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Variables binarias – El Caso de la Bauxita

Bryan Salazar López — Wed, 12 Jun 2019 20:11:50 +0000

Las variables binarias son un artificio matemático que permite que modelos de programación no lineal se resuelvan como tal. El buen uso de las variables binarias se convierte en una poderosa herramienta matemática para plantear problemas más complejos que los que habitualmente se resuelven acudiendo a las variables continuas.

Como su nombre lo indica, una variable binaria es aquella que puede tomar valores ya sea de cero (0) o uno (1), esta idea tan simple puede convertirse en una ayuda fundamental tanto para la modelación, como para la resolución de los problemas. Un ejemplo de ello puede ser el caso en el que determinado producto puede producirse o no, también un centro de distribución que puede abrirse o no.

El fundamento económico que más se presta para ser resuelto mediante el uso de variables binarias es el de Costo Fijo, el cual es fijo por cantidad y variable por unidad, pero depende si el recurso relacionado al costo se usa, o no, por ejemplo, el costo de arrendamiento de una bodega, el cual se cobrará a partir de la producción de cualquier unidad, pero no se cobrará si no se produce unidad alguna (no se hace uso de la bodega).

Otra ejemplo de la aplicación de las variables binarias se puede apreciar cuando en el sistema existen restricciones excluyentes (condicionadas la una de la otra), es decir, que a partir de la satisfacción de una condición no se hace necesario el cumplimiento de la otra condición. Por ejemplo, si se desea lanzar una producción de calzado en el cual se tenga que decidir alquilar un equipo de inyección y en el mercado existen dos alternativas de maquinarias pero solo una es contratable, en este caso se planeará la producción con las capacidades y costos asociados a cada equipo, sin embargo ambas restricciones son excluyentes, es decir solo se aplicará una de las dos.

El caso de la Bauxita

El caso de la BAUXITA es un ejemplo preparado por el Pr. Carlos Julio Vidal Holguín, en el cual se plantea un ejercicio aplicable a la cadena de abastecimiento en el cual hay que resolver un modelo de transbordo para lograr producir aluminio.

Los resultados del problema deben de determinar las rutas que se emplearán para realizar la distribución de materias primas y producto terminado, además de determinar que plantas de procesamiento operan o no (para lo cual hay que hacer uso de las variables binarias) con el objetivo de satisfacer todas los requerimientos de los clientes al menor costo total posible.

Una compañía multinacional de aluminio tiene depósitos de bauxita (materia prima) en tres lugares del mundo A, B y C. Tiene además cuatro plantas donde la bauxita se convierte en alúmina (un producto intermedio), en lugares B, C, D y E. También tiene plantas de esmaltado en los lugares D y E. El proceso de conversión de la bauxita en alúmina es relativamente poco costoso. El esmaltado, sin embargo, es costoso puesto que se requiere de un equipo electrónico especial. Una tonelada de alúmina produce 0.4 toneladas de aluminio terminado. Los datos siguientes están disponibles.

Conversión de Bauxita en alúmina

Proceso de esmaltado

Las ventas anuales de aluminio terminado son de 1000 toneladas (ton) en la planta D y 1200 ton en la planta E.

Costos de transporte en $/ton de Bauxita

Los números que aparecen ordinalmente enseguida de cada fuente y destino serán utilizados para definir las variables.

Costos de transporte de alúmina, en $/ton de alúmina

Los lingotes de producto terminado no se transportan entre D y E y viceversa. Formule y resuelva un modelo de optimización para determinar la mejor red – configuración y diseño de la cadena de abastecimiento presentada.

Note que existe un problema de determinar cuáles plantas de alúmina deben ser abiertas.

Variables de decisión

Las variables de decisión se plantearán mayoritariamente en relación a las unidades a transportar desde un nodo hacia el otro.

Una muy buena manera de llamar a las variables es sugerido en la anterior gráfica (X(ij) – Y(jk) – W(j)). Por ende las variables de decisión serán:

X_ij = Cantidad de toneladas de bauxita a transportar desde la mina i hacia la planta de alúmina j por año; donde i {A,B,C} y j {B,C,D,E}.

Y_jk= Cantidad de toneladas de alúmina a transportar desde la planta de alúmina j hacia la planta de esmaltado k por año; donde j {B,C,D,E} y k {D,E}.

Hasta este punto todo es normal, sin embargo es necesario determinar una serie de variables binarias que indicarán que plantas de alúmina se abrirán o no, además estas estarán asociadas a los costos fijos generados por la apertura de cada planta en la función objetivo.

W_j= 1, si la planta j se abre, de lo contrario 0; donde j {B,C,D,E}. (Variable Binaria).

Restricciones

Restricciones por capacidad anual de cada mina de Bauxita

Mina A: X_AB + X_AC + X_AD + X_AE ≤ 36000

Mina B: X_BB + X_BC + X_BD + X_BE ≤ 52000

Mina C: X_CB + X_CC + X_CD + X_CE ≤ 28000

Es decir que todos los envíos efectuados desde cada mina hacia cualquiera de los cuatro destinos no puede exceder la capacidad de cada mina.

Restricciones por capacidad anual de procesamiento de Bauxita en cada planta de alúmina

Planta B: X_AB + X_BB + X_CB ≤ 40000W_B

Planta C: X_AC + X_BC + X_CC ≤ 20000W_C

Planta D: X_AD + X_BD + X_CD ≤ 30000W_D

Planta E: X_AE + X_BE + X_CE ≤ 80000W_E

Estas restricciones aseguran que los enviados realizados desde cualquiera de las minas hacia cada planta específica sean menores o iguales a los que cada planta pueda procesar, además la capacidad de cada planta va acompañada de la variable binaria que le corresponde, es decir que como el valor que puede adquirir cada variable binaria es 1 o 0, cuando esta sea 1 (la planta se abre) la capacidad se multiplicará por uno (1) es decir que no se altera, pero cuando esta variable adquiera el valor de 0 (la planta no se abre) la capacidad se multiplicará por cero (0) es decir que la capacidad quedará reducida a 0 por ende no se podrán enviar unidades a esa planta.

Restricciones por capacidad anual de procesamiento de alúmina en cada planta de esmaltado

En este conjunto de restricciones no se utilizarán las variables correspondientes a las de envío de Bauxita (X) sino las correspondientes al envío de Alúmina (Y), en las restricciones de balanceo representaremos la equivalencia dado el rendimiento que tiene la Bauxita de cada mina para convertirse en alúmina.

Planta D: Y_BD + Y_CD + Y_DD + Y_ED ≤ 4000

Planta E: Y_BE + Y_CE + Y_DE + Y_EE ≤ 7000

Es decir que todos los envíos de alúmina hacia las plantas de esmaltado no superen cada una de las capacidades de procesamiento de las mismas.

Restricciones por las ventas anuales de aluminio terminado en cada planta de esmaltado

En este caso se debe recordar que existe una equivalencia entre la alúmina y el aluminio terminado (equivalencia determinada por el rendimiento de la alúmina para fabricar aluminio que es del 40%, «una tonelada de alúmina produce 0.4 toneladas de aluminio terminado»). Entonces podemos usar las variables de toneladas de alúmina con su debida equivalencia para elaborar las restricciones de demanda.

Planta D: 0,4(Y_BD + Y_CD + Y_DD + Y_ED) = 1000

Planta E: 0,4(Y_BE + Y_CE + Y_DE + Y_EE) = 1200

Restricciones de balance

Como lo mencionamos en módulos anteriores las restricciones de balance tienen lugar en los nodos de transbordo, es decir, en los nodos que no son de oferta o demanda pura. Como en este nodo entran variables que representan toneladas de Bauxita y salen variables que representan alúmina se debe de aplicar el rendimiento correspondiente para realizar la conversión.

0.060X_AB + 0.080X_BB + 0.062X_CB = Y_BD + Y_BE

0.060X_AC + 0.080X_BC + 0.062X_CC = Y_CD + Y_CE

0.060X_AD + 0.080X_BD + 0.062X_CD = Y_DD + Y_DE

0.060X_AE + 0.080X_BE + 0.062X_CE = Y_ED + Y_EE

Al introducir estos datos en software como WinQSB debemos saber que al lado derecho del signo igual o el signo de la inecuación no deben ir variables, por ende estas pasan a restar al lado izquierdo, igualando la ecuación a cero (0).

Restricciones obvias

Las cuales determinan la naturaleza de las variables

X_ij ≥ 0 ∀ i,j

X_jk ≥ 0 ∀ j,k

W_j ∈ {1,0} ∀ j

Función Objetivo

Para elaborar la función objetivo hay que tener en cuenta los costos de explotación en cada mina, los costos de procesamiento de bauxita en las plantas de alúmina, los costos procesamiento en cada planta de esmaltado, así como los costos de envío asociados a cada ruta y determinantemente los costos relacionados con las variables binarias los cuales son los costos fijos condicionados a si la planta se abre o no.

Z_MIN = 820X_AB + 2430X_AC + 930X_AD + 2340X_AE + 370X_BB + 990X_BC + 580X_BD + 1870X_BE + 2170X_CB + 550X_CC + 1160X_CD + 1480X_CE + 9050Y_BD + 7040Y_BE + 9440Y_CD + 6460Y_CE + 8880Y_DD + 7195Y_DE + 10205Y_ED + 5440Y_EE + 3000000W_B + 2500000W_C + 4800000W_D + 6000000W_E

Ingresando los datos a WinQSB

Resultados obtenidos mediante WinQSB

El anterior problema resuelto es un ejemplo introductorio a la modelación a gran escala y a la aplicación que tienen la investigación de operaciones dentro de las nuevas tendencias de Cadena de Abastecimiento.

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Problema de transbordo

Bryan Salazar López — Tue, 11 Jun 2019 21:52:19 +0000

El Problema de transbordo, intertransporte o reembarque, es una variación del modelo original de transporte que se ajusta a la posibilidad común de transportar unidades mediante nodos fuentes, destinos y transitorios, mientras el modelo tradicional solo permite envíos directos desde nodos fuentes hacia nodos destinos.

Existe la posibilidad de resolver un modelo de transbordo mediante las técnicas tradicionales de resolución de modelos de transporte y este procedimiento se basa en la preparación del tabulado inicial haciendo uso de artificios conocidos con el nombre de amortiguadores, los cuales deben ser iguales a la sumatoria de las ofertas de los nodos de oferta pura y de coeficiente cero (0) en materia de costos.

Sin embargo. la resolución de un problema de transbordo haciendo uso de los algoritmos de resolución de modelos de transporte es una idea anacrónica, teniendo en cuenta la posibilidad de acceso a herramientas de cómputo capaces de resolver problemas complejos una vez modelados mediante las técnicas de programación lineal.

La importancia de los modelos de transbordo aumenta con las nuevas tendencias globales de gestión de cadenas de abastecimiento, en las cuales se deben de optimizar los flujos logísticos de productos teniendo en cuenta la importancia de minimizar los costos, asegurar disponibilidad de unidades y reconociendo la importancia de los centros de distribución en la búsqueda del equilibrio entre las proyecciones y la realidad de la demanda.

Resolución de un problema de transbordo mediante programación lineal

Para poder resolver un problema de transbordo mediante programación lineal, basta con conocer una nueva familia de restricciones, las llamadas restricciones de balanceo. En un problema de transbordo existen 3 clases de nodos, los nodos de oferta pura, los de demanda pura y los nodos transitorios que posibilitan el transbordo y que deben de balancearse para hacer que el sistema sea viable, es decir, que todas las unidades que ingresen a un nodo sean iguales a las que salgan del mismo (unidades que salen + unidades que conserve el nodo).

El problema

Modelar mediante programación lineal el problema de transbordo esbozado en la siguiente figura:

La figura muestra una serie de nodos y sus respectivas rutas mediante las cuales se supone distribuir las unidades de un producto, el número que lleva cada arco (flecha) representa el costo unitario asociado a esa ruta (arco), y las cantidades que se ubican en los nodos iniciales representan la oferta de cada planta, así como las cantidades de los nodos finales representa la demanda de cada distribuidor.

Variables de decisión

En este caso como en la mayoría las variables de decisión deben representar la cantidad de unidades enviadas por medio de cada ruta. Es muy aconsejable denotar cada nodo con un número para simplificar la definición nominal de las variables.

Una vez renombrado cada nodo definiremos las variables:

X_A,C = Cantidad de unidades enviadas desde P1 hacia T1

X_A,D = Cantidad de unidades enviadas desde P1 hacia T2

X_B,C = Cantidad de unidades enviadas desde P2 hacia T1

X_B,D = Cantidad de unidades enviadas desde P2 hacia T2

X_C,D = Cantidad de unidades enviadas desde T1 hacia T2

X_C,E = Cantidad de unidades enviadas desde T1 hacia D1

X_C,F = Cantidad de unidades enviadas desde T1 hacia D2

X_D,F = Cantidad de unidades enviadas desde T2 hacia D2

X_D,G = Cantidad de unidades enviadas desde T2 hacia D3

X_E,F = Cantidad de unidades enviadas desde D1 hacia D2

X_F,G = Cantidad de unidades enviadas desde D2 hacia D3

Restricciones

Existen en este modelo 3 tipos de restricciones y están estrechamente relacionadas con los tipos de nodos existentes, para un nodo oferta pura existe la restricción de oferta; para un nodo demanda pura existe la restricción de demanda, y para un nodo transitorio y/o transitorio de demanda existe la restricción de balance. Recordemos que los nodos transitorios son aquellos que tienen rutas (arcos o flechas) de entrad y salida, y si además este presenta un requerimiento de unidades se denomina transitorio de demanda.

Restricciones de Oferta:

X_A,C + X_A,D = 1000

X_B,C + X_B,D = 1200

Restricciones de demanda:

X_D,G + X_F,G = 500

Restricciones de balanceo para nodos únicamente transitorios:

Con estas restricciones aseguramos que todas las unidades que lleguen sean iguales a las unidades que salgan.

X_A,C + X_B,C – X_C,D – X_C,E – X_C,F = 0

X_A,D + X_B,D + X_C,D – X_D,F – X_D,G = 0

Restricciones de balanceo para nodos transitorios con requerimientos:

Con estas restricciones aseguramos que todas las unidades que lleguen sean iguales a la sumatoria de las unidades que salen más los requerimientos del nodo (demanda).

X_C,E – X_E,F = 800

X_C,F + X_D,F + X_E,F – X_F,G = 900

Función objetivo

En este caso la definición de la función objetivo se limita a la consignación de cada ruta con su respectivo costo bajo el criterio «minimizar«.

Z_MIN = 3X_A,C + 4X_A,D + 2X_B,C + 5X_B,D + 7X_C,D + 8X_C,E + 6X_C,F + 4X_D,F + 9X_D,G + 5X_E,F + 3X_F,G

Ingresando el modelo a WinQSB

Solución obtenida mediante WinQSB

Esta es la representación gráfica de la solución cuyo costo óptimo es de 20.700 unidades monetarias:

Resolución de un problema de redes de suministro

El problema

Este es un problema propuesto en el texto «Investigación de Operaciones de TAHA» que hace referencia a una red de gasoductos en la que los distintos nodos representan estaciones de bombeo y recepción, los costos se encuentran en las rutas de la siguiente figura.

Variables de decisión

X₁₂ = Cantidad de galones enviados desde la estación 1, hacia la estación 2

X₁₇ = Cantidad de galones enviados desde la estación 1, hacia la estación 7

X₃₇ = Cantidad de galones enviados desde la estación 3, hacia la estación 7

X₃₄ = Cantidad de galones enviados desde la estación 3, hacia la estación 4

X₇₂ = Cantidad de galones enviados desde la estación 7, hacia la estación 2

X₇₅ = Cantidad de galones enviados desde la estación 7, hacia la estación 5

X₅₇ = Cantidad de galones enviados desde la estación 5, hacia la estación 7

X₆₂ = Cantidad de galones enviados desde la estación 6, hacia la estación 2

X₆₅ = Cantidad de galones enviados desde la estación 6, hacia la estación 5

X₅₆ = Cantidad de galones enviados desde la estación 5, hacia la estación 6

X₅₄ = Cantidad de galones enviados desde la estación 5, hacia la estación 4

Restricciones

Restricciones de oferta y demanda:

X₁₂ + X₁₇ = 50000

X₃₇ + X₃₄ = 60000

X₁₂ + X₇₂ + X₆₂ = 90000

X₃₄ + X₅₄ =20000

Restricciones de balance:

X₁₇ + X₃₇ + X₅₇ – X₇₂ – X₇₅ = 0

X₅₆ – X₆₅ – X₆₂ = 0

X₇₅ + X₆₅ – X₅₆ – X₅₄ = 0

Función Objetivo

Z_MIN = 20X₁₂ + 3X₁₇ + 9X₃₇ + 30X₃₄ + 40X₇₂ + 10X₇₅ + 10X₅₇ + 8X₆₂ + 4X₆₅ + 4X₅₆ + 2X₅₄

Ingresando el modelo a WinQSB

Solución obtenida mediante WinQSB

Esta es la representación gráfica de la solución cuyo costo óptimo es de 2’660.000 unidades monetarias:

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