Es conocido, que los problemas de asignación puros son una variación del problema original del transporte, en cuyos casos las variables de decisión solo pueden tomar valores binarios. ¿Esto qué significa? Pues bien, como algoritmo de red, un problema básico de transporte es un modelo de asignación genérico; modelo en el cual se pretende establecer la asignación entre fuentes y destinos; es decir, cuántas unidades se transportarán desde el origen i hacia el destino j. Se entiende además, que en el caso del transporte, estas variables de asignación no son necesariamente binarias.

El objetivo de este artículo consiste en utilizar las librerías del software Google OR-Tools (Python), para abordar un problema de transporte básico, de acuerdo a un modelo de asignación.

El problema

Con el propósito de evaluar los resultados obtenidos a través del tratamiento de un problema técnicamente formulado y abordado, utilizaremos un caso descrito en el libro Investigación de Operaciones (9na edición), de Hamdy A. Taha (University of Arkansas, Fayetteville), (Ejemplo 5.1-1):

MG Auto cuenta con tres plantas en Los Ángeles, Detroit y Nueva Orleáns, y dos importantes centros de distribución en Denver y Miami. Las capacidades trimestrales de las tres plantas son 1000, 1500 y 1200 automóviles, y las demandas de los dos centros de distribución durante el mismo periodo son de 2300 y 1400 automóviles. La distancia en millas entre las plantas y los centros de distribución aparece en la siguiente tabla: Hamdy A. Taha

Relación de distancias entre plantas y cedis

Distancia dada en millas

El caso también plantea que la compañía de transporte cobra 8 centavos por milla por automóvil. Así entonces, el objetivo del modelo no será minimizar la distancia total, sino minimizar el costo total de transporte. Con base en la distancia dada en millas y el costo de transporte unitario, construimos nuestra tabla de costos (redondeada al dólar más cercano):

Relación de costos de distribución entre plantas y cedis

Costo dado en dólares automóvil

La representación gráfica de la red sería la siguiente:

Resolviendo un problema de transporte mediante Or Tools (Asignación)

De acuerdo a lo mencionado en el artículo de introducción a Google OR-Tools, esta herramienta soporta múltiples lenguajes de programación, así entonces, haremos uso del lenguaje de programación Python.

Utilizaremos un solucionador para programación lineal mixta: SCIP.

Importar librerías

El primer paso consiste en importar la librería de Google Or Tools, esto nos permitirá utilizar todas sus funciones.

from ortools.linear_solver import pywraplp

Declarar el solucionador

Tal como lo mencionamos, vamos a utilizar un solucionador de programación lineal mixta. Esto nos permitirá utilizar tanto variables enteras como variables continuas. Debemos declarar el solucionador SCIP.

solver = pywraplp.Solver.CreateSolver('SCIP')

Crear la data del modelo

La data base del modelo corresponde a la matriz de costos. Debemos de considerar que el orden en el que se ingresa la información corresponda a la relación precisa entre las variables; veamos:

costos = [
    [ 80, 215],
    [100, 108],
    [102,  68],
]

num_plantas = len(costos)
num_cedis = len(costos[0])

Así mismo, utilizaremos el método len para calcular el número de plantas y el número de cedis. En el caso de las plantas, contará el número de filas de la matriz; en el caso de los cedis, contará en número de columnas (para saber que contará las columnas de la matriz se utiliza costos[0]).

Crear las variables del modelo

Este es un problema básico, y como tal las únicas variables necesarias serán las asignaciones. Es decir, las variables x[i, j], donde i representa el origen y j representa el destino. Este proceso es relativamente sencillo y puede generarse cada variable de manera manual, sin embargo, automatizaremos la creación de las variables por medio de ciclos, con el propósito de preparar nuestro código para problemas más robustos:

x = {}
for i in range(num_plantas):
    for j in range(num_cedis):
        x[i, j] = solver.IntVar(0, solver.infinity(), '')

De esta manera se crean las variables de asignación. Es decir, tendremos tantos i como número de plantas (orígenes), asociados a tantos j como número de cedis (destinos). La naturaleza de las variables es entera (solver.IntVar), ya que hace referencia a la distribución de automóviles. Desde la creación de las variables podemos definir su rango, en este caso diremos que será desde 0 hasta infinito (solver.infinity).

Así entonces, se entiende que, por ejemplo, la variable x[0,0] hace referencia al número de automóviles que se enviarán desde el origen 0 (Los Ángeles) hacia el destino 0 (Denver). El orden de la asignación se basa en la matriz de costos.

El código anterior crea todas las variables de asignación necesarias.

Crear las restricciones

#Restricciones de disponibilidad (oferta en plantas)
solver.Add(solver.Sum([x[0, j] for j in range(num_cedis)]) <= 1000)
solver.Add(solver.Sum([x[1, j] for j in range(num_cedis)]) <= 1500)
solver.Add(solver.Sum([x[2, j] for j in range(num_cedis)]) <= 1200)

#Restricciones de demanda (cedis)
solver.Add(solver.Sum([x[i, 0] for i in range(num_plantas)]) >= 2300)
solver.Add(solver.Sum([x[i, 1] for i in range(num_plantas)]) >= 1400) 

El método Add de solver, nos servirá para agregar las restricciones al modelo. Las restricciones de oferta y demanda necesarias se adicionan tal cual el código anterior. Explicaremos la primera de ellas:

solver.Add(solver.Sum([x[0, j] for j in range(num_cedis)]) <= 80)

La anterior restricción indica que, la sumatoria de todas las variables x[0, j], para los j del conjunto cedis deberá ser menor o igual a 1000. Esto significa que la cantidad enviada desde el nodo (planta) 0 hacia los destinos j (Denver y Miami) no puede ser mayor que su disponibilidad de automóviles.

Crear la función objetivo

Tal como lo planteamos desde la formulación del problema, el criterio de optimización des este modelo corresponde a minimizar el costo total de distribución. El siguiente fragmento calcula el producto entre cada variable x[i, j] y su respectivo costo c[i, j] (obtenida desde la matriz de costos). La sumatoria de productos corresponde a la ecuación objetivo.

for i in range(num_plantas):
    for j in range(num_cedis):
        objective_terms.append(costos[i][j] * x[i, j])
solver.Minimize(solver.Sum(objective_terms))

Luego se declara el criterio de optimización: Minimize (para minimizar) y Maximize (para maximizar). En este caso minimizará la sumatoria de los productos.

Invocar al solucionador

La siguiente línea indica que el modelo debe solucionarse.

status = solver.Solve()

Configurar las salidas del modelo

if status == pywraplp.Solver.OPTIMAL or status == pywraplp.Solver.FEASIBLE:
    print('Costo total = ', solver.Objective().Value(), '\n')

    for i in range(num_plantas):
        for j in range(num_cedis):
            print('|Planta {} -> Cedi {} - Cantidad: {}|'.format(
            i,
            j,
            x[i, j].solution_value()))

En el caso en el que el modelo encuentre una solución óptima, hemos configurado las salidas de tal manera que nos muestre la relación solución entre fuentes > destinos y cantidades. Al ejecutar el modelo obtendremos la siguiente solución:

Podemos también detallar mucho mejor las salidas del modelo, de acuerdo al nombre de las plantas y los cedis. Para ello, en la data de entrada creamos las listas correspondientes, veamos:

costos = [
    [ 80, 215],
    [100, 108],
    [102,  68],
]

num_plantas = len(costos)
num_cedis = len(costos[0])

plantas = ['Los Ángeles', 'Detroit', 'New Orleans']
cedis = ['Denver', 'Miami']

La información de las listas debe guardar correspondencia con el orden de la matriz de costos.

Ahora, configuramos nuevamente las salidas del modelo:

if status == pywraplp.Solver.OPTIMAL or status == pywraplp.Solver.FEASIBLE:
    print('Costo total = ', solver.Objective().Value(), '\n')

    for i in range(num_plantas):
        for j in range(num_cedis):
            print('|{:^20} -> {:^20} | Cantidad: {:^20}|'.format(
            plantas[i],
            cedis[j],
            x[i, j].solution_value()))

En este caso hemos remplazado el índice solo de plantas y cedis, por el índice dentro del listado de plantas y cedis. Así entonces, tendremos la siguiente salida del modelo:

Pueden cotejar los resultados obtenidos los cuales corresponden a los mismos resultados presentados por Taha, quien utiliza TORA como solucionador.

¿Cómo ejecutar el modelo?

Alternativa 1, ejecución en nuestro equipo:

Lo primero que debemos considerar, en el caso de que queramos ejecutar este código en nuestro equipo, es que es preciso contar con la instalación de Python en nuestro equipo de cómputo y por supuesto, el software OR-Tools. Una guía detallada de la instalación de estos requerimientos la podrás encontrar en el siguiente enlace:

Instalación de OR-Tools para Python

Ahora, lo recomendable es trabajar con algún editor de código práctico (IDE), por ejemplo: Sublime Text, o Spyder (Una herramienta más completa y por ende más robusta y pesada).

Alternativa 2, ejecución en un entorno virtual (Recomendado):

Podemos utilizar del mismo modo, un entorno virtual. En este caso recomendamos el uso de Colaboratory de Google, un entorno que cuenta con todas las herramientas necesarias para nuestros desarrollos. No tendremos que instalar nada en nuestro equipo, y aprovecharemos la potencia de las máquinas de Google.

El código completo de nuestro desarrollo lo presentamos a continuación.

# Importar la librería de Google OR-Tools
from ortools.linear_solver import pywraplp

# Declarar el solucionador que abordará el modelo
solver = pywraplp.Solver.CreateSolver('SCIP')

# Data del modelo
costos = [
    [ 80, 215],
    [100, 108],
    [102,  68],
]

plantas = ['Los Ángeles', 'Detroit', 'New Orleans']
cedis = ['Denver', 'Miami']

num_plantas = len(costos)
num_cedis = len(costos[0])

# Variables del modelo
x = {}
for i in range(num_plantas):
    for j in range(num_cedis):
        x[i, j] = solver.IntVar(0, solver.infinity(), '')
        
#Restricciones de disponibilidad (oferta en plantas) 
solver.Add(solver.Sum([x[0, j] for j in range(num_cedis)]) <= 1000) 
solver.Add(solver.Sum([x[1, j] for j in range(num_cedis)]) <= 1500) 
solver.Add(solver.Sum([x[2, j] for j in range(num_cedis)]) <= 1200) 

#Restricciones de demanda (cedis) 
solver.Add(solver.Sum([x[i, 0] for i in range(num_plantas)]) >= 2300) 
solver.Add(solver.Sum([x[i, 1] for i in range(num_plantas)]) >= 1400)      



# Función objetivo con criterio de optimización: minimizar
objective_terms = []
for i in range(num_plantas):
    for j in range(num_cedis):
        objective_terms.append(costos[i][j] * x[i, j])

solver.Minimize(solver.Sum(objective_terms))

# Invoca el solucionador
status = solver.Solve()

# Configura los parámetros de impresión, las salidas del modelo
if status == pywraplp.Solver.OPTIMAL or status == pywraplp.Solver.FEASIBLE:
    print('Costo total = ', solver.Objective().Value(), '\n')

    for i in range(num_plantas):
        for j in range(num_cedis):
            print('|{:^20} -> {:^20} | Cantidad: {:^20}|'.format(
            plantas[i],
            cedis[j],
            x[i, j].solution_value()))

También es posible integrar nuestro desarrollo con data proveniente de fuentes externas, como por ejemplo Excel.

En próximos artículos, resolveremos el problema de transporte básico mediante un algoritmo de flujo mínimo.

La entrada Solución de un modelo de transporte mediante un algoritmo de asignación se publicó primero en Ingenieria Industrial Online.

Tal como se ha abordado en artículos anteriores, dentro de la investigación de operaciones, el problema de asignación corresponde a una variación del problema original de transporte. Es uno de los problemas de optimización combinatoria más popularizados debido a su alto grado de aplicación práctica.

Suponga que es necesario llevar a cabo un conjunto de tareas, y que para ello se cuenta con un conjunto de operarios; además, cada trabajador en particular ejecutando una tarea en particular tiene un costo específico. Pues bien, el problema consiste en asignar a cada trabajador como máximo una tarea específica, sin que dos trabajadores puedan realizar la misma tarea, mientras se minimiza el costo total.

En el modelo de asignación, la idea fundamental de resolución es ¿Qué conjunto de fuentes satisface mejor el conjunto de destinos?

En artículos anteriores hemos planteado la resolución de problemas de asignación mediante el método húngaro (manual) y mediante programación lineal, haciendo uso de WinQSB.

El objetivo de este artículo consiste en utilizar las librerías del software Google OR-Tools para abordar un problema de asignación clásico y una variación del modelo mediante un criterio de maximización.

El problema

Con el propósito de evaluar los resultados obtenidos mediante distintos métodos y solucionadores, utilizaremos el mismo problema que abordamos mediante el método húngaro.

La compañía de manufactura «Jiménez y Asociados» desea realizar una jornada de mantenimiento preventivo a sus tres máquinas principales A, B y C. El tiempo que demanda realizar el mantenimiento de cada máquina es de 1 día, sin embargo la jornada de mantenimiento no puede durar más de un día, teniendo en cuenta que la compañía cuenta con tres proveedores de servicios de mantenimiento debe de asignarse un equipo de mantenimiento a cada máquina para poder cumplir con la realización del mantenimiento preventivo. Teniendo en cuenta que según el grado de especialización de cada equipo prestador de servicios de mantenimiento el costo de la tarea varía para cada máquina en particular, debe de asignarse el equipo correcto a la máquina indicada con el objetivo de minimizar el costo total de la jornada. Los costos asociados se pueden observar en la siguiente tabla:

Tabla 1

Resolviendo un problema de asignación mediante Google OR-Tools

De acuerdo a lo mencionado en el artículo de introducción a Google OR-Tools, esta herramienta soporta múltiples lenguajes de programación, así entonces, haremos uso del lenguaje de programación Python.

Del mismo modo, OR-Tools cuenta con un par de solucionadores para abordar problemas de asignación:

En este caso, utilizaremos el solucionador MIP.

Paso 1: Importar la librería

El siguiente fragmento de código importa las librerías necesarias:

# Importar la librería de Google OR-Tools
from ortools.linear_solver import pywraplp

Paso 2: Declarar el solucionador (MIP)

El siguiente fragmento de código declara el solucionador mediante el que se abordará el problema:

# Declarar el solucionador que abordará el modelo
solver = pywraplp.Solver.CreateSolver('SCIP')

Paso 3: Crear la data del modelo

El siguiente fragmento de código crea la data del modelo de asignación:

# Crear la data del modelo de asignación
costs = [
    [10, 9, 5],
    [9, 8, 3],
    [6, 4, 7],
]
num_teams = len(costs)
num_machines = len(costs[0])

La matriz de costos corresponde a los valores de la tabla 1 para asignar los equipos de mantenimiento a las máquinas.

El número de equipos de mantenimiento y el número de máquinas (tareas) los calcula mediante la función len  a partir de la matriz de costos. En un sentido práctico, cuenta el número de elementos de la matriz.

Paso 4: Crear las variables

El siguiente fragmento de código crea las variables binarias enteras del problema de asignación (x[i, j]):

# x[i, j] es una matriz de variables binarias 0-1, que será 1
# si un equipo de mantenimiento i es asignado a la máquina j.
x = {}
for i in range(num_teams):
    for j in range(num_machines):
        x[i, j] = solver.IntVar(0, 1, '')

Paso 5: Crear las restricciones

El siguiente fragmento de código crea las restricciones del problema de asignación:

# Cada equipo de mtto. podrá ser asignado a un máximo de una máquina
for i in range(num_teams):
    solver.Add(solver.Sum([x[i, j] for j in range(num_machines)]) <= 1)
# Cada máquina será asignada exactamente a un equipo de mantenimiento
for j in range(num_machines):
    solver.Add(solver.Sum([x[i, j] for i in range(num_teams)]) == 1)

Paso 6: Crear la función objetivo

El siguiente fragmento de código crea la función objetivo con un criterio de optimización minimizar

# Función objetivo con criterio de optimización: minimizar
objective_terms = []
for i in range(num_teams):
    for j in range(num_machines):
        objective_terms.append(costs[i][j] * x[i, j])
solver.Minimize(solver.Sum(objective_terms))

Paso 7: Invocar el solucionador

# Invoca el solucionador
status = solver.Solve()

Paso 8: Imprimir la solución

# Configura los parámetros de impresión, las salidas del modelo
if status == pywraplp.Solver.OPTIMAL or status == pywraplp.Solver.FEASIBLE:
    print('Costo total = ', solver.Objective().Value(), '\n')
    for i in range(num_teams):
        for j in range(num_machines):
            # Test if x[i,j] is 1 (con tolerancia de punto flotante)
            if x[i, j].solution_value() > 0.5:
                print('Equipo %d asignado a la máquina %d. Costo = %d' %
                      (i, j, costs[i][j]))

Es posible que el desarrollo de los ocho pasos anteriores demande algún grado de complejidad subyacente del uso de un lenguaje de programación; sin embargo, es preciso mencionar que, el modelo anterior queda perfectamente configurado, y puede replicarse con modificaciones menores en múltiples problemas de asignación.

¿Cómo ejecutar el modelo?

Alternativa 1, ejecución en nuestro equipo:

Lo primero que debemos considerar, en el caso de que queramos ejecutar este código en nuestro equipo, es que es preciso contar con la instalación de Python en nuestro equipo de cómputo, así mismo debemos contar con la última versión del comando pip y por supuesto, el software OR-Tools. Una guía detallada de la instalación de estos requerimientos la podrás encontrar en el siguiente enlace:

Instalación de OR-Tools para Python

Ahora, lo recomendable es trabajar con algún editor de código práctico (IDE), por ejemplo: Sublime Text, o Spyder (Una herramienta más completa y por ende más robusta y pesada).

Alternativa 2, ejecución en un entorno virtual (Recomendado):

Podemos utilizar del mismo modo, un entorno virtual. En este caso recomendamos el uso de Colaboratory de Google, un entorno que cuenta con todas las herramientas necesarias para nuestros desarrollos. No tendremos que instalar nada en nuestro equipo, y aprovecharemos la potencia de las máquinas de Google.

El código completo de nuestro desarrollo lo presentamos a continuación. También puedes ver el cuaderno de este módulo en nuestro Colaboratory: Asignación.

# Importar la librería de Google OR-Tools
from ortools.linear_solver import pywraplp

# Declarar el solucionador que abordará el modelo
solver = pywraplp.Solver.CreateSolver('SCIP')

# Data del modelo
costs = [
    [10, 9, 5],
    [9, 8, 3],
    [6, 4, 7],
]
num_teams = len(costs)
num_machines = len(costs[0])

# Variables del modelo
x = {}
for i in range(num_teams):
    for j in range(num_machines):
        x[i, j] = solver.IntVar(0, 1, '')

# Restricciones del modelo
for i in range(num_teams):
    solver.Add(solver.Sum([x[i, j] for j in range(num_machines)]) <= 1)
# Cada máquina será asignada exactamente a un equipo de mantenimiento
for j in range(num_machines):
    solver.Add(solver.Sum([x[i, j] for i in range(num_teams)]) == 1)

# Función objetivo con criterio de optimización: minimizar
objective_terms = []
for i in range(num_teams):
    for j in range(num_machines):
        objective_terms.append(costs[i][j] * x[i, j])
solver.Minimize(solver.Sum(objective_terms))

# Invoca el solucionador
status = solver.Solve()

# Configura los parámetros de impresión, las salidas del modelo
if status == pywraplp.Solver.OPTIMAL or status == pywraplp.Solver.FEASIBLE:
    print('Costo total = ', solver.Objective().Value(), '\n')
    for i in range(num_teams):
        for j in range(num_machines):
            # Test if x[i,j] is 1 (con tolerancia de punto flotante)
            if x[i, j].solution_value() > 0.5:
                print('Equipo %d asignado a la máquina %d. Costo = %d' %
                      (i, j, costs[i][j]))

Ejecutamos:

Y bien, tenemos la solución a este problema simple de asignación en menos de 1 segundo.

Podemos observar que se ha obtenido la misma respuesta que la lograda mediante el método húngaro y programación lineal (WinQSB).

Ahora bien, el modelo de asignación y el script del solucionador quedaron desarrollados en un lenguaje de programación estándar y ampliamente utilizado. Desde luego, las posibilidades de integrar datos de entrada y procesar los datos de salidas son interesantes. Por ejemplo, es posible desarrollar un script mediante el cual el código ya desarrollado tome los datos de entrada desde un archivo de Excel, o desde un servidor externo.

También, es posible desarrollar una interfaz amigable desde la cual se ingrese la información; o vincular los datos de salida con algún modelo o documento determinado.

Ahora, podemos evidenciar una de las bondades de este tipo de modelamiento, y es la flexibilidad. Pues bien, vamos a modificar muy fácilmente la información de entrada y el criterio de optimización, para desarrollar un modelo de asignación cuyo criterio sea maximizar. Para ello, vamos a abordar un problema de asignación planteado anteriormente, con el propósito de contrastar los resultados.

Modelamiento y solución de un problema de maximización mediante Google OR-Tools

El problema

Una organización de recolección de café cuenta con tres equipos de siembra y cosecha del mismo (equipos 1, 2, 3). Estos equipos de trabajo se encuentran entrenados para trabajar en condiciones particulares del proceso, condiciones como lo son el tipo de suelo, las condiciones del clima y el tipo de grano. La organización cuenta con cuatro terrenos disponibles para efectuar el proceso de siembra y cosecha (terrenos A, B, C, D), estos terrenos tienen condiciones particulares de suelo, clima y tipo de grano. Cada equipo cuenta con la capacidad de efectuar el proceso en solo uno de los terrenos disponibles, salvo el equipo 2, que cuenta con una serie de herramientas tecnológicas que le permiten realizar la siembra y cosecha del grano en dos de los terrenos disponibles.

Se ha contratado a un Ingeniero Industrial con el objetivo de realizar las asignaciones precisas que maximicen la cantidad de sacos de café cosechados en total. El siguiente tabulado muestra la capacidad (en cientos de sacos) de cosecha de café de cada uno de los equipos dependiendo de cada uno de los terrenos.

Dado que existe un equipo que cuenta con la capacidad de trabajar en dos de los terrenos disponibles (desarrollar dos tareas), renombraremos los equipos partiendo desde el 0, así mismo los terrenos, y el equipo 1 y 2 corresponderán a una misma flotilla (misma capacidad de producción) que puede desarrollar dos tareas (atender dos terrenos). Así entonces, el tabulado con las capacidades de producción se muestra a acontinuación:

Tabla 2

# Crear la data del modelo de asignación
capacidad = [
    [13, 7, 12, 12],
    [10, 13, 15, 7],
    [10, 13, 15, 7],
    [13, 10, 8, 8],
]
num_equipos = len(capacidad)
num_terrenos = len(capacidad[0])

# Función objetivo con criterio de optimización: maximizar
objective_terms = []
for i in range(num_equipos):
    for j in range(num_terrenos):
        objective_terms.append(capacidad[i][j] * x[i, j])
solver.Maximize(solver.Sum(objective_terms))

El código completo, con algunas modificaciones de acuerdo al renombre de las variables y a los textos que acompañarán los resultados se presenta a continuación (también puedes encontrarlo en nuestro Colaboratory):

# Importar la librería de Google OR-Tools
from ortools.linear_solver import pywraplp

# Declarar el solucionador que abordará el modelo
solver = pywraplp.Solver.CreateSolver('SCIP')

# Data del modelo
capacidad = [ 
[13, 7, 12, 12], 
[10, 13, 15, 7], 
[10, 13, 15, 7],
[13, 10, 8, 8], 
] 
num_equipos = len(capacidad) 
num_terrenos = len(capacidad[0])

# Variables del modelo
x = {}
for i in range(num_equipos):
    for j in range(num_terrenos):
        x[i, j] = solver.IntVar(0, 1, '')

# Restricciones del modelo
for i in range(num_equipos):
    solver.Add(solver.Sum([x[i, j] for j in range(num_terrenos)]) <= 1)

for j in range(num_terrenos):
    solver.Add(solver.Sum([x[i, j] for i in range(num_equipos)]) == 1)

# Función objetivo con criterio de optimización: maximizar
objective_terms = []
for i in range(num_equipos):
    for j in range(num_terrenos):
        objective_terms.append(capacidad[i][j] * x[i, j])
solver.Maximize(solver.Sum(objective_terms))

# Invoca el solucionador
status = solver.Solve()

# Configura los parámetros de impresión, las salidas del modelo
if status == pywraplp.Solver.OPTIMAL or status == pywraplp.Solver.FEASIBLE:
    print('Producción total = ', solver.Objective().Value(), '\n')
    for i in range(num_equipos):
        for j in range(num_terrenos):
            # Test if x[i,j] is 1 (con tolerancia de punto flotante)
            if x[i, j].solution_value() > 0.5:
                print('Equipo %d asignado al terreno %d. Producción = %d' %
                      (i, j, capacidad[i][j]))

La entrada Problemas de asignación en Google OR-Tools se publicó primero en Ingenieria Industrial Online.

Múltiples son los casos en los que como ingenieros industriales podemos hacer uso del problema de asignación para resolver diversas situaciones, entre los que cabe mencionar se encuentran la asignación de personal a maquinas, herramientas a puestos de trabajos, horarios a maestros, candidatos a vacantes, huéspedes a habitaciones, comensales a mesas, vendedores a zonas territoriales etc.

La entrada Problemas de asignación se publicó primero en Ingenieria Industrial Online.

Existe la posibilidad de resolver un modelo de transbordo mediante las técnicas tradicionales de resolución de modelos de transporte y este procedimiento se basa en la preparación del tabulado inicial haciendo uso de artificios conocidos con el nombre de amortiguadores, los cuales deben ser iguales a la sumatoria de las ofertas de los nodos de oferta pura y de coeficiente cero (0) en materia de costos.

Sin embargo. la resolución de un problema de transbordo haciendo uso de los algoritmos de resolución de modelos de transporte es una idea anacrónica, teniendo en cuenta la posibilidad de acceso a herramientas de cómputo capaces de resolver problemas complejos una vez modelados mediante las técnicas de programación lineal.

La importancia de los modelos de transbordo aumenta con las nuevas tendencias globales de gestión de cadenas de abastecimiento, en las cuales se deben de optimizar los flujos logísticos de productos teniendo en cuenta la importancia de minimizar los costos, asegurar disponibilidad de unidades y reconociendo la importancia de los centros de distribución en la búsqueda del equilibrio entre las proyecciones y la realidad de la demanda.

Resolución de un problema de transbordo mediante programación lineal

Para poder resolver un problema de transbordo mediante programación lineal, basta con conocer una nueva familia de restricciones, las llamadas restricciones de balanceo. En un problema de transbordo existen 3 clases de nodos, los nodos de oferta pura, los de demanda pura y los nodos transitorios que posibilitan el transbordo y que deben de balancearse para hacer que el sistema sea viable, es decir, que todas las unidades que ingresen a un nodo sean iguales a las que salgan del mismo (unidades que salen + unidades que conserve el nodo).

El problema

Modelar mediante programación lineal el problema de transbordo esbozado en la siguiente figura:

La figura muestra una serie de nodos y sus respectivas rutas mediante las cuales se supone distribuir las unidades de un producto, el número que lleva cada arco (flecha) representa el costo unitario asociado a esa ruta (arco), y las cantidades que se ubican en los nodos iniciales representan la oferta de cada planta, así como las cantidades de los nodos finales representa la demanda de cada distribuidor.

Variables de decisión

En este caso como en la mayoría las variables de decisión deben representar la cantidad de unidades enviadas por medio de cada ruta. Es muy aconsejable denotar cada nodo con un número para simplificar la definición nominal de las variables.

Una vez renombrado cada nodo definiremos las variables:

X_A,C = Cantidad de unidades enviadas desde P1 hacia T1

X_A,D = Cantidad de unidades enviadas desde P1 hacia T2

X_B,C = Cantidad de unidades enviadas desde P2 hacia T1

X_B,D = Cantidad de unidades enviadas desde P2 hacia T2

X_C,D = Cantidad de unidades enviadas desde T1 hacia T2

X_C,E = Cantidad de unidades enviadas desde T1 hacia D1

X_C,F = Cantidad de unidades enviadas desde T1 hacia D2

X_D,F = Cantidad de unidades enviadas desde T2 hacia D2

X_D,G = Cantidad de unidades enviadas desde T2 hacia D3

X_E,F = Cantidad de unidades enviadas desde D1 hacia D2

X_F,G  = Cantidad de unidades enviadas desde D2 hacia D3

Restricciones

Existen en este modelo 3 tipos de restricciones y están estrechamente relacionadas con los tipos de nodos existentes, para un nodo oferta pura existe la restricción de oferta; para un nodo demanda pura existe la restricción de demanda, y para un nodo transitorio y/o transitorio de demanda existe la restricción de balance. Recordemos que los nodos transitorios son aquellos que tienen rutas (arcos o flechas) de entrad y salida, y si además este presenta un requerimiento de unidades se denomina transitorio de demanda.

Restricciones de Oferta:

X_A,C + X_A,D = 1000

X_B,C + X_B,D = 1200

Restricciones de demanda:

X_D,G + X_F,G = 500

Restricciones de balanceo para nodos únicamente transitorios:

X_A,C + X_B,C – X_C,D – X_C,E – X_C,F = 0

X_A,D + X_B,D + X_C,D – X_D,F – X_D,G = 0

Restricciones de balanceo para nodos transitorios con requerimientos:

X_C,E – X_E,F = 800

X_C,F + X_D,F + X_E,F – X_F,G = 900

Función objetivo

En este caso la definición de la función objetivo se limita a la consignación de cada ruta con su respectivo costo bajo el criterio «minimizar«.

Z_MIN = 3X_A,C + 4X_A,D  + 2X_B,C + 5X_B,D + 7X_C,D + 8X_C,E + 6X_C,F  + 4X_D,F + 9X_D,G + 5X_E,F + 3X_F,G

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Resolución de un problema de redes de suministro

El problema

Este es un problema propuesto en el texto «Investigación de Operaciones de TAHA» que hace referencia a una red de gasoductos en la que los distintos nodos representan estaciones de bombeo y recepción, los costos se encuentran en las rutas de la siguiente figura.

Variables de decisión

X₁₂ = Cantidad de galones enviados desde la estación 1, hacia la estación 2

X₁₇ = Cantidad de galones enviados desde la estación 1, hacia la estación 7

X₃₇ = Cantidad de galones enviados desde la estación 3, hacia la estación 7

X₃₄ = Cantidad de galones enviados desde la estación 3, hacia la estación 4

X₇₂ = Cantidad de galones enviados desde la estación 7, hacia la estación 2

X₇₅ = Cantidad de galones enviados desde la estación 7, hacia la estación 5

X₅₇ = Cantidad de galones enviados desde la estación 5, hacia la estación 7

X₆₂ = Cantidad de galones enviados desde la estación 6, hacia la estación 2

X₆₅ = Cantidad de galones enviados desde la estación 6, hacia la estación 5

X₅₆ = Cantidad de galones enviados desde la estación 5, hacia la estación 6

X₅₄ = Cantidad de galones enviados desde la estación 5, hacia la estación 4

 

Restricciones

      Restricciones de oferta y demanda:

X₁₂ + X₁₇ = 50000

X₃₇ + X₃₄ = 60000

X₁₂ + X₇₂ + X₆₂ = 90000

X₃₄ + X₅₄ =20000

 

Restricciones de balance:

 X₁₇ + X₃₇ + X₅₇ – X₇₂ – X₇₅ = 0

X₅₆ – X₆₅ – X₆₂ = 0

X₇₅ + X₆₅ – X₅₆ – X₅₄ = 0

Función Objetivo

      Z_MIN = 20X₁₂ + 3X₁₇ + 9X₃₇ + 30X₃₄ + 40X₇₂ + 10X₇₅ + 10X₅₇ + 8X₆₂ + 4X₆₅ + 4X₅₆ + 2X₅₄

 

Ingresando el modelo a WinQSB

Solución obtenida mediante WinQSB

Esta es la representación gráfica de la solución cuyo costo óptimo es de 2’660.000 unidades monetarias:

La entrada Problema de transbordo se publicó primero en Ingenieria Industrial Online.

Este método tiene como ventaja frente a sus similares, la rapidez de su ejecución, y es utilizado con mayor frecuencia en ejercicios donde el número de fuentes y destinos sea muy elevado.

Su nombre se debe al génesis del algoritmo, el cual inicia en la ruta, celda o esquina Noroeste. Es común encontrar gran variedad de métodos que se basen en la misma metodología de la esquina Noroeste, dado que podemos encontrar de igual manera el método e la esquina Noreste, Sureste o Suroeste.

Algoritmo de resolución de la Esquina Noroeste

Se parte por esbozar en forma matricial el problema, es decir, filas que representen fuentes y columnas que representen destinos, luego el algoritmo debe de iniciar en la celda, ruta o esquina Noroeste de la tabla (esquina superior izquierda).

Paso 1

En la celda seleccionada como esquina Noroeste se debe asignar la máxima cantidad de unidades posibles, cantidad que se ve restringida ya sea por las restricciones de oferta o de demanda. En este mismo paso se procede a ajustar la oferta y demanda de la fila y columna afectada, restándole la cantidad asignada a la celda.

Paso 2

En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o demanda sea 0 después del «Paso 1», si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se elige cual eliminar y la restante se deja con demanda u oferta cero (0) según sea el caso.

Paso 3

Una vez en este paso existen dos posibilidades, la primera que quede un solo renglón o columna, si este es el caso se ha llegado al final el método, «detenerse».

La segunda es que quede más de un renglón o columna, si este es el caso iniciar nuevamente el «Paso 1».

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Ejemplo del Método de la Esquina Noroeste

Por medio de este método resolveremos el problema de transporte propuesto y resuelto en artículos anteriores mediante programación lineal.

Una empresa energética colombiana dispone de cuatro plantas de generación para satisfacer la demanda diaria eléctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla. Las plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al día respectivamente. Los costos asociados al envío de suministro energético por cada millón de KW entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.

Formule un modelo de programación lineal que permita satisfacer las necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte.

Solución paso a paso

Ahora la cantidad asignada a la esquina noroeste es restada a la demanda de Cali y a la oferta de la «Planta 1», en un procedimiento muy lógico. Dado que la demanda de Cali una vez restada la cantidad asignada es cero (0), se procede a eliminar la columna. El proceso de asignación nuevamente se repite.

Continuamos con las iteraciones.

En este caso nos encontramos frente a la elección de la fila o columna a eliminar (tachar), sin embargo podemos utilizar un criterio mediante el cual eliminemos la fila o columna que presente los costos más elevados. En este caso la «Planta 2».

Nueva iteración:

Una vez finalizada esta asignación, se elimina la «Planta 3» que ya ha sido satisfecha con la asignación de 60 unidades, por ende nos queda una sola fila a la cual le asignamos las unidades estrictamente requeridas y hemos finalizado el método.

El cuadro de las asignaciones (que debemos desarrollarlo paralelamente) queda así:

Los costos asociados a la distribución son:

El costo total es evidentemente superior al obtenido mediante Programación Lineal y el Método de Aproximación de Vogel, lo cual demuestra lo enunciado en la descripción del algoritmo que cita que no obtiene siempre la mejor solución, sin embargo presenta un cumplimiento de todas las restricciones y una rapidez de elaboración, lo cual es una ventaja en problemas con innumerables fuentes y destinos en los cuales no nos importe más que satisfacer las restricciones.

La entrada Método de la esquina noroeste se publicó primero en Ingenieria Industrial Online.

Resolviendo un problema de transporte mediante WinQSB

El primer paso para resolver un problema de transporte mediante WinQSB es ingresar al módulo Network Modeling.

El problema

Una empresa energética colombiana dispone de cuatro plantas de generación para satisfacer la demanda diaria eléctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla. Las plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al día respectivamente. Los costos asociados al envío de suministro energético por cada millón de KW entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.

Formule un modelo de programación lineal que permita satisfacer las necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte.

Ingresando a Network Modeling

En este menú debemos completar la información concerniente al tipo de problema, criterio de la función objetivo y el número de fuentes y destinos que tenga nuestro problema, en este caso tenemos 4 fuentes y 4 destinos. Una vez completado el proceso damos click en OK y observaremos la siguiente ventana. En esta ventana podemos observar la matriz en la que ingresaremos los datos.

El proceso de reconocimiento de la ventana matriz es rápido, además de las ya explicadas herramientas se encuentran funciones de edición bastante conocidas y de formato alfanumérico. Antes de ingresar los datos podemos modificar los nombres de las fuentes y destinos en el menú Edición (Edit / Node Names). Nosotros renombraremos en este caso los nodos por los indicados en el problema.

Ahora se consignan los costos asociados al modelo, igualmente se consignan la respectiva oferta de cada una de las plantas y las demandas de las ciudades.

Ahora que se ha completado de suministrar toda la información se procede a resolver el modelo (click en resolver), la ventana que se abrirá tendrá la información respecto a las unidades enviadas de cada Planta hacia cada ciudad y el costo total óptimo.

De esta manera se obtiene la solución óptima del modelo de transporte, sin embargo no es todo lo que WinQSB tiene para ofrecer respecto al modelo de transporte, dado que este software posee herramientas que entregan el resultado gráficamente y presenta los resultados que se obtienen mediante los métodos heurísticos que hemos visto en módulos anteriores como Método de Aproximación de Vogel, Método de Costos Mínimos y el Método de la Esquina Noroeste, que una vez se ha obtenido la solución mediante el programa sirven para entornos netamente académicos.

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Métodos heurísticos en WinQSB (Network Modeling)

Para poder visualizar (recordamos que esto es regularmente requerido con fines académicos) los tabulados finales obtenidos mediante los métodos heurísticos en Network Modeling tenemos que acceder a la pestaña llamada «Solve and Analyze» una vez ahí debemos seleccionar la opción «Select Initial Soluction Method», Tal como lo mostramos a continuación.

Una vez cumplido este procedimiento se abrirá un menú en el cual podremos seleccionar el método heurístico cuyo tabulado final queremos observar.

Una vez hemos seleccionado el método damos click en «OK» y procedemos a acceder a la opción «Solve and Display Steps – Tableu» que se encuentra en la pestaña «Solve and Analyze» tal como lo mostramos a continuación.

Ahora veremos el tabulado final del método heurístico escogido.

Método de Aproximación de Vogel

 

Método del Costo Mínimo

Método de la Esquina Noroeste

La entrada Problema del transporte en WinQSB se publicó primero en Ingenieria Industrial Online.

Este algoritmo es mucho más sencillo que los anteriores, dado que se trata simplemente de la asignación de la mayor cantidad de unidades posibles (sujeta a las restricciones de oferta y/o demanda) a la celda menos costosa de toda la matriz hasta finalizar el método.

Algoritmo del Costo Mínimo

Paso 1

De la matriz se elige la ruta (celda) menos costosa (en caso de un empate, este se rompe arbitrariamente) y se le asigna la mayor cantidad de unidades posible, cantidad que se ve restringida ya sea por las restricciones de oferta o de demanda. En este mismo paso se procede a ajustar la oferta y demanda de la fila y columna afectada, restándole la cantidad asignada a la celda.

Paso 2

En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o demanda sea 0 después del «Paso 1», si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se elige cual eliminar y la restante se deja con demanda u oferta cero (0) según sea el caso.

Solución paso a paso

Seleccionamos la celda con menor valor, es decir la menos costosa, para asignarle la mayor cantidad posible.

Luego esa cantidad asignada se resta a la demanda de Bogotá y a la oferta de la «Planta 3», en un proceso muy lógico. Dado que Bogotá se queda sin demanda esta columna desaparece, y se repite el primer proceso.

Nuevo proceso de asignación

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Algoritmo de Vogel

El método consiste en la realización de un algoritmo que consta de 3 pasos fundamentales y 1 más que asegura el ciclo hasta la culminación del método.

Paso 1

Determinar para cada fila y columna una medida de penalización restando los dos costos menores en filas y columnas.

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