes al envío de Alúmina (Y), en las restricciones de balanceo representaremos la equivalencia dado el rendimiento que tiene la Bauxita de cada mina para convertirse en alúmina.

Planta D: Y_BD + Y_CD + Y_DD + Y_ED ≤ 4000

Planta E: Y_BE + Y_CE + Y_DE + Y_EE ≤ 7000

Es decir que todos los envíos de alúmina hacia las plantas de esmaltado no superen cada una de las capacidades de procesamiento de las mismas.

Restricciones por las ventas anuales de aluminio terminado en cada planta de esmaltado

En este caso se debe recordar que existe una equivalencia entre la alúmina y el aluminio terminado (equivalencia determinada por el rendimiento de la alúmina para fabricar aluminio que es del 40%, «una tonelada de alúmina produce 0.4 toneladas de aluminio terminado»). Entonces podemos usar las variables de toneladas de alúmina con su debida equivalencia para elaborar las restricciones de demanda.

Planta D: 0,4(Y_BD + Y_CD + Y_DD + Y_ED) = 1000

Planta E: 0,4(Y_BE + Y_CE + Y_DE + Y_EE) = 1200

Restricciones de balance

Como lo mencionamos en módulos anteriores las restricciones de balance tienen lugar en los nodos de transbordo, es decir, en los nodos que no son de oferta o demanda pura. Como en este nodo entran variables que representan toneladas de Bauxita y salen variables que representan alúmina se debe de aplicar el rendimiento correspondiente para realizar la conversión.

0.060X_AB + 0.080X_BB + 0.062X_CB = Y_BD + Y_BE

0.060X_AC + 0.080X_BC + 0.062X_CC = Y_CD + Y_CE

0.060X_AD + 0.080X_BD + 0.062X_CD = Y_DD + Y_DE

0.060X_AE + 0.080X_BE + 0.062X_CE = Y_ED + Y_EE

Al introducir estos datos en software como WinQSB debemos saber que al lado derecho del signo igual o el signo de la inecuación no deben ir variables, por ende estas pasan a restar al lado izquierdo, igualando la ecuación a cero (0).

Restricciones obvias

Las cuales determinan la naturaleza de las variables

X_ij ≥ 0 ∀ i,j

X_jk ≥ 0 ∀ j,k

W_j ∈ {1,0} ∀ j

Función Objetivo

Para elaborar la función objetivo hay que tener en cuenta los costos de explotación en cada mina, los costos de procesamiento de bauxita en las plantas de alúmina, los costos procesamiento en cada planta de esmaltado, así como los costos de envío asociados a cada ruta y determinantemente los costos relacionados con las variables binarias los cuales son los costos fijos condicionados a si la planta se abre o no.

Z_MIN = 820X_AB + 2430X_AC + 930X_AD + 2340X_AE + 370X_BB + 990X_BC + 580X_BD + 1870X_BE + 2170X_CB + 550X_CC + 1160X_CD + 1480X_CE + 9050Y_BD + 7040Y_BE + 9440Y_CD + 6460Y_CE + 8880Y_DD + 7195Y_DE + 10205Y_ED + 5440Y_EE + 3000000W_B + 2500000W_C + 4800000W_D + 6000000W_E

Ingresando los datos a WinQSB

Resultados obtenidos mediante WinQSB

El anterior problema resuelto es un ejemplo introductorio a la modelación a gran escala y a la aplicación que tienen la investigación de operaciones dentro de las nuevas tendencias de Cadena de Abastecimiento.

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Algoritmo de la ruta más corta

Bryan Salazar López — Wed, 12 Jun 2019 19:14:22 +0000

Ya el nombre de este tipo de algoritmo es bastante sugestivo. El algoritmo de la ruta más corta consiste, si es necesario decirlo, en una modalidad de problemas de redes, en la cual se debe determinar el plan de rutas que genere la trayectoria con la mínima distancia total, que una un nodo fuente con un nodo destino, sin importar el número de nodos que existan entre estos.

Esta modalidad de problemas puede solucionarse como un modelo de transbordo normal, sin embargo la principal sugerencia es la de establecer una oferta en el nodo fuente igual a una unidad (1) y establecer una demanda en el arco destino igual a una unidad (1).

Vale la pena considerar, que en la práctica, es muy frecuente la utilización del algoritmo resultante con variaciones que consisten en la minimización de tiempos, no necesariamente de distancias.

Algoritmo de la ruta más corta – Ejemplo

El caso

Un minero ha quedado atrapado en una mina, la entrada a la mina se encuentra ubicada en el nodo 1, se conoce de antemano que el minero permanece atrapado en el nodo 9, para llegar a dicho nodo hay que atravesar una red de túneles que van conectados entre sí. El tiempo de vida que le queda al minero sin recibir auxilio es cada vez menor y se hace indispensable hallar la ruta de acceso al nodo 9 más corta. Las distancias entre nodos de la mina se encuentran en la siguiente gráfica dadas en cientos de metros. Formule un modelo de transbordo y resuelva mediante cualquier paquete de herramientas de investigación operativa que permita establecer la ruta más corta para poder así auxiliar al minero.

Variables de decisión

El nombre de las variables en este caso poco importa, dado que de ser escogida para la solución básica eso significa simplemente que será empleada como ruta para ir a rescatar al minero, sin embargo nada tiene de malo el que se le pueda asociar con el envío de unidades desde la entrada de la mina hacia el minero, por ende puede sugerirse este como nombre de las variables. «Cantidad de unidades enviadas desde el nodo i hacia el nodo j».

X₁₂ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 1, hacia el nodo 2

X₁₃ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 1, hacia el nodo 3

X₂₃ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 2, hacia el nodo 3

X₂₄ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 2, hacia el nodo 4

X₃₂ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 3, hacia el nodo 2

X₃₄ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 3, hacia el nodo 4

X₃₅ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 3, hacia el nodo 5

X₄₆ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 4, hacia el nodo 6

X₄₇ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 4, hacia el nodo 7

X₅₄ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 5, hacia el nodo 4

X₅₆ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 5, hacia el nodo 6

X₅₇ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 5, hacia el nodo 7

X₅₈ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 5, hacia el nodo 8

X₆₇ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 6, hacia el nodo 7

X₆₉ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 6, hacia el nodo 9

X₇₆ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 7, hacia el nodo 6

X₇₈ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 7, hacia el nodo 8

X₇₉ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 7, hacia el nodo 9

X₈₇ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 8, hacia el nodo 7

X₈₉ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 8, hacia el nodo 9

Restricciones

Restricciones de Oferta y Demanda

Hay que recordar que el objetivo de este modelo es la consecución de un plan de ruta que nos permita encontrar al minero lo más pronto posible al recorrer la distancia mínima posible, por ende la clave para plantear el modelo como si fuese de transbordo es establecer una demanda y oferta igual a la unidad (1).

X₁₂ + X₁₃ = 1

X₆₉ + X₇₉ + X₈₉ = 1

Restricciones de Balance

X₁₂ + X₃₂ – X₂₃ – X₂₄ = 0

X₁₃ + X₂₃ – X₃₂ – X₃₄ – X₃₅ = 0

X₂₄ + X₃₄ + X₅₄ – X₄₆ – X₄₇ = 0

X₃₅ – X₅₄ – X₅₆ – X₅₇ – X₅₈ = 0

X₄₆ + X₅₆ + X₅₇ – X₆₇ – X₆₉ = 0

X₆₇ + X₄₇ + X₅₇ + X₈₇ – X₇₆ – X₇₈ – X₇₉ = 0

X₇₈ + X₅₈ – X₈₉ = 0

En palabras sencillas: «Todo lo que entra a cada nodo es igual a lo que sale de él»

Función objetivo

Z_MIN = 4X₁₂ + 2X₁₃ + 2X₂₃ + 7X₂₄ + 4X₃₂ + 9X₃₄ + 6X₃₅ + 1X₄₆ + 5X₄₇ + 2X₅₄ + 4X₅₆ + 3X₅₇+ 2X₅₈ + 1X₆₇ + 5X₆₉ + 4X₇₆ + 3X₇₈ + 5X₇₉ + 2X₈₇ + 7X₈₉

Ingresando los datos en WinQSB

Solución obtenida mediante WinQSB

La ruta más corta para rescatar al minero tiene como distancia total 1600 metros (dado que las distancias estaban dadas en cientos de metros) y es tal como se muestra en la siguiente gráfica:

Sin embargo, WinQSB cuenta con una metodología mucho más sencilla de resolución de algoritmos de ruta más corta, metodología que explicaremos más adelante, de todas formas hemos encontrado cómo, aplicando debidamente la razón y un algoritmo conocido como el de transbordo, podemos solucionar problemas distintos en teoría.

Solución del algoritmo de la ruta más corta mediante WinQSB

El módulo del WinQSB que permite la resolución del algoritmo de la ruta más corta es el Network Modeling, el cual utiliza una interfaz muy sencilla en forma de matriz en la cual hay que ingresar el valor de los ramales (dependiendo del contexto este valor puede representar distancias, tiempo, costos etc.) correspondiente a cada relación de un nodo con otro.

Paso a paso

Primero se debe ingresar al módulo Network Modeling del paquete WinQSB, una vez nos encontremos en este aparecerá el menú que se muestra en la siguiente gráfica, menú en el cual tendremos que seleccionar la opción Shortest Path Problem (Problema de la ruta más corta).

Además en este menú emergente debemos de ingresar la cantidad de nodos que conforman la red del problema y tenemos la posibilidad de asignarle un nombre al mismo, en nuestro caso la cantidad de nodos de la red es igual a 9; clic en OK y aparecerá la siguiente ventana.

En esta ventana se debe ingresar la magnitud de cada ramal correspondiente a cada relación entre los nodos, tal como veremos a continuación.

Damos clic en Solve and Analize y tendremos un menú emergente en el cual tendremos que seleccionar el nodo fuente y el nodo destino, tal como se muestra en la siguiente gráfica.

Una vez efectuada la selección tendremos la opción de ver el tabulado final y la opción de ver un paso a paso gráfico; para el tabulado final click en SOLVE y para el paso a paso clic en SOLVE AND DISPLAY STEPS.

Podemos cotejar la solución que obtuvimos al plantear este problema como un modelo de transbordo con esta solución. La eficiencia se encuentra determinada en escoger la herramienta adecuada para resolver el problema planteado.

Le recomendamos revisar: Problema de la ruta más corta en Google OR-Tools. Descubre esta poderosa herramienta de modelamiento y solución de problemas de optimización.

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Algoritmo de Dijkstra

Bryan Salazar López — Wed, 12 Jun 2019 18:46:46 +0000

El Algortimo de Dijkstra, también denominado Algoritmo de caminos mínimos, es un modelo que se clasifica dentro de los algoritmos de búsqueda. Su objetivo, es determinar la ruta más corta, desde el nodo origen, hasta cualquier nodo de la red. Su metodología se basa en iteraciones, de manera tal que en la práctica, su desarrollo se dificulta a medida que el tamaño de la red aumenta, dejándolo en clara desventaja, frente a métodos de optimización basados en programación matemática.

¿Qué tipos de redes pueden resolverse por medio del Algortimo de Dijkstra?

Este algoritmo, al igual que el método de Floyd, tienen la capacidad de resolver el problema de la ruta más corta, tanto para redes cíclicas, como para redes acíclicas. De manera tal que los bucles que presente una red, no restringen el uso del algoritmo.

El algoritmo de Dijkstra hace uso y define etiquetas a partir del nodo origen y para cada uno de los nodos subsiguientes. Estas etiquetas contienen información relacionada con un valor acumulado del tamaño de los arcos y con la procedencia más próxima de la ruta.

Las etiquetas corresponden a los nodos, no a los arcos. En el algortimo de Dijkstra, estas etiquetas son temporales y permanentes. Las etiquetas temporales son aquellas que son susceptibles de modificarse mientras exista la posibilidad de hallar para sí, una ruta más corta; de lo contrario, dicha etiqueta pasa a ser permanente.

Etiqueta = [acumulado, nodo procedente] iteración

Algoritmo de Dijkstra – Ejemplo

Teniendo en cuenta la siguiente red, que tiene como origen el nodo 1:

Procedemos con las iteraciones, partimos de la iteración 0, es decir, asignar la etiqueta para el nodo origen:

Iteración 0

En este paso, asignamos una etiqueta permanente para el nodo origen. Recordemos que la etiqueta se compone por un valor acumulado, que en este caso debe ser 0, ya que es el punto base y que no existe procedencia:

Etiqueta nodo 1 = [valor acumulado, procedencia] iteración

Etiqueta nodo 1 = [0, -] 0

Iteración 1

En este paso, evaluamos a cuáles nodos se puede llegar desde el nodo 1. En este caso se puede llegar a los nodos 2 y 3. De manera que debemos asignar las etiquetas para cada nodo:

Etiqueta nodo 2 = [valor acumulado, procedencia] iteración

Etiqueta nodo 2 = [0 + 100, 1] 1

0 es el valor acumulado en la etiqueta del nodo de procedencia, en este caso el valor acumulado para el nodo 1. 100 es el valor del arco que une el nodo procedencia (1) y el nodo destino (2). 1 es el número de la iteración.

Etiqueta nodo 3 = [valor acumulado, procedencia] iteración

Etiqueta nodo 3 = [0 + 30, 1] 1

En este caso, podemos observar que la etiqueta del nodo 3, ya contiene el menor valor acumulado posible para llegar a este. Ya que 30 es la mínima distancia posible, toda vez que para llegar al nodo 3 por medio del nodo 2, tendrá que recorrer como mínimo el valor absoluto del arco que une el origen con el nodo 2 = 100. Así entonces, la etiqueta del nodo 3 pasa a ser permanente.

Tabulamos la iteración 1:

Iteración 2:

En este paso, evaluamos las posibles salidas desde el nodo 3, es decir los nodos 4 y 5. De manera que debemos asignar las etiquetas para cada nodo:

Etiqueta nodo 4 = [valor acumulado, procedencia] iteración

Etiqueta nodo 4 = [30 + 10, 3] 2

Etiqueta nodo 4 = [40, 3] 2

30 es el valor acumulado en la etiqueta del nodo de procedencia, en este caso el valor acumulado para el nodo 3. 10 es el valor del arco que une el nodo procedencia (3) y el nodo destino (4). 2 es el número de la iteración.

Etiqueta nodo 5 = [valor acumulado, procedencia] iteración

Etiqueta nodo 5 = [30 + 60, 3] 2

Etiqueta nodo 4 = [90, 3] 2

30 es el valor acumulado en la etiqueta del nodo de procedencia, en este caso el valor acumulado para el nodo 3. 60 es el valor del arco que une el nodo procedencia (3) y el nodo destino (5). 2 es el número de la iteración.

En este caso, podemos observar que la etiqueta del nodo 4, contiene el menor valor acumulado posible para llegar a este. Así entonces, la etiqueta del nodo 4 pasa a ser permanente.

Tabulamos la iteración 2:

Iteración 3:

En este paso, evaluamos las posibles salidas desde el nodo 4, es decir los nodos 2 y 5. De manera que debemos asignar las etiquetas para cada nodo:

Etiqueta nodo 2 = [valor acumulado, procedencia] iteración

Etiqueta nodo 2 = [40 + 15, 4] 3

Etiqueta nodo 2 = [55, 4] 3

40 es el valor acumulado en la etiqueta del nodo de procedencia, en este caso el valor acumulado para el nodo 4. 15 es el valor del arco que une el nodo procedencia (4) y el nodo destino (2). 3 es el número de la iteración.

Etiqueta nodo 5 = [valor acumulado, procedencia] iteración

Etiqueta nodo 5 = [40 + 50, 4] 3

Etiqueta nodo 5 = [90, 4] 3

40 es el valor acumulado en la etiqueta del nodo de procedencia, en este caso el valor acumulado para el nodo 3. 50 es el valor del arco que une el nodo procedencia (4) y el nodo destino (5). 3 es el número de la iteración.

En este caso, podemos observar que el nodo 2 ahora cuenta con 2 etiquetas temporales, y definitivas, ya que no existe otra ruta hacia dicho nodo. De manera que se elige la etiqueta que tenga el menor valor acumulado. Así entonces, la etiqueta del nodo 2 con procedencia del nodo 4, pasa a ser permanente.

Tabulamos la iteración 3:

Iteración 4:

En este paso, evaluamos las posibles salidas desde el nodo 2 y el nodo 5. Sin embargo, el nodo 2 solo tiene un posible destino, el nodo 3, el cual ya tiene una etiqueta permanente, de manera que no puede ser reetiquetado. Ahora, evaluamos el nodo 5 y es un nodo que no tiene destinos. Así entonces, su etiqueta temporal pasa a ser permanente, en este caso cuenta con 2 etiquetas que tienen el mismo valor, es decir, alternativas óptimas. De esta manera concluye el algortimo de Dijkstra.

¿Cuál es la ruta más corta? La ruta más corta entre el nodo 1 (origen) y cualquier otro nodo de la red (destino), se determina partiendo desde el nodo destino y recorriendo las procedencias de sus etiquetas. Por ejemplo:

¿Cuál es la ruta más corta entre el nodo 1 y el nodo 4?

En este caso, debemos partir desde la etiqueta del nodo 4.

La ruta más corta entre el nodo 1 y el nodo 4 tiene un valor acumulado de: 40

Es necesario considerar, que los valores utilizados en los arcos de la red objeto de estudio del algoritmo de Dijkstra, no necesariamente representan distancias. Si bien, es un modelo que aborda el denominado «problema de la ruta más corta»; en la práctica, puede utilizarse para optimizar: distancia, costos, tiempo.

De hecho, los sistemas de ruteo utilizados en la actualidad, priorizan los costos y el tiempo como variable decisión de los modelos de optimización.

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Teoría de redes

Bryan Salazar López — Wed, 12 Jun 2019 18:31:19 +0000

La modelación de redes permite la resolución de múltiples problemas de programación matemática mediante la implementación de algoritmos especiales creados para tal fin, conocidos como Algoritmos de optimización de redes.

Dentro de los problemas más comúnmente resueltos mediante la modelación de redes se encuentran los ya vistos modelos de transporte, transbordo además de los muy conocidos modelos de determinación de cronograma de actividades para proyectos como lo son el PERT y el CPM.

Conceptos básicos en teoría de redes

Gráfica: Una gráfica es una serie de puntos llamados nodos que van unidos por unas líneas llamadas ramales o arcos.

Red: Una red es una gráfica que presenta algún tipo de flujo en sus ramales. Por ejemplo una gráfica cuyo flujo en sus ramales sea la electricidad es una red eléctrica. En las redes se usa una simbología específica para denotar su tamaño y elementos que la constituyen, dicha notación es la (N, A) donde N representa el número de nodos que contiene la red y A representa el número de arcos o ramales.

Cadena: Una cadena corresponde a una serie de elementos ramales que van de un nodo a otro. En el siguiente caso se resalta una cadena que va desde el nodo 1 hasta el nodo 7 y que se compone por los elementos [1-4, 4-7].

Ruta: Una ruta corresponde a los nodos que constituyen una cadena, en el siguiente caso [1, 4, 7].

Ciclo: Un ciclo corresponde a la cadena que une a un nodo con sigo mismo, en el siguiente ejemplo el ciclo está compuesto por la cadena [4-2, 2-5, 5-7, 7-4].

Ramal orientado: Un ramal o arco orientado es aquel que tiene un sentido determinado, es decir que posee un nodo fuente y un nodo destino.

Gráfica orientada: Una gráfica orientada es aquella en la cual todos sus ramales se encuentran orientados.

Árbol: Un árbol es una gráfica en la cual no existen ciclos, como el siguiente ejemplo.

Árbol de expansión: Un árbol de expansión es aquel árbol que enlaza todos los nodos de la red, de igual manera no permite la existencia de ciclos.

Nodo fuente: El nodo fuente es aquel nodo en el cual todos sus ramales se encuentran orientados hacia afuera.

Nodo destino: El nodo destino es aquel nodo en el cual todos sus ramales se encuentran orientados hacia él.

Algoritmo árbol de expansión mínima

El algoritmo del árbol de expansión mínima es un modelo de optimización de redes que consiste en enlazar todos los nodos de la red de forma directa y/o indirecta con el objetivo de que la longitud total de los arcos o ramales sea mínima (entiéndase por longitud del arco una cantidad variable según el contexto operacional de minimización, y que puede bien representar una distancia o unidad de medida).

Sean:

N = {1,2,3,…,n} el conjunto de nodos de la red.

C_k= Conjunto de nodos que se han enlazado de forma permanente en la iteración k

Č_k= Conjunto de nodos que hacen falta por enlazarse de forma permanente.

Paso cero(0): Conceptualización del algoritmo

Definir los conjuntos C₀ = {ø} y Č₀ = {N}, es decir que antes del paso 1 no se han enlazado de forma permanente nodo alguno, y por ende el conjunto que representa a los nodos que hacen falta por enlazarse de forma permanente es igual a la cantidad de nodos que existen en la red.

Paso 1:

Se debe de escoger de manera arbitraria un nodo en el conjunto Č₀ llamado i el cual será el primer nodo permanente, a continuación se debe de actualizar el conjunto C₁ = {i}, que significa que al tiempo en que el conjunto C₁ gana el elemento i el conjunto Č₀pierde el elemento i por ende ahora será igual a Č₁ = N – {i}, además se debe actualizar el subíndice de los conjuntos k, el cual ahora será igual a 2.

Paso 2: Paso general «K»

Se debe de seleccionar un nodo j del conjunto Č_K-1 («k-1» es el subíndice que indica que se está haciendo referencia al conjunto de la iteración inmediatamente anterior) el cual tenga el arco o ramal con menor longitud con uno de los nodos que se encuentran en el conjunto de nodos de enlace permanente C_K-1. Una vez seleccionado se debe de enlazar de forma permanente lo cual representa que pasa a formar parte del conjunto de enlaces permanentes y deja de formar parte del conjunto que todavía se debe conectar para lograr la expansión. Al actualizar el algoritmo en este paso los conjuntos deben de quedar de la siguiente forma.

C_K = C_K-1 + {j} mientras que Č_K = Č_K-1 – {j}

El paso general que define k que al mismo tiempo representa a las iteraciones debe de ejecutarse toda vez que el conjunto Č_K no sea vacío, cuando este conjunto sea igual a vacío se tendrá el árbol de expansión mínima.

El entendimiento del algoritmo desde el punto de vista algebraico no es quizá el más simple, sin embargo mediante el ejemplo gráfico se verá que es un algoritmo muy sencillo de elaborar.

Solución de un problema de árbol de expansión mínima

El problema

La ciudad de Cali cuenta con un nuevo plan parcial de vivienda el cual contará con la urbanización de más de 7 proyectos habitacionales que se ubicarán a las afueras de la ciudad. Dado que el terreno en el que se construirá no se encontraba hasta ahora dentro de las zonas urbanizables de la ciudad, el acueducto municipal no cuenta con la infraestructura necesaria para satisfacer las necesidades de servicios públicos en materia de suministro de agua. Cada uno de los proyectos de vivienda inició la construcción de un nodo de acueducto madre, el cual cuenta con las conexiones de las unidades de vivienda propias de cada proyecto (es decir que cada nodo madre solo necesita estar conectado con un ducto madre del acueducto municipal para contar con su suministro). El acueducto municipal al ver la situación del plan parcial debe de realizar las obras correspondientes a la instalación de ductos madres que enlacen todos los nodos del plan con el nodo Meléndez (nodo que se encuentra con suministro de agua y que no pertenece al plan parcial de vivienda, además es el más cercano al mismo), la instalación de los ductos implica obras de excavación, mano de obra y costos de los ductos mismos, por lo cual optimizar la longitud total de los enlaces es fundamental. Las distancias existentes (dadas en kilómetros) correspondientes a las rutas factibles capaces de enlazar los nodos del plan parcial se presentan a continuación. Además la capacidad de bombeo del nodo Meléndez es más que suficiente para satisfacer las necesidades de presión que necesita la red madre.

El acueducto municipal le contacta a usted para que mediante sus conocimientos en teoría de redes construya una red de expansión que minimice la longitud total de ductos y que enlace todos los nodos del plan parcial de vivienda.

PASO 0:

Se definen los conjuntos iniciales C₀ = {ø} que corresponde al conjunto de nodos enlazados de forma permanente en la iteración indicada en el subíndice y Č₀ = {N = 1,2,3,4,5,6,7,8} que corresponde al conjunto de nodos pendientes por enlazar de manera permanente en la iteración indicada en el subíndice.

PASO 1:

Se debe definir de manera arbitraria el primer nodo permanente del conjunto Č₀, en este caso escogeremos el nodo 1 (puede ser cualquier otro), que algebraicamente se representa con la letra i, se procede a actualizar los conjuntos iniciales, por ende C₁ = {i} = {1} y Č₀ = {N – i} = {2,3,4,5,6,7,8}, actualizamos k por ende ahora será igual a 2.

PASO 2:

Ahora se debe seleccionar el nodo j del conjunto Č_K-1 (es decir del conjunto del paso 1) el cual presente el arco con la menor longitud y que se encuentre enlazado con uno de los nodos de enlace permanente del conjunto C_k-1 en el cual ahora solo se encuentra el nodo 1 (es decir que se debe de encontrar un nodo que tenga el arco de menor longitud enlazado al nodo 1).

Los arcos o ramales de color naranja representan los arcos que enlazan el conjunto Č_K-1 (es decir del conjunto del paso 1, recordemos que K en este paso es igual a 2, por ende Č_K-1= Č₁) con los nodos de enlace permanente del conjunto C_k-1 en el cual ahora solo se encuentra el nodo 1, por ende ahora solo falta escoger el de menor longitud, que en este caso es el arco cuya longitud es 2, que enlaza de forma permanente ahora el nodo 2.