Las organizaciones que gestionan operaciones cada vez más robustas, requieren en cierto modo de la asignación de personas y recursos a tareas específicas. Desde hace algún tiempo se ha popularizado un planteamiento en torno al objetivo de la logística, generalmente aceptado como: «El objetivo de la logística consiste en llevar el producto correcto, en la cantidad correcta, en el lugar correcto, en el momento correcto» (acepta variaciones).

Ahora bien, tendencias de optimización abordan nuevos objetivos y plantean nuevos desafíos alrededor de la intralogística: optimización extrema. Es decir, optimización en la asignación de recursos internos, como por ejemplo: el recurso correcto, asignado a la tarea correcta, en el momento correcto.

Cuando aterrizamos el anterior planteamiento en términos prácticos, entendemos que se hace necesario resolver problemas de programación complejos de forma regular, que permitan la gestión de las operaciones de la organización. Un caso puntual consiste en la programación del recurso humano, sujeta a un conjunto complejo de restricciones y requisitos: número de empleados, días laborales, turnos, tiempos inactivos, permisos, políticas internas, etc.

El planteamiento de nuevos desafíos de optimización, guarda una estrecha relación con la posibilidad que nos brinda la tecnología de abordar estos retos. Si bien, la complejidad de las organizaciones es cada vez mayor, los algoritmos cada vez son más refinados, y los solucionadores cada vez más robustos e integrados.

El objetivo de este artículo consiste en utilizar las técnicas robustas del solucionador basado en restricciones OR-Tools de Google, para resolver un problema de programación de empleados sujeto a un conjunto complejo de restricciones.

Caso de aplicación

La compañía Stark Lab ha adquirido un nuevo torno para su área de mecanizado. El volumen de trabajo que tiene el área, demanda que esta nueva máquina sea operada en los 3 turnos del día (mañana, tarde y noche).

La compañía ha contratado a 3 trabajadores para operar la nueva máquina, y planea emplear a un aprendiz (estudiante) como cuarto operario.

El supervisor debe diseñar una programación para los cuatro operarios para un periodo de 7 días (una semana), sujeto a las siguientes condiciones:

• Cada día se divide en tres turnos de 8 horas.
• Todos los días, cada turno se asigna a un solo operario, y ningún operario trabajará más de un turno por día.
• El último día de la programación se realizan actividades de mantenimiento y limpieza profunda en planta. Por tal razón, solo se trabaja el turno de la mañana.
• El operario aprendiz (estudiante), cuenta con la colaboración de la compañía para realizar sus estudios. Por tal razón, no puede trabajar el tercer día de la semana en el turno de la noche.
• Como mínimo deben trabajarse 19 turnos en total en la programación. Esta cantidad de turnos ya considera los turnos destinados a mantenimiento y limpieza del último día de la programación.
• En el caso en el que no se pueda realizar una distribución de turnos igualitaria, la distribución de los turnos debe realizarse de manera uniforme. Esto quiere decir que no puede existir una diferencia mayor a un turno entre las asignaciones para cada operario.

Se desea desarrollar una programación de empleados (asignación de empleados, turnos y días), que cumpla con las restricciones del planteamiento.

¿Qué necesitaremos?

En el desarrollo de este ejercicio emplearemos:

Paso 1: Crear el entorno de trabajo en Colaboratory

Lo primero que vamos a hacer consiste en crear un entorno de trabajo en Google Colaboratory, así que vayamos allá: Abrir cuaderno nuevo.

Verán que tienen un lienzo para programar el modelo, así que en este cuaderno podemos ir generando las líneas de código que explicaremos en los pasos siguientes.

Paso 2: Instalar Google Or Tools

Es necesario instalar la librería de Google Or Tools en nuestro entorno de Colaboratory para poder utilizar nuestro modelo de programación entera.

!pip install ortools

Al ejecutar esta instrucción instalaremos el software del solucionador de Google.

Paso 3: Importar las librerías necesarias

Este modelo empleará programación entera, y por lo tanto instalaremos las librerías dispuestas por Google OR Tools para ello. En este caso utilizaremos un solucionador de programación entera llamado CP-SAT.

#Importar la librería para utilizar CP-SAT
from ortools.sat.python import cp_model

De esta manera, tenemos todo lo necesario para empezar a desarrollar nuestro código.

Paso 4: Crear los datos de entrada del modelo

Los datos de entrada de un problema de programación de empleados suelen ser simples, la complejidad recae en el modelamiento de las restricciones. En este caso, los datos de entrada básicos son: número de empleados, número de turnos por día, número de días del plan de programación.

#Datos de entrada del modelo
operarios = 4
turnos = 3
dias = 7
total_operarios = range(operarios)
total_turnos = range(turnos)
total_dias = range(dias)

turnos_no_laborales = 2
turnos_laborales = (turnos * dias) - turnos_no_laborales

Así mismo, definimos el número de turnos no laborales, recordemos que el planteamiento del problema nos indicó que el último día se trabajaría tan solo un turno (por labores de mantenimiento y limpieza), por lo tanto, dos turnos pueden considerarse como no laborales.

¿Por qué utilizamos una variable llamada operarios y otra llamada total_operarios? Además, ¿Para qué se emplea la función range? Bueno, la variable operarios contendrá el valor entero de la cantidad de operarios del modelo; mientras tanto, la variable total_operarios dado que emplea la función range, contendrá la secuencia de números que nos ayudará a definir a cada operario, lo hace de esta manera: range(4) = 0, 1, 2, 3. Como podemos ver, inicia la secuencia en 0, y finaliza en el entero anterior al parámetro dado, en este caso el parámetro dado fue 4, por lo tanto, el entero anterior será 3.

Paso 5: Crear el modelo de programación

#Crear el modelo
model = cp_model.CpModel()

Paso 6: Crear las variables de asignación

El problema de programación de empleados es un caso de asignación, y por lo tanto, empleamos variables de decisión de asignación. Veamos:

Necesitamos definir qué operario será asignado a qué turno en qué día en específico. Por lo tanto podemos utilizar variables de asignación binarias, que tomen un valor de 1, si esa asignación específica tiene lugar, y tomen valor de 0, en el caso en el que no.

Algebraicamente sería algo así:

En el caso en el que tuviésemos que definir manualmente cada una de las variables de asignación, requeriríamos un total de 84 variables (7 días * 3 turnos * 4 operarios).

Veamos cómo podemos utilizar los ciclos en Python para simplificar la definición de las variables – Eso sí, en lugar de X llamaremos a la variable asignacion, y en lugar de a, b y c, utilizaremos la primera letra de cada parámetro.

# Creamos las variables de asignación
# asignacion[(o, d, t)]: operario 'o' trabaja en el turno 't' el día 'd'.
asignacion = {}
for o in total_operarios:
    for d in total_dias:
        for t in total_turnos:
            asignacion[(o, d, t)] = model.NewBoolVar('turno_n%id%is%i' % (o, d, t))

De esta manera, haciendo uso de ciclos, creamos todas las variables de asignación del modelo; así mismo, definimos su naturaleza (NewBoolVar = Variable booleana). De manera que en el caso de que una asignación se efectúe su resultado será «verdadero / True».

Paso 7: Crear las restricciones del modelo

La complejidad de un problema de programación de recursos se define por la naturaleza de sus restricciones. Si bien las restricciones acotan el conjunto solución, y por ende los tiempos de procesamiento, la dificultad subyace del modelamiento. Veamos cómo abordar cada una de las restricciones que nos plantea el caso de aplicación.

Cada turno se asigna a un solo operario

La sumatoria de todas las asignaciones efectuadas en un día d, en el turno t, deben ser menores o iguales a 1. Eso restringe la posibilidad de que un mismo turno, en un mismo día, sea asignado a dos operarios diferentes.

Por ejemplo:

X₀₀₀ + X₁₀₀ + X₂₀₀ + X₃₀₀ <= 1

Esta restricción nos diría que la sumatoria de todas las asignaciones del día 0, para el turno 0, de los operarios 0, 1, 2 y 3; debe ser menor o igual a 1. Es decir que el turno 0, del día 0 no puede ser asignado a más de un operario.

Veamos cómo Python nos puede simplificar esta formulación de restricciones:

# Cada turno es asignado a un operario en el periodo de programación, o no es asignado
for d in total_dias:
    for t in total_turnos:
        model.Add(sum(asignacion[(o, d, t)] for o in total_operarios) <= 1)

Esta restricción bien podría formularse como que la sumatoria deba ser igual a 1. Sin embargo, recordemos que existen un par de turnos no laborales, y por lo tanto estos no deben ser asignados.

En el caso en el que tuviésemos que definir manualmente cada una de estas restricciones, requeriríamos un total de 21 restricciones (7 días * 3 turnos).

Cada operario trabaja como máximo un turno por día

La sumatoria de todas las asignaciones efectuadas en un día d, para el operario o, deben ser menores o iguales a 1. Eso restringe la posibilidad de que un operario, en un mismo día, sea asignado a dos turnos diferentes.

Por ejemplo:

X₀₀₀ + X₀₀₁ + X₀₀₂ <= 1

Esta restricción nos diría que la sumatoria de todas las asignaciones del día 0, para el operario 0, de los turnos 0, 1, y 2; debe ser menor o igual a 1. Es decir que el operario 0, del día 0 no puede ser asignado a más de un turno.

Veamos cómo Python nos puede simplificar esta formulación de restricciones:

# Cada operario trabaja como máximo un turno por día
for o in total_operarios:
    for d in total_dias:
        model.Add(sum(asignacion[(o, d, t)] for t in total_turnos) <= 1)

En el caso en el que tuviésemos que definir manualmente cada una de estas restricciones, requeriríamos un total de 28 restricciones (7 días * 4 operarios).

Restricción del operario aprendiz

De acuerdo al caso de aplicación, el operario aprendiz no pude trabajar el tercer día de la semana, en el turno de la noche. Esto nos permite abordar restricciones de requerimientos puntuales sobre el modelo.

Recordemos que el índice, tanto de operarios, turnos y días, comienza en 0. Por lo tanto, para efectos de la formulación de la restricción, el tercer día de la semana será el día 2 (los siete días de la semana son 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6); y el turno de la noche, será el turno 2 (turnos 0, 1 y 2 / mañana, tarde y noche).

Por otro lado, los operarios también son nombrados de acuerdo a sus índices: 0, 1, 2 y 3. Podemos arbitrariamente elegir el índice del operario aprendiz; en nuestro caso diremos que se trata del operario 0.

#Restricción del operario (o) 1 para trabajar el día (d) 2, en el turno (t) 2
model.Add(asignacion[(0, 2, 2)] != 1)

El operador != se utiliza para denotar diferente de, por lo tanto, la restricción indica que la asignación del operario 0, el día 2, en el turno 2, deberá ser diferente de 1; es decir que, al tratarse de una variable booleana, deberá ser Falso = 0.

Restricciones de turnos no programados (mantenimiento y limpieza)

De acuerdo al caso de aplicación, el último día de la semana se programan actividades de mantenimiento y limpieza, y que por lo tanto, solo se trabaja en el turno de la mañana. Por esta razón, debemos excluir a los turnos de la tarde y la noche de la programación (turnos 1 y 2) del último día (día 6).

Siguiendo con nuestras denominaciones algebraicas de ejemplo, tendríamos algo así:

X₀₆₁ + X₁₆₁ + X₂₆₁ + X₃₆₁ == 0

X₀₆₂ + X₁₆₂ + X₂₆₂ + X₃₆₂ == 0

Veamos cómo Python nos puede simplificar esta formulación de restricciones:

# Restricción de turnos no programados
model.Add(sum(asignacion[(o, 6, 1)] for o in total_operarios) == 0)
model.Add(sum(asignacion[(o, 6, 2)] for o in total_operarios) == 0)

Restricción de turnos mínimos programados

De acuerdo al caso de aplicación, debe programarse una cantidad de 19 turnos laborales. Es decir, la cantidad de turnos diarios (3) * la cantidad de días del programa (7); menos la cantidad de turnos no programados por mantenimiento y limpieza (2).

#Como mínimo deben trabajarse "turnos_laborales"
min_turnos_totales = []
for o in total_operarios:
    for d in total_dias:
        for t in total_turnos:
            min_turnos_totales.append(asignacion[(o, d, t)])
model.Add(sum(min_turnos_totales) >= turnos_laborales)

Esta restricción involucra a todas las variables de asignación del modelo, y por lo tanto el uso de ciclos es importante para simplificar el desarrollo de la formulación. Básicamente indica que la sumatoria de todas las variables de decisión (asignación) del modelo (que son booleanas, y para este efecto podemos decir que binarias), debe ser mayor o igual al mínimo de turnos laborales exigidos para programación.

La restricción es 1 sola, pero involucra las 84 variables de asignación.

Restricción de uniformidad en la distribución de turnos

El objetivo de estas restricciones es la de distribuir de la manera más uniforme posible los turnos asignados. En términos prácticos, el caso de aplicación indica que, no puede existir una diferencia mayor a un turno entre las asignaciones de los operarios. Es decir, ningún operario podrá tener asignados dos turnos más que otro operario, por ejemplo.

Para lograr esto es necesario realizar una serie de cálculos intermedios sencillos, con el objetivo de identificar: número de turnos asignables, cantidad mínima de turnos por operario, cantidad máxima de turnos por operario, entre otros.

min_turnos_por_operario = ((turnos * dias) - turnos_no_laborales) // operarios
if ((turnos * dias) - turnos_no_laborales) % operarios == 0:
    max_turnos_por_operario = min_turnos_por_operario
else:
    max_turnos_por_operario = min_turnos_por_operario + 1
for o in total_operarios:
    num_turnos_trabajados = []
    for d in total_dias:
        for t in total_turnos:
            num_turnos_trabajados.append(asignacion[(o, d, t)])
    model.Add(min_turnos_por_operario <= sum(num_turnos_trabajados))
    model.Add(sum(num_turnos_trabajados) <= max_turnos_por_operario)

Lo primero que hicimos fue calcular la parte entera de la fracción entre el número de turnos asignables y los operarios; lo que nos indica la cantidad mínima de turnos por operario. Veamos con un ejemplo:

(turnos * días) – turnos no laborales // operarios

(3 turnos por día * 7 días) – 2 turnos // 4 operarios

(3 * 7) – 2 // 4

19 // 4 = 4 turnos por operario

Esto indica que existe la posibilidad de asignar al menos 4 turnos por cada operario. Lo siguiente que se debe considerar es la cantidad máxima de turnos por operario.

En el caso en el cual la cantidad que resulte de dividir el número de turnos asignables entre el número de operarios sea entera sin decimales, esto indicaría que la distribución de los turnos puede realizarse en partes iguales, y por lo tanto la cantidad máxima de turnos por operario será equivalente a la cantidad mínima de turnos por operario.

En los casos en los que esto no ocurra, la cantidad máxima de turnos por operario será equivalente a la cantidad mínima de turnos por operario más 1. Recordemos que la restricción nos indica que la diferencia entre asignaciones de turnos a operarios no puede ser mayor de un turno.

Por todo lo demás, las restricciones de este paso consisten en establecer que la cantidad de turnos asignados por operario deberá ser mayor que la cantidad mínima de turnos por operario y deberá ser menor que a cantidad máxima de turnos por operario.

Paso 8: Crear el solucionador y enumerar las soluciones

# Creal (invocar) el solucionador y resolver
solver = cp_model.CpSolver()
solver.parameters.linearization_level = 0
# Enumerar las posibles soluciones
solver.parameters.enumerate_all_solutions = True

Paso 9: Configurar las salidas del modelo

Este paso consiste en configurar el formato de salida de las soluciones posibles. De forma arbitraria hemos determinado que se impriman las primeras 2 soluciones (solution_limit), de tal manera que el formato de salida tendrá la siguiente estructura:

• Solución i
  • Día d
    • Operario o, trabaja / no trabaja, en el turno t.

class OperariosParcialesSolucion(cp_model.CpSolverSolutionCallback):
    """Print intermediate solutions."""

    def __init__(self, asignacion, operarios, dias, turnos, limit):
        cp_model.CpSolverSolutionCallback.__init__(self)
        self._asignacion = asignacion
        self._operarios = operarios
        self._dias = dias
        self._turnos = turnos
        self._solution_count = 0
        self._solution_limit = limit

    def on_solution_callback(self):
        self._solution_count += 1
        print('Solución %i' % self._solution_count)
        for d in range(self._dias):
            print('Día %i' % d)
            for o in range(self._operarios):
                is_working = False
                for t in range(self._turnos):
                    if self.Value(self._asignacion[(o, d, t)]):
                        is_working = True
                        print('  Operario %i trabaja en el turno %i' % (o, t))
                if not is_working:
                    print('  Operario {} no trabaja'.format(o))
        if self._solution_count >= self._solution_limit:
            print('Detenga la búsqueda después de  %i soluciones' % self._solution_limit)
            self.StopSearch()

    def solution_count(self):
        return self._solution_count

# Muestra las primeras 2 soluciones.
solution_limit = 2
solution_printer = OperariosParcialesSolucion(asignacion, operarios, dias, turnos,
                                                    solution_limit)

Paso 10: Invocar al solucionador y configurar algunas estadísticas

Por último, nos queda invocar al solucionador, y configurar algunos datos estadísticos para enriquecer las salidas del modelo.

solver.Solve(model, solution_printer)

# Estadísticas.
print('\nEstadísticas')
print('  - conflictos      : %i' % solver.NumConflicts())
print('  - ramas de búsqueda       : %i' % solver.NumBranches())
print('  - tiempo de solución      : %f s' % solver.WallTime())
print('  - soluciones encontradas: %i' % solution_printer.solution_count())

Al ejecutar el programa completo, tendremos la siguiente salida:

• Solución 1
  • Día 0
    • Operario 0 no trabaja
    • Operario 1 trabaja en el turno 1
    • Operario 2 trabaja en el turno 2
    • Operario 3 trabaja en el turno 0
  • Día 1
    • Operario 0 no trabaja
    • Operario 1 trabaja en el turno 0
    • Operario 2 trabaja en el turno 2
    • Operario 3 trabaja en el turno 1
  • Día 2
    • Operario 0 trabaja en el turno 0
    • Operario 1 no trabaja
    • Operario 2 trabaja en el turno 2
    • Operario 3 trabaja en el turno 1
  • Día 3
    • Operario 0 trabaja en el turno 1
    • Operario 1 trabaja en el turno 0
    • Operario 2 trabaja en el turno 2
    • Operario 3 no trabaja
  • Día 4
    • Operario 0 trabaja en el turno 1
    • Operario 1 trabaja en el turno 0
    • Operario 2 no trabaja
    • Operario 3 trabaja en el turno 2
  • Día 5
    • Operario 0 trabaja en el turno 2
    • Operario 1 trabaja en el turno 0
    • Operario 2 no trabaja
    • Operario 3 trabaja en el turno 1
  • Día 6
    • Operario 0 trabaja en el turno 0
    • Operario 1 no trabaja
    • Operario 2 no trabaja
    • Operario 3 no trabaja
• Solución 2
  • Día 0
    • Operario 0 no trabaja
    • Operario 1 trabaja en el turno 1
    • Operario 2 trabaja en el turno 2
    • Operario 3 trabaja en el turno 0
  • Día 1
    • Operario 0 no trabaja
    • Operario 1 trabaja en el turno 0
    • Operario 2 trabaja en el turno 2
    • Operario 3 trabaja en el turno 1
  • Día 2
    • Operario 0 trabaja en el turno 0
    • Operario 1 no trabaja
    • Operario 2 trabaja en el turno 2
    • Operario 3 trabaja en el turno 1
  • Día 3
    • Operario 0 trabaja en el turno 1
    • Operario 1 trabaja en el turno 0
    • Operario 2 trabaja en el turno 2
    • Operario 3 no trabaja
  • Día 4
    • Operario 0 trabaja en el turno 1
    • Operario 1 trabaja en el turno 0
    • Operario 2 no trabaja
    • Operario 3 trabaja en el turno 2
  • Día 5
    • Operario 0 trabaja en el turno 1
    • Operario 1 trabaja en el turno 0
    • Operario 2 no trabaja
    • Operario 3 trabaja en el turno 2
  • Día 6
    • Operario 0 trabaja en el turno 0
    • Operario 1 no trabaja
    • Operario 2 no trabaja
    • Operario 3 no trabaja

Detenga la búsqueda después de 2 soluciones

Estadísticas
– conflictos : 973
– ramas de búsqueda : 1730
– tiempo de búsqueda : 0.044052 s
– soluciones encontradas: 2

Hemos formulado un modelo con 84 variables de decisión, 55 restricciones y algunos cálculos intermedios. Podemos observar cómo el modelo ha logrado encontrar soluciones que satisfacen las restricciones planteadas (formuladas). Del mismo modo, podemos observar el tiempo en el cual ha logrado el solucionador hallar la cantidad de soluciones solicitadas (fracciones de segundo).

Es interesante percibir las bondades de este tipo desarrollos, y considerar las posibilidades de aplicación en otros campos diferentes a la programación de empleados; teniendo en cuenta la flexibilidad de la programación basada en restricciones, la potencia de los solucionadores y la capacidad de procesamiento de los equipos en la actualidad.

El código completo de este desarrollo lo puedes encontrar en nuestro cuaderno: Programación de empleados.

La entrada Programación de empleados mediante programación entera se publicó primero en Ingenieria Industrial Online.

Tal como lo hemos abordado ampliamente, una de las aplicaciones más importantes del modelamiento de Cadenas de Suministro, es el diseño de red de abastecimiento, y dentro de esta categoría, el diseño de rutas de transporte (enrutamiento de vehículos).

Los problemas de enrutamiento de vehículos (routing), se encuentran clasificados como problemas de optimización combinatoria, y esto producto de que la cantidad de rutas posibles en un modelo básico, se encuentra determinado por la ecuación (n – 1)!, donde n, es igual al número de ubicaciones que componen el problema de enrutamiento.

Ahora bien, no solo la resolución de los problemas de enrutamiento es considerada como compleja, también lo es la fase preliminar en la que debemos levantar la información de entrada del modelo (inputs), específicamente, la matriz de distancias.

La forma más básica de un modelo VRP, requiere para su resolución la siguiente información mínima de entrada:

La matriz de distancias es un tabulado que registra la longitud entre cada uno de los nodos del modelo, incluido el nodo depósito. Su tamaño será n x n (siendo n el número de nodos del modelo). Asumiendo, por ejemplo, que tenemos un problema que se compone de 1 depósito y 19 ubicaciones, el modelo requerirá de una matriz de distancias con 400 datos.

En artículos anteriores hemos abordado modelos robustos para la resolución de problemas VRP y algunas de sus extensiones (CVRP, por ejemplo). El objetivo de este artículo será la de utilizar funciones espaciales de Python, para obtener una matriz de distancias de acuerdo a ubicaciones reales, con el propósito de resolver un modelo VRP básico.

Caso de aplicación

La Secretaría de Educación de Santiago de Cali, tiene dentro de sus funciones, distribuir el material pedagógico a las diferentes instituciones de formación de la ciudad. La distribución del material se realiza todos los lunes, y para ello, la Secretaría cuenta con dos vehículos con capacidad suficiente para transportar todo el material. El depósito del material (lugar desde donde salen y deben regresar los vehículos), se encuentra en la Alcaldía de Cali; y las instituciones que deben visitarse son 60. Tal como podemos apreciar en la siguiente tabla:

Se desea desarrollar un plan de rutas para cada uno de los vehículos que logre minimizar la distancia total recorrida, al tiempo que asegure la visita de todos los colegios.

¿Qué necesitaremos?

En el desarrollo de este ejercicio emplearemos:

Paso 1: Crear el entorno de trabajo en Colaboratory

Lo primero que vamos a hacer consiste en crear un entorno de trabajo en Google Colaboratory, así que vayamos allá: Abrir cuaderno nuevo.

Verán que tienen un lienzo para programar el modelo, así que en este cuaderno podemos ir generando las líneas de código que explicaremos en los pasos siguientes.

Paso 2: Importar las librerías necesarias

Respecto a las librerías, en la introducción del artículo hicimos una descripción de la funcionalidad de cada una, veamos como importarlas en nuestro entorno:

from sklearn.neighbors import DistanceMetric
from math import radians
import pandas as pd
import numpy as np

De esta manera, tenemos todo lo necesario para empezar a desarrollar nuestro código.

Paso 3: Importar los datos desde Excel

De acuerdo a las necesidades del modelo, podemos desarrollar un código que permita la entrada manual de la información, la captura de los datos desde entornos digitales (Internet, por ejemplo), o podemos, desde luego, alimentar nuestro modelo con información contenida en documentos externos, como es el caso de un archivo de Microsoft Excel.

Esta puede considerarse como una de las ventajas de utilizar Python, su capacidad de integrarse con cualquier fuente de datos. En nuestro caso, toda la información se encuentra contenida en un documento de Excel, el cual presenta el siguiente formato:

Utilizaremos ubicaciones reales, y para eso emplearemos las coordenadas de latitud y longitud.

En Colaboratory, el siguiente fragmento permitirá cargar un archivo al entorno de ejecución:

from google.colab import files

uploaded = files.upload()

for fn in uploaded.keys():
  print('User uploaded file "{name}" with length {length} bytes'.format(
      name=fn, length=len(uploaded[fn])))

Al ejecutar este fragmento de código, se abrirá una ventana emergente del explorador que permitirá cargar nuestra base de datos, en nuestro caso el archivo tienen el nombre de colegios.xlsx.

La siguiente línea de código permitirá almacenar los datos contenidos en el documento en un Dataframe de nuestro entorno, dentro de la variable data.

#Leer el documento de Excel y almacenar los datos en la variable data
data = pd.read_excel('colegios.xlsx')

Podemos en cualquier momento confirmar si la carga de los datos se ha realizado correctamente, para eso imprimiremos las primeras cinco filas del  DataFrame:

data.head()

Al ejecutar esta instrucción tenemos la siguiente salida (Una vista de las 5 primeras filas del marco de datos):

Podemos observar que los datos han sido perfectamente cargados, y que ahora se encuentran almacenados en la variable (DataFrame): data.

Paso 4: Convertir las coordenadas de latitud y longitud en radianes

La mayor parte de las funciones de cálculo de distancias de Sklearn (Scipy) toman las entradas como radianes. Por esta razón, debemos convertir las coordenadas en radianes.

data['Latitud'] = np.radians(data['Latitud'])
data['Longitud'] = np.radians(data['Longitud'])

#Creamos una matriz bidimensional con la latitud y la longitud en radianes
data[['Latitud','Longitud']].to_numpy()

Al ejecutar estas líneas, las coordenadas quedarán convertidas en radianes.

Paso 5: Declarar el tipo de métrica de distancias que se utilizará

En este punto quiero detenerme para mencionar que existen decenas de funciones métricas de distancia rápida. Algunas de las más utilizadas son destinadas a espacios vectoriales de valor real, como: distancias euclidianas, distancias de Manhattan, etc. Prácticas cuando se emplean con coordenadas cartesianas.

En nuestro caso, ya que utilizamos ubicaciones reales y contamos con coordenadas de latitud y de longitud, podemos emplear una función de distancia de vectores bidimensionales que considere la curvatura de la tierra; tal es el caso de las Distancias Haversine (Semiverseno).

Si quieren conocer la fórmula empleada para el cálculo de cada distancia haversine:

Para efectos de nuestro desarrollo, utilizaremos la librería SKLearn para calcular nuestras distancias. Veamos:

dist = DistanceMetric.get_metric('haversine')

dist.pairwise(data[['Latitud','Longitud']].to_numpy())*6373

El fragmento anterior crea un objeto con métricas haversine, y luego utiliza la función pairwise(), para calcular la distancia entre cada uno de los elementos de la matriz (nodos). Cada distancia calculada multiplica el escalar 6373 (radio esférico de la tierra), para calcular las distancias en kilómetros (Para millas multiplicar por 3798).

Paso 6: Crear un marco de datos (tabulado) de matriz de distancias

Una vez que ejecutemos el paso anterior, tendremos nuestras distancias entre nodos calculadas; lo que haremos en este paso será organizar dichos valores en forma de marco de datos o tabulado, obteniendo nuestra matriz de distancias.

distance_matrix = pd.DataFrame(dist.pairwise(data[['Latitud','Longitud']].to_numpy())*6373)

distance_matrix.head()

Al ejecutar esta instrucción tenemos la siguiente salida (Una vista de las 5 primeras filas del marco de datos):

Podemos imprimir la matriz completa:

print(distance_matrix)

Hasta este punto hemos logrado nuestro objetivo principal, que era obtener una matriz de distancias de forma automática tomando como base las coordenadas de longitud y latitud de un conjunto de nodos. Específicamente hemos obtenido 3721 valores de distancia en cuestión de segundos (empleando la métrica haversine).

Lógicamente, estos valores de referencia en la práctica presentan algunas desventajas, como, por ejemplo, la dificultad subyacente de atravesar las ciudades por lugares diferentes que las vías dispuestas para ello. Sin embargo, estos valores pueden ser muy útiles como datos de entrada de un modelo VRP para obtener la secuencia del plan de rutas.

Lo siguiente que haremos, para finalizar nuestro caso de aplicación, será utilizar la matriz de distancias obtenida, en un modelo VRP básico (Si desea profundizar en el modelo, visite el artículo).

Paso 7: Instalar Google Or Tools

Es necesario instalar la librería de Google Or Tools en nuestro entorno de Colaboratory para poder utilizar nuestro modelo VRP.

!pip install ortools

Al ejecutar esta instrucción instalaremos nuestro solucionador del modelo de enrutamiento.

Paso 8: Incorporar el modelo VRP (Previamente formulado)

Como ya lo mencionamos, contamos con un modelo debidamente formulado para resolver problemas VRP básicos. Lo único que modificaremos serán los datos de entrada: Matriz de distancias (distance_matrix), Número de vehículos (2), Depósito (Nodo 0).

"""Problema de enrutamiento de vehículos simple (VRP)

Autor: MSc. Ing. Bryan Salazar López 2021

"""

from ortools.constraint_solver import routing_enums_pb2
from ortools.constraint_solver import pywrapcp


def create_data_model():
    """Datos de entrada del modelo"""
    #Llamaremos la matriz de distancia previamente obtenida
    #Emplearemos dos vehículos como lo indica el problema
    #Definiremos el nodo 0 como el depósito (Secretaría)
    data = {}
    data['matriz_distancias'] = distance_matrix
    data['num_vehiculos'] = 2
    data['deposito'] = 0
    return data


def print_solution(data, manager, routing, solution):
    """Imprime la solución sobre la consola"""
    max_route_distance = 0
    for vehicle_id in range(data['num_vehiculos']):
        index = routing.Start(vehicle_id)
        plan_output = 'Ruta para el vehículo {}:\n'.format(vehicle_id)
        route_distance = 0
        while not routing.IsEnd(index):
            plan_output += ' {} -> '.format(manager.IndexToNode(index))
            previous_index = index
            index = solution.Value(routing.NextVar(index))
            route_distance += routing.GetArcCostForVehicle(
                previous_index, index, vehicle_id)
        plan_output += '{}\n'.format(manager.IndexToNode(index))
        plan_output += 'Distancia de la ruta: {}km\n'.format(route_distance)
        print(plan_output)
        max_route_distance += route_distance
        max_route_distance = max(route_distance, max_route_distance)
    print('Distancia total de todas las rutas: {}km'.format(max_route_distance))



def main():
    """Punto de entrada del programa"""
    # Invocar la data de entrada.
    data = create_data_model()

    # Crea el administrador del índice de rutas.
    manager = pywrapcp.RoutingIndexManager(len(data['matriz_distancias']),
                                           data['num_vehiculos'], data['deposito'])

    # Crea el modelo de enrutamiento.
    routing = pywrapcp.RoutingModel(manager)


    # Crea y registra una devolución de llamada de distancia.
    def distance_callback(from_index, to_index):
        """Retorna la distancia entre dos nodos."""
        # Convierte desde la variable de ruta Index hasta la matriz de distancia NodeIndex.
        from_node = manager.IndexToNode(from_index)
        to_node = manager.IndexToNode(to_index)
        return data['matriz_distancias'][from_node][to_node]

    transit_callback_index = routing.RegisterTransitCallback(distance_callback)

    # Define el costo de cada arco.
    routing.SetArcCostEvaluatorOfAllVehicles(transit_callback_index)

    # Adhiere la dimensión de distancia.
    dimension_name = 'Distancia'
    routing.AddDimension(
        transit_callback_index,
        0,  # Sin holgura
        3000,  # Distancia máxima de viaje del vehículo
        True,  # Iniciar el acumulador en cero
        dimension_name)
    distance_dimension = routing.GetDimensionOrDie(dimension_name)
    distance_dimension.SetGlobalSpanCostCoefficient(100)

    # Configurar los parámetros de búsqueda.
    search_parameters = pywrapcp.DefaultRoutingSearchParameters()
    search_parameters.first_solution_strategy = (
        routing_enums_pb2.FirstSolutionStrategy.PATH_CHEAPEST_ARC)

    # Solucionador del problema.
    solution = routing.SolveWithParameters(search_parameters)

    # Imprimir la solución en la consola.
    if solution:
        print_solution(data, manager, routing, solution)
    else:
        print('No se encuentra solución !')


if __name__ == '__main__':
    main()

Al ejecutar el modelo tendremos:

Un plan de rutas para los dos vehículos que parten desde los depósitos (ahí mismo finalizan sus recorridos), y visitan la totalidad de los nodos. La distancia total optimizada es equivalente a 33 km.

Por último, también es posible exportar la matriz de distancias que hemos obtenido, para eso utilizaremos el siguiente fragmento:

distance_matrix.to_csv('distance_matrix.csv')
files.download('distance_matrix.csv')

El código completo de este desarrollo lo puedes encontrar en nuestro cuaderno: Matriz de distancias para modelar un VRP.

La entrada ¿Cómo calcular una matriz de distancias para modelar un VRP? se publicó primero en Ingenieria Industrial Online.

Es conocido, que los problemas de asignación puros son una variación del problema original del transporte, en cuyos casos las variables de decisión solo pueden tomar valores binarios. ¿Esto qué significa? Pues bien, como algoritmo de red, un problema básico de transporte es un modelo de asignación genérico; modelo en el cual se pretende establecer la asignación entre fuentes y destinos; es decir, cuántas unidades se transportarán desde el origen i hacia el destino j. Se entiende además, que en el caso del transporte, estas variables de asignación no son necesariamente binarias.

El objetivo de este artículo consiste en utilizar las librerías del software Google OR-Tools (Python), para abordar un problema de transporte básico, de acuerdo a un modelo de asignación.

El problema

Con el propósito de evaluar los resultados obtenidos a través del tratamiento de un problema técnicamente formulado y abordado, utilizaremos un caso descrito en el libro Investigación de Operaciones (9na edición), de Hamdy A. Taha (University of Arkansas, Fayetteville), (Ejemplo 5.1-1):

MG Auto cuenta con tres plantas en Los Ángeles, Detroit y Nueva Orleáns, y dos importantes centros de distribución en Denver y Miami. Las capacidades trimestrales de las tres plantas son 1000, 1500 y 1200 automóviles, y las demandas de los dos centros de distribución durante el mismo periodo son de 2300 y 1400 automóviles. La distancia en millas entre las plantas y los centros de distribución aparece en la siguiente tabla: Hamdy A. Taha

Relación de distancias entre plantas y cedis

Distancia dada en millas

El caso también plantea que la compañía de transporte cobra 8 centavos por milla por automóvil. Así entonces, el objetivo del modelo no será minimizar la distancia total, sino minimizar el costo total de transporte. Con base en la distancia dada en millas y el costo de transporte unitario, construimos nuestra tabla de costos (redondeada al dólar más cercano):

Relación de costos de distribución entre plantas y cedis

Costo dado en dólares automóvil

La representación gráfica de la red sería la siguiente:

Resolviendo un problema de transporte mediante Or Tools (Asignación)

De acuerdo a lo mencionado en el artículo de introducción a Google OR-Tools, esta herramienta soporta múltiples lenguajes de programación, así entonces, haremos uso del lenguaje de programación Python.

Utilizaremos un solucionador para programación lineal mixta: SCIP.

Importar librerías

El primer paso consiste en importar la librería de Google Or Tools, esto nos permitirá utilizar todas sus funciones.

from ortools.linear_solver import pywraplp

Declarar el solucionador

Tal como lo mencionamos, vamos a utilizar un solucionador de programación lineal mixta. Esto nos permitirá utilizar tanto variables enteras como variables continuas. Debemos declarar el solucionador SCIP.

solver = pywraplp.Solver.CreateSolver('SCIP')

Crear la data del modelo

La data base del modelo corresponde a la matriz de costos. Debemos de considerar que el orden en el que se ingresa la información corresponda a la relación precisa entre las variables; veamos:

costos = [
    [ 80, 215],
    [100, 108],
    [102,  68],
]

num_plantas = len(costos)
num_cedis = len(costos[0])

Así mismo, utilizaremos el método len para calcular el número de plantas y el número de cedis. En el caso de las plantas, contará el número de filas de la matriz; en el caso de los cedis, contará en número de columnas (para saber que contará las columnas de la matriz se utiliza costos[0]).

Crear las variables del modelo

Este es un problema básico, y como tal las únicas variables necesarias serán las asignaciones. Es decir, las variables x[i, j], donde i representa el origen y j representa el destino. Este proceso es relativamente sencillo y puede generarse cada variable de manera manual, sin embargo, automatizaremos la creación de las variables por medio de ciclos, con el propósito de preparar nuestro código para problemas más robustos:

x = {}
for i in range(num_plantas):
    for j in range(num_cedis):
        x[i, j] = solver.IntVar(0, solver.infinity(), '')

De esta manera se crean las variables de asignación. Es decir, tendremos tantos i como número de plantas (orígenes), asociados a tantos j como número de cedis (destinos). La naturaleza de las variables es entera (solver.IntVar), ya que hace referencia a la distribución de automóviles. Desde la creación de las variables podemos definir su rango, en este caso diremos que será desde 0 hasta infinito (solver.infinity).

Así entonces, se entiende que, por ejemplo, la variable x[0,0] hace referencia al número de automóviles que se enviarán desde el origen 0 (Los Ángeles) hacia el destino 0 (Denver). El orden de la asignación se basa en la matriz de costos.

El código anterior crea todas las variables de asignación necesarias.

Crear las restricciones

#Restricciones de disponibilidad (oferta en plantas)
solver.Add(solver.Sum([x[0, j] for j in range(num_cedis)]) <= 1000)
solver.Add(solver.Sum([x[1, j] for j in range(num_cedis)]) <= 1500)
solver.Add(solver.Sum([x[2, j] for j in range(num_cedis)]) <= 1200)

#Restricciones de demanda (cedis)
solver.Add(solver.Sum([x[i, 0] for i in range(num_plantas)]) >= 2300)
solver.Add(solver.Sum([x[i, 1] for i in range(num_plantas)]) >= 1400) 

El método Add de solver, nos servirá para agregar las restricciones al modelo. Las restricciones de oferta y demanda necesarias se adicionan tal cual el código anterior. Explicaremos la primera de ellas:

solver.Add(solver.Sum([x[0, j] for j in range(num_cedis)]) <= 80)

La anterior restricción indica que, la sumatoria de todas las variables x[0, j], para los j del conjunto cedis deberá ser menor o igual a 1000. Esto significa que la cantidad enviada desde el nodo (planta) 0 hacia los destinos j (Denver y Miami) no puede ser mayor que su disponibilidad de automóviles.

Crear la función objetivo

Tal como lo planteamos desde la formulación del problema, el criterio de optimización des este modelo corresponde a minimizar el costo total de distribución. El siguiente fragmento calcula el producto entre cada variable x[i, j] y su respectivo costo c[i, j] (obtenida desde la matriz de costos). La sumatoria de productos corresponde a la ecuación objetivo.

for i in range(num_plantas):
    for j in range(num_cedis):
        objective_terms.append(costos[i][j] * x[i, j])
solver.Minimize(solver.Sum(objective_terms))

Luego se declara el criterio de optimización: Minimize (para minimizar) y Maximize (para maximizar). En este caso minimizará la sumatoria de los productos.

Invocar al solucionador

La siguiente línea indica que el modelo debe solucionarse.

status = solver.Solve()

Configurar las salidas del modelo

if status == pywraplp.Solver.OPTIMAL or status == pywraplp.Solver.FEASIBLE:
    print('Costo total = ', solver.Objective().Value(), '\n')

    for i in range(num_plantas):
        for j in range(num_cedis):
            print('|Planta {} -> Cedi {} - Cantidad: {}|'.format(
            i,
            j,
            x[i, j].solution_value()))

En el caso en el que el modelo encuentre una solución óptima, hemos configurado las salidas de tal manera que nos muestre la relación solución entre fuentes > destinos y cantidades. Al ejecutar el modelo obtendremos la siguiente solución:

Podemos también detallar mucho mejor las salidas del modelo, de acuerdo al nombre de las plantas y los cedis. Para ello, en la data de entrada creamos las listas correspondientes, veamos:

costos = [
    [ 80, 215],
    [100, 108],
    [102,  68],
]

num_plantas = len(costos)
num_cedis = len(costos[0])

plantas = ['Los Ángeles', 'Detroit', 'New Orleans']
cedis = ['Denver', 'Miami']

La información de las listas debe guardar correspondencia con el orden de la matriz de costos.

Ahora, configuramos nuevamente las salidas del modelo:

if status == pywraplp.Solver.OPTIMAL or status == pywraplp.Solver.FEASIBLE:
    print('Costo total = ', solver.Objective().Value(), '\n')

    for i in range(num_plantas):
        for j in range(num_cedis):
            print('|{:^20} -> {:^20} | Cantidad: {:^20}|'.format(
            plantas[i],
            cedis[j],
            x[i, j].solution_value()))

En este caso hemos remplazado el índice solo de plantas y cedis, por el índice dentro del listado de plantas y cedis. Así entonces, tendremos la siguiente salida del modelo:

Pueden cotejar los resultados obtenidos los cuales corresponden a los mismos resultados presentados por Taha, quien utiliza TORA como solucionador.

¿Cómo ejecutar el modelo?

Alternativa 1, ejecución en nuestro equipo:

Lo primero que debemos considerar, en el caso de que queramos ejecutar este código en nuestro equipo, es que es preciso contar con la instalación de Python en nuestro equipo de cómputo y por supuesto, el software OR-Tools. Una guía detallada de la instalación de estos requerimientos la podrás encontrar en el siguiente enlace:

Instalación de OR-Tools para Python

Ahora, lo recomendable es trabajar con algún editor de código práctico (IDE), por ejemplo: Sublime Text, o Spyder (Una herramienta más completa y por ende más robusta y pesada).

Alternativa 2, ejecución en un entorno virtual (Recomendado):

Podemos utilizar del mismo modo, un entorno virtual. En este caso recomendamos el uso de Colaboratory de Google, un entorno que cuenta con todas las herramientas necesarias para nuestros desarrollos. No tendremos que instalar nada en nuestro equipo, y aprovecharemos la potencia de las máquinas de Google.

El código completo de nuestro desarrollo lo presentamos a continuación.

# Importar la librería de Google OR-Tools
from ortools.linear_solver import pywraplp

# Declarar el solucionador que abordará el modelo
solver = pywraplp.Solver.CreateSolver('SCIP')

# Data del modelo
costos = [
    [ 80, 215],
    [100, 108],
    [102,  68],
]

plantas = ['Los Ángeles', 'Detroit', 'New Orleans']
cedis = ['Denver', 'Miami']

num_plantas = len(costos)
num_cedis = len(costos[0])

# Variables del modelo
x = {}
for i in range(num_plantas):
    for j in range(num_cedis):
        x[i, j] = solver.IntVar(0, solver.infinity(), '')
        
#Restricciones de disponibilidad (oferta en plantas) 
solver.Add(solver.Sum([x[0, j] for j in range(num_cedis)]) <= 1000) 
solver.Add(solver.Sum([x[1, j] for j in range(num_cedis)]) <= 1500) 
solver.Add(solver.Sum([x[2, j] for j in range(num_cedis)]) <= 1200) 

#Restricciones de demanda (cedis) 
solver.Add(solver.Sum([x[i, 0] for i in range(num_plantas)]) >= 2300) 
solver.Add(solver.Sum([x[i, 1] for i in range(num_plantas)]) >= 1400)      



# Función objetivo con criterio de optimización: minimizar
objective_terms = []
for i in range(num_plantas):
    for j in range(num_cedis):
        objective_terms.append(costos[i][j] * x[i, j])

solver.Minimize(solver.Sum(objective_terms))

# Invoca el solucionador
status = solver.Solve()

# Configura los parámetros de impresión, las salidas del modelo
if status == pywraplp.Solver.OPTIMAL or status == pywraplp.Solver.FEASIBLE:
    print('Costo total = ', solver.Objective().Value(), '\n')

    for i in range(num_plantas):
        for j in range(num_cedis):
            print('|{:^20} -> {:^20} | Cantidad: {:^20}|'.format(
            plantas[i],
            cedis[j],
            x[i, j].solution_value()))

También es posible integrar nuestro desarrollo con data proveniente de fuentes externas, como por ejemplo Excel.

En próximos artículos, resolveremos el problema de transporte básico mediante un algoritmo de flujo mínimo.

La entrada Solución de un modelo de transporte mediante un algoritmo de asignación se publicó primero en Ingenieria Industrial Online.

Las variaciones del problema de enrutamiento de vehículos simple (VRP), tienen como objetivo adherir al modelo base restricciones que le permitan ajustarse con mayor rigurosidad a un contexto operacional real.

¿Qué es un CVRP?

El problema de enrutamiento de vehículos capacitados (CVRP), también conocido como VRP con restricciones de capacidad; es una variación del VRP básico, en el que los vehículos con capacidad de carga limitada necesitan recoger o entregar artículos en varios lugares. Los artículos tienen un valor (cantidad) asociado a magnitudes como peso o volumen, y los vehículos tienen una capacidad máxima que pueden transportar (en las mismas magnitudes). El problema consiste en recoger o entregar los artículos de forma óptima (según el criterio de optimización), sin exceder la capacidad de los vehículos (Braekers et al., 2016).

De acuerdo a lo anterior, cada nodo que debe visitarse tendrá asociado una cantidad (demanda) que se acumulará en cada vehículo en la medida en que este lo visite (Figura 1); de tal manera que se hace necesario considerar una nueva dimensión en el modelo. Del mismo modo, cada vehículo contará con una capacidad limitada. En el caso en que todos los vehículos que componen la flota cuenten con la misma capacidad, el problema se denomina de capacidad homogénea, y en la caso de que esta capacidad sea diferente, se considera un problema de capacidad heterogénea (HFVRP).

El objetivo de este artículo consiste en utilizar las librerías del software Google OR-Tools para abordar problemas de enrutamiento de vehículos con restricciones de capacidad (CVRP).

El problema (CVRP)

Puppis PetShop suministra a las veterinarias de Ciudad de México, diversos productos de cuidado y aseo para mascotas. Cuentan con un pequeño centro de distribución desde el cual abastecen periódicamente a sus clientes, los cuales se localizan tal como se muestra tentativamente en la figura 2.

Desde el Centro de Distribución se consolidan los diferentes productos que demanda cada cliente en pallets o estibas. La demanda asociada a cada cliente puede apreciarse en la Figura 2 (estibas / carga paletizada).

Para efectos de resolver el problema con mayor rapidez, el encargado de levantar la información ha considerado que las distancias entre dos puntos son iguales sin importar el sentido de estos (distancias simétricas).

Las distancias entre el centro distribución (0) y los 16 clientes que deben abastecer se detallan en la siguiente matriz de distancias (metros):

La compañía cuenta con 4 camiones, cada uno de los cuales tiene una capacidad máxima de 15 estibas. Es deseable desarrollar un plan de rutas en el cual se determine cuántos camiones utilizar para minimizar la distancia total recorrida.

Resolución del modelo CVRP mediante Google OR-Tools

De acuerdo a lo mencionado en el artículo de introducción a Google OR-Tools, esta herramienta soporta múltiples lenguajes de programación, en esta ocasión, haremos uso del lenguaje de programación Python.

Paso 1: Importar la librería

# Importar la librería de Google OR-Tools
from ortools.constraint_solver import routing_enums_pb2
from ortools.constraint_solver import pywrapcp

Paso 2: Crear la data del modelo CVRP

def create_data_model():
    """Almacena los datos de entrada del problema"""
    data = {}
    data['matriz_distancias'] = [
        [
            0, 548, 776, 696, 582, 274, 502, 194, 308, 194, 536, 502, 388, 354,
            468, 776, 662
        ],
        [
            548, 0, 684, 308, 194, 502, 730, 354, 696, 742, 1084, 594, 480, 674,
            1016, 868, 1210
        ],
        [
            776, 684, 0, 992, 878, 502, 274, 810, 468, 742, 400, 1278, 1164,
            1130, 788, 1552, 754
        ],
        [
            696, 308, 992, 0, 114, 650, 878, 502, 844, 890, 1232, 514, 628, 822,
            1164, 560, 1358
        ],
        [
            582, 194, 878, 114, 0, 536, 764, 388, 730, 776, 1118, 400, 514, 708,
            1050, 674, 1244
        ],
        [
            274, 502, 502, 650, 536, 0, 228, 308, 194, 240, 582, 776, 662, 628,
            514, 1050, 708
        ],
        [
            502, 730, 274, 878, 764, 228, 0, 536, 194, 468, 354, 1004, 890, 856,
            514, 1278, 480
        ],
        [
            194, 354, 810, 502, 388, 308, 536, 0, 342, 388, 730, 468, 354, 320,
            662, 742, 856
        ],
        [
            308, 696, 468, 844, 730, 194, 194, 342, 0, 274, 388, 810, 696, 662,
            320, 1084, 514
        ],
        [
            194, 742, 742, 890, 776, 240, 468, 388, 274, 0, 342, 536, 422, 388,
            274, 810, 468
        ],
        [
            536, 1084, 400, 1232, 1118, 582, 354, 730, 388, 342, 0, 878, 764,
            730, 388, 1152, 354
        ],
        [
            502, 594, 1278, 514, 400, 776, 1004, 468, 810, 536, 878, 0, 114,
            308, 650, 274, 844
        ],
        [
            388, 480, 1164, 628, 514, 662, 890, 354, 696, 422, 764, 114, 0, 194,
            536, 388, 730
        ],
        [
            354, 674, 1130, 822, 708, 628, 856, 320, 662, 388, 730, 308, 194, 0,
            342, 422, 536
        ],
        [
            468, 1016, 788, 1164, 1050, 514, 514, 662, 320, 274, 388, 650, 536,
            342, 0, 764, 194
        ],
        [
            776, 868, 1552, 560, 674, 1050, 1278, 742, 1084, 810, 1152, 274,
            388, 422, 764, 0, 798
        ],
        [
            662, 1210, 754, 1358, 1244, 708, 480, 856, 514, 468, 354, 844, 730,
            536, 194, 798, 0
        ],
    ]
    data['num_vehiculos'] = 4
    data['deposito'] = 0
    data['demanda'] = [0, 1, 1, 2, 4, 2, 4, 8, 8, 1, 2, 1, 2, 4, 4, 8, 8]
    data['capacidad_vehiculos'] = [15, 15, 15, 15]
    return data

Cada fila y columna de la matriz de distancias tiene un índice de a cuerdo a su posición iniciando desde 0. Así entonces, el índice 0 se reserva en este caso para el depósito. El orden de la data es importante, así entonces, podemos apreciar que la demanda asociada a cada nodo se ordena de acuerdo al índice de cada cliente, partiendo con una demanda de 0 pallets asociada al depósito.

Ya que el problema considera la disponibilidad de 4 vehículos, el vector de entrada de la capacidad de la flota tendrá 4 datos correspondientes a la capacidad de cada uno de ellos. Para efectos de nuestro ejemplo se trata de capacidad homogénea.

Paso 2: Definir las salidas del solucionador

def print_solution(data, manager, routing, solution):
    """Imprimir la solución en la consola."""
    total_distance = 0
    total_load = 0
    for vehicle_id in range(data['num_vehiculos']):
        index = routing.Start(vehicle_id)
        plan_output = 'Ruta para el vehículo {}:\n'.format(vehicle_id)
        route_distance = 0
        route_load = 0
        while not routing.IsEnd(index):
            node_index = manager.IndexToNode(index)
            route_load += data['demanda'][node_index]
            plan_output += ' {0} Pallets({1}) -> '.format(node_index, route_load)
            previous_index = index
            index = solution.Value(routing.NextVar(index))
            route_distance += routing.GetArcCostForVehicle(
                previous_index, index, vehicle_id)
        plan_output += ' {0} Pallets({1})\n'.format(manager.IndexToNode(index),
                                                 route_load)
        plan_output += 'Distancia de la ruta: {}m\n'.format(route_distance)
        plan_output += 'Pallets entregados en la ruta: {}\n'.format(route_load)
        print(plan_output)
        total_distance += route_distance
        total_load += route_load
    print('Distancia total de todas las rutas: {}m'.format(total_distance))
    print('Pallets entregados en todas las rutas: {}'.format(total_load))

Paso 4: Crear el administrador de índice de rutas

    manager = pywrapcp.RoutingIndexManager(len(data['matriz_distancias']),
                                           data['num_vehiculos'], data['deposito'])

Paso 5: Crear el modelo de enrutamiento

    routing = pywrapcp.RoutingModel(manager)

Paso 6: Definir la devolución del llamado de distancia

Así mismo, esta función permite establecer los costos del arco (útil para los casos que aborden dimensiones adicionales a las distancias).

def distance_callback(from_index, to_index):
    """Retorna la distancia entre dos nodos"""
    # Convierte desde la variable de ruta Index hacia
    # la matriz de distancia NodeIndex.
    from_node = manager.IndexToNode(from_index)
    to_node = manager.IndexToNode(to_index)
    return data['matriz_distancias'][from_node][to_node]

transit_callback_index = routing.RegisterTransitCallback(distance_callback)
routing.SetArcCostEvaluatorOfAllVehicles(transit_callback_index)

Paso 7: Definir la devolución del llamado de demanda y crear la restricción de capacidad

    def demand_callback(from_index):
        """Retorna la demanda asociada a cada nodo"""
        # Convierte desde la variable de ruta Index hacia
        # la matriz de distancia NodeIndex.
        from_node = manager.IndexToNode(from_index)
        return data['demanda'][from_node]

    demand_callback_index = routing.RegisterUnaryTransitCallback(
        demand_callback)
    routing.AddDimensionWithVehicleCapacity(
        demand_callback_index,
        0,  # Sin holgura en la capacidad de los vehículos
        data['capacidad_vehiculos'],  # Capacidad máxima de los vehículos
        True,  # Iniciar el acumulador en cero
        'Capacity')

Paso 8: Configurar los parámetros de búsqueda

    search_parameters = pywrapcp.DefaultRoutingSearchParameters()
    search_parameters.first_solution_strategy = (
        routing_enums_pb2.FirstSolutionStrategy.PATH_CHEAPEST_ARC)
    search_parameters.local_search_metaheuristic = (
        routing_enums_pb2.LocalSearchMetaheuristic.GUIDED_LOCAL_SEARCH)
    search_parameters.time_limit.FromSeconds(15)

El solucionador considera 14 estrategias de primera solución. En este caso, utilizaremos la estrategia de ruta más corta: PATH_CHEAPEST_ARC.

El solucionador considera 6 opciones de búsqueda local:

Generalmente, la metaheurística que presenta mejores resultados en modelos de enrutamiento corresponde a la búsqueda local guiada, razón por la cual utilizaremos esta opción en nuestro solucionador.

Respecto a los parámetros de búsqueda, limitaremos al solucionador a 15 segundos de ejecución.

Paso 9: Invocar el solucionador

 solution = routing.SolveWithParameters(search_parameters)

Paso 10: Imprimir la solución

 if solution:
print_solution(data, manager, routing, solution)
else:
print('No se encuentra solución !')

Es posible que el desarrollo de los diez pasos anteriores demande algún grado de complejidad subyacente del uso de un lenguaje de programación; sin embargo, es preciso mencionar que, el modelo anterior queda perfectamente configurado, y puede replicarse con modificaciones menores en múltiples problemas de enrutamiento de vehículos básicos (VRP).

¿Cómo ejecutar el modelo?

Alternativa 1, ejecución en nuestro equipo:

Lo primero que debemos considerar, en el caso de que queramos ejecutar este código en nuestro equipo, es que es preciso contar con la instalación de Python en nuestro equipo de cómputo, así mismo debemos contar con la última versión del comando pip y por supuesto, el software OR-Tools. Una guía detallada de la instalación de estos requerimientos la podrás encontrar en el siguiente enlace:

Instalación de OR-Tools para Python

Ahora, lo recomendable es trabajar con algún editor de código práctico (IDE), por ejemplo: Sublime Text, o Spyder (Una herramienta más completa y por ende más robusta y pesada).

Alternativa 2, ejecución en un entorno virtual (Recomendado):

Podemos utilizar del mismo modo, un entorno virtual. En este caso recomendamos el uso de Colaboratory de Google, un entorno que cuenta con todas las herramientas necesarias para nuestros desarrollos. No tendremos que instalar nada en nuestro equipo, y aprovecharemos la potencia de las máquinas de Google.

El código completo de nuestro desarrollo lo presentamos a continuación. También puedes ver el cuaderno de este módulo en nuestro Colaboratory: Problema de Enrutamiento de Vehículos Capacitados (CVRP).

"""Problema de enrutamiento de vehículos capacitados (CVRP)

Ejercicio de ejemplo: MSc. Ing. Bryan Salazar López 2021

"""

from ortools.constraint_solver import routing_enums_pb2
from ortools.constraint_solver import pywrapcp


def create_data_model():
    """Almacena los datos de entrada del problema"""
    data = {}
    data['matriz_distancias'] = [
        [
            0, 548, 776, 696, 582, 274, 502, 194, 308, 194, 536, 502, 388, 354,
            468, 776, 662
        ],
        [
            548, 0, 684, 308, 194, 502, 730, 354, 696, 742, 1084, 594, 480, 674,
            1016, 868, 1210
        ],
        [
            776, 684, 0, 992, 878, 502, 274, 810, 468, 742, 400, 1278, 1164,
            1130, 788, 1552, 754
        ],
        [
            696, 308, 992, 0, 114, 650, 878, 502, 844, 890, 1232, 514, 628, 822,
            1164, 560, 1358
        ],
        [
            582, 194, 878, 114, 0, 536, 764, 388, 730, 776, 1118, 400, 514, 708,
            1050, 674, 1244
        ],
        [
            274, 502, 502, 650, 536, 0, 228, 308, 194, 240, 582, 776, 662, 628,
            514, 1050, 708
        ],
        [
            502, 730, 274, 878, 764, 228, 0, 536, 194, 468, 354, 1004, 890, 856,
            514, 1278, 480
        ],
        [
            194, 354, 810, 502, 388, 308, 536, 0, 342, 388, 730, 468, 354, 320,
            662, 742, 856
        ],
        [
            308, 696, 468, 844, 730, 194, 194, 342, 0, 274, 388, 810, 696, 662,
            320, 1084, 514
        ],
        [
            194, 742, 742, 890, 776, 240, 468, 388, 274, 0, 342, 536, 422, 388,
            274, 810, 468
        ],
        [
            536, 1084, 400, 1232, 1118, 582, 354, 730, 388, 342, 0, 878, 764,
            730, 388, 1152, 354
        ],
        [
            502, 594, 1278, 514, 400, 776, 1004, 468, 810, 536, 878, 0, 114,
            308, 650, 274, 844
        ],
        [
            388, 480, 1164, 628, 514, 662, 890, 354, 696, 422, 764, 114, 0, 194,
            536, 388, 730
        ],
        [
            354, 674, 1130, 822, 708, 628, 856, 320, 662, 388, 730, 308, 194, 0,
            342, 422, 536
        ],
        [
            468, 1016, 788, 1164, 1050, 514, 514, 662, 320, 274, 388, 650, 536,
            342, 0, 764, 194
        ],
        [
            776, 868, 1552, 560, 674, 1050, 1278, 742, 1084, 810, 1152, 274,
            388, 422, 764, 0, 798
        ],
        [
            662, 1210, 754, 1358, 1244, 708, 480, 856, 514, 468, 354, 844, 730,
            536, 194, 798, 0
        ],
    ]
    data['num_vehiculos'] = 4
    data['deposito'] = 0
    data['demanda'] = [0, 1, 1, 2, 4, 2, 4, 8, 8, 1, 2, 1, 2, 4, 4, 8, 8] 
    data['capacidad_vehiculos'] = [15, 15, 15, 15]
    return data


def print_solution(data, manager, routing, solution):
    """Imprimir la solución en la consola."""
    total_distance = 0
    total_load = 0
    for vehicle_id in range(data['num_vehiculos']):
        index = routing.Start(vehicle_id)
        plan_output = 'Ruta para el vehículo {}:\n'.format(vehicle_id)
        route_distance = 0
        route_load = 0
        while not routing.IsEnd(index):
            node_index = manager.IndexToNode(index)
            route_load += data['demanda'][node_index]
            plan_output += ' {0} Pallets({1}) -> '.format(node_index, route_load)
            previous_index = index
            index = solution.Value(routing.NextVar(index))
            route_distance += routing.GetArcCostForVehicle(
                previous_index, index, vehicle_id)
        plan_output += ' {0} Pallets({1})\n'.format(manager.IndexToNode(index),
                                                 route_load)
        plan_output += 'Distancia de la ruta: {}m\n'.format(route_distance)
        plan_output += 'Pallets entregados en la ruta: {}\n'.format(route_load)
        print(plan_output)
        total_distance += route_distance
        total_load += route_load
    print('Distancia total de todas las rutas: {}m'.format(total_distance))
    print('Pallets entregados en todas las rutas: {}'.format(total_load))



def main():
    """Punto de entrada del programa"""
    # Invocar la data de entrada.
    data = create_data_model()

    # Crea el administrador del índice de rutas.
    manager = pywrapcp.RoutingIndexManager(len(data['matriz_distancias']),
                                           data['num_vehiculos'], data['deposito'])

    # Crea el modelo de enrutamiento.
    routing = pywrapcp.RoutingModel(manager)


    # Crea y registra una devolución de llamada de distancia.
    def distance_callback(from_index, to_index):
        """Retorna la distancia entre dos nodos."""
        # Convierte desde la variable de ruta Index hasta la matriz de distancia NodeIndex.
        from_node = manager.IndexToNode(from_index)
        to_node = manager.IndexToNode(to_index)
        return data['matriz_distancias'][from_node][to_node]

    transit_callback_index = routing.RegisterTransitCallback(distance_callback)

    # Define el costo de cada arco.
    routing.SetArcCostEvaluatorOfAllVehicles(transit_callback_index)

    # Adhiere la restricción de capacidad.
    def demand_callback(from_index):
        """Retorna la demanda asociada a cada nodo"""
        # Convierte desde la variable de ruta Index hacia
        # la matriz de distancia NodeIndex.
        from_node = manager.IndexToNode(from_index)
        return data['demanda'][from_node]

    demand_callback_index = routing.RegisterUnaryTransitCallback(
        demand_callback)
    routing.AddDimensionWithVehicleCapacity(
        demand_callback_index,
        0,  # Sin holgura en la capacidad de los vehículos
        data['capacidad_vehiculos'],  # Capacidad máxima de los vehículos
        True,  # Iniciar el acumulador en cero
        'Capacity')

    # Configurar los parámetros de búsqueda.
    search_parameters = pywrapcp.DefaultRoutingSearchParameters()
    search_parameters.first_solution_strategy = (
        routing_enums_pb2.FirstSolutionStrategy.PATH_CHEAPEST_ARC)
    search_parameters.local_search_metaheuristic = (
        routing_enums_pb2.LocalSearchMetaheuristic.GUIDED_LOCAL_SEARCH)
    search_parameters.time_limit.FromSeconds(15)

    # Solucionador del problema.
    solution = routing.SolveWithParameters(search_parameters)

    # Imprimir la solución en la consola.
    if solution:
        print_solution(data, manager, routing, solution)
    else:
        print('No se encuentra solución !')


if __name__ == '__main__':
    main()

Al ejecutar nuestro desarrollo en Colaboratory, tenemos:

El siguiente diagrama muestra las rutas asignadas:

¿Qué pasaría si se dispone de un vehículo menos?

En el artículo de VRP simple abordamos esta misma pregunta, ya que no existían restricciones de capacidad. Así entonces, pudimos observar el impacto en el modelo de disminuir una unidad de transporte de la flota. Ahora bien, en el caso del presente modelo es preciso que la sumatoria de las demandas sea igual o inferior a la sumatoria de las capacidades de la flota de transporte; en caso contrario el modelo no hallará solución.

Esta es quizá la principal limitación del modelo CVRP tal como se ha abordado hasta el momento, puesto que si bien adiciona al modelo básico del VRP las restricciones de capacidad, no considera una situación normal de cualquier contexto operacional: que la demanda sea superior a la capacidad de la flota de transporte.

Ahora bien, existen variaciones del modelo CVRP que considera la posibilidad de que la demanda supere la capacidad de la flota de transporte: CVRP con penalizaciones y abandonos, modelos que abordaremos en próximos artículos.

¿Qué pasaría si uno de los vehículos cuenta con una mayor capacidad de transporte?

Consideremos el hecho de que uno de los vehículos de la flota tenga una capacidad de carga superior al resto: 25 pallets para ser exacto. En este caso nuestro modelo corresponde a un problema de enrutamiento de vehículos capacitados con flota de transporte heterogénea (HFVRP). Tal como se ha formulado el modelo, podemos evidenciar los resultados de este planteamiento, por lo tanto modificamos la capacidad de uno de los vehículos (vehículo 3).

Los resultados obtenidos son:

Podemos evidenciar que la consideración de un vehículo de mayor capacidad (25 pallets), permite que el modelo evalúe rutas más eficientes, ya que, incluso considerando el uso de las 4 unidades de transporte, logra una distancia total recorrida menor (5844 m) a la obtenida en el problema original (6208m).

¿Qué pasaría si empleo una metaheurística alternativa?

Tal como lo mencionamos en el artículo de VRP, los problemas de ruteo corresponden a la categoría de optimización combinatoria, esto implica que requieran de metaheurísticas dada la cantidad de posibles soluciones. De acuerdo a lo citado en el paso 8, es posible utilizar diversas metaheurísticas en Google Or-Tools, algunas de las cuales pueden arrojar resultados diferentes.

Siguiendo con el planteamiento del anterior interrogante (¿Qué pasaría si uno de los vehículos cuenta con mayor capacidad de transporte?), vamos a abordar el modelo haciendo uso de la metaheurística de algoritmo voraz.

Modificamos los parámetros de búsqueda:

    search_parameters = pywrapcp.DefaultRoutingSearchParameters()
    search_parameters.first_solution_strategy = (
        routing_enums_pb2.FirstSolutionStrategy.PATH_CHEAPEST_ARC)
    search_parameters.local_search_metaheuristic = (
        routing_enums_pb2.LocalSearchMetaheuristic.GREEDY_DESCENT)
    search_parameters.time_limit.FromSeconds(15)

La solución obtenida:

Podemos observar que esta metaheurística arroja un resultado (6208 m) menos satisfactorio que el logrado por medio de búsqueda local guiada (5844 m).

El modelo de problema de enrutamiento de vehículos capacitados (CVRP) y el script del solucionador quedaron desarrollados en un lenguaje de programación estándar y ampliamente utilizado. Desde luego, las posibilidades de integrar datos de entrada y procesar los datos de salidas son interesantes. Por ejemplo, es posible desarrollar un script mediante el cual el código ya desarrollado tome los datos de entrada desde un archivo de Excel, o desde un servidor externo.

También, es posible desarrollar una interfaz amigable desde la cual se ingrese la información; o vincular los datos de salida con algún modelo o documento determinado.

En próximos artículos abordaremos las distintas variaciones del modelo de enrutamiento de transporte, como es el caso de los VRPTW (ventanas de tiempo) y los modelos CVRP con penalizaciones y abandonos.

La entrada Problema de Enrutamiento de Vehículos Capacitados (CVRP) con Google OR-Tools se publicó primero en Ingenieria Industrial Online.

Una de las aplicaciones más importantes del modelamiento de Cadenas de Suministro, es el diseño de red de abastecimiento, en el cual, el diseño de rutas de transporte (enrutamiento de vehículos) cumple un rol importante. Su objetivo es encontrar las mejores rutas para una flota de vehículos que visitan un conjunto de ubicaciones. Por lo general, el objetivo de la optimización se centra en determinar una menor distancia, un menor tiempo o un menor costo total (Ballou, 2004).

¿Qué es un VRP?

Una versión más general del Problema del Agente Viajero básico (TSP), es el problema de enrutamiento de vehículos, ampliamente conocido como VRP, por sus siglas en inglés. La principal diferencia entre el TSP y el VRP consiste en la consideración de varios vehículos en el modelo de enrutamiento (Ver Figura 1), es decir, cómo atender óptimamente a un conjunto de clientes, geográficamente dispersos alrededor de un depósito central, a través de una flota de vehículos homogénea (en su versión más básica – VRP puro) (Clarke & Wright, 1964) (Asghari & Mirzapour Al-e-hashem, 2021).

¿Cuál es la complejidad matemática de un VRP?

Es necesario considerar que, los problemas de enrutamiento de vehículos (VRP) y sus extensiones, están clasificados como problemas de optimización combinatoria.

El número de rutas posibles está determinado por la ecuación (n – 1)!, donde n, es igual al número de ubicaciones que componen el problema de enrutamiento (Ver Figura 2). Un problema con 10 ubicaciones (sin contar el depósito o punto de partida), cuenta con 362880 rutas posibles; mientras un problema con 20 ubicaciones cuenta con 2432902008176640000 rutas posibles. Una búsqueda exhaustiva, que evalúe cada una de las posibles soluciones, garantizaría encontrar la ruta óptima; sin embargo, computacionalmente esta es una cuestión intratable, salvo para los conjuntos de pequeñas soluciones (Google OR-Tools, 2020). En la mayor parte de los casos prácticos se requiere de la consideración de técnicas de optimización de búsqueda inteligente, que puedan arrojar soluciones óptimas, o casi óptimas.

La formulación matemática para abordar problemas de enrutamiento de vehículos ha sido ampliamente divulgada. La modelación requiere de la consideración de restricciones de flujo, de balance, de limitación de formación de sub-ciclos, por citar algunas. Hoy por hoy, para efectos de aplicaciones prácticas, lo ideal consiste en utilizar programación basada en restricciones, de manera que los modelos no se aborden en notación algebraica.

El objetivo de este artículo consiste en utilizar las librerías del software Google OR-Tools para abordar problemas de enrutamiento de vehículos (VRP).

El problema (VRP)

Puppis PetShop suministra a las veterinarias de Ciudad de México, diversos productos de cuidado y aseo para mascotas. Cuentan con un pequeño centro de distribución desde el cual abastecen periódicamente a sus clientes, los cuales se localizan tal como se muestra tentativamente en la figura 3.

Para efectos de resolver el problema con mayor rapidez, el encargado de levantar la información ha considerado que las distancias entre dos puntos son iguales sin importar el sentido de estos (distancias simétricas).

Las distancias entre el centro distribución (0) y los 16 clientes que deben abastecer se detallan en la siguiente matriz de distancias (metros):

Si la compañía tiene 4 camiones, es deseable desarrollar un plan de rutas en el cual se determine cuántos camiones utilizar para minimizar la distancia total recorrida.

Resolución del modelo VRP mediante Google OR-Tools

De acuerdo a lo mencionado en el artículo de introducción a Google OR-Tools, esta herramienta soporta múltiples lenguajes de programación, en esta ocasión, haremos uso del lenguaje de programación Python.

Paso 1: Importar la librería

# Importar la librería de Google OR-Tools
from ortools.constraint_solver import routing_enums_pb2
from ortools.constraint_solver import pywrapcp

Paso 2: Crear la data del modelo VRP

def create_data_model():
    """Almacena los datos de entrada del problema"""
    data = {}
    data['matriz_distancias'] = [
        [
            0, 548, 776, 696, 582, 274, 502, 194, 308, 194, 536, 502, 388, 354,
            468, 776, 662
        ],
        [
            548, 0, 684, 308, 194, 502, 730, 354, 696, 742, 1084, 594, 480, 674,
            1016, 868, 1210
        ],
        [
            776, 684, 0, 992, 878, 502, 274, 810, 468, 742, 400, 1278, 1164,
            1130, 788, 1552, 754
        ],
        [
            696, 308, 992, 0, 114, 650, 878, 502, 844, 890, 1232, 514, 628, 822,
            1164, 560, 1358
        ],
        [
            582, 194, 878, 114, 0, 536, 764, 388, 730, 776, 1118, 400, 514, 708,
            1050, 674, 1244
        ],
        [
            274, 502, 502, 650, 536, 0, 228, 308, 194, 240, 582, 776, 662, 628,
            514, 1050, 708
        ],
        [
            502, 730, 274, 878, 764, 228, 0, 536, 194, 468, 354, 1004, 890, 856,
            514, 1278, 480
        ],
        [
            194, 354, 810, 502, 388, 308, 536, 0, 342, 388, 730, 468, 354, 320,
            662, 742, 856
        ],
        [
            308, 696, 468, 844, 730, 194, 194, 342, 0, 274, 388, 810, 696, 662,
            320, 1084, 514
        ],
        [
            194, 742, 742, 890, 776, 240, 468, 388, 274, 0, 342, 536, 422, 388,
            274, 810, 468
        ],
        [
            536, 1084, 400, 1232, 1118, 582, 354, 730, 388, 342, 0, 878, 764,
            730, 388, 1152, 354
        ],
        [
            502, 594, 1278, 514, 400, 776, 1004, 468, 810, 536, 878, 0, 114,
            308, 650, 274, 844
        ],
        [
            388, 480, 1164, 628, 514, 662, 890, 354, 696, 422, 764, 114, 0, 194,
            536, 388, 730
        ],
        [
            354, 674, 1130, 822, 708, 628, 856, 320, 662, 388, 730, 308, 194, 0,
            342, 422, 536
        ],
        [
            468, 1016, 788, 1164, 1050, 514, 514, 662, 320, 274, 388, 650, 536,
            342, 0, 764, 194
        ],
        [
            776, 868, 1552, 560, 674, 1050, 1278, 742, 1084, 810, 1152, 274,
            388, 422, 764, 0, 798
        ],
        [
            662, 1210, 754, 1358, 1244, 708, 480, 856, 514, 468, 354, 844, 730,
            536, 194, 798, 0
        ],
    ]
    data['num_vehiculos'] = 4
    data['deposito'] = 0
    return data

Cada fila y columna de la matriz de distancias tiene un índice de a cuerdo a su posición iniciando desde 0. Así entonces, el índice 0 se reserva en este caso para el depósito.

Paso 2: Definir las salidas del solucionador

def print_solution(data, manager, routing, solution):
    """Imprime la solución sobre la consola"""
    max_route_distance = 0
    for vehicle_id in range(data['num_vehiculos']):
        index = routing.Start(vehicle_id)
        plan_output = 'Ruta para el vehículo {}:\n'.format(vehicle_id)
        route_distance = 0
        while not routing.IsEnd(index):
            plan_output += ' {} -> '.format(manager.IndexToNode(index))
            previous_index = index
            index = solution.Value(routing.NextVar(index))
            route_distance += routing.GetArcCostForVehicle(
                previous_index, index, vehicle_id)
        plan_output += '{}\n'.format(manager.IndexToNode(index))
        plan_output += 'Distancia de la ruta: {}m\n'.format(route_distance)
        print(plan_output)
        max_route_distance += route_distance
        max_route_distance = max(route_distance, max_route_distance)
    print('Distancia total de todas las rutas: {}m'.format(max_route_distance))

Paso 3: Definir el punto de entrada del programa

def main():
    """Punto de entrada del programa."""
    # Invocar la data de entrada.
    data = create_data_model()

Paso 4: Crear el administrador de índice de rutas

    manager = pywrapcp.RoutingIndexManager(len(data['matriz_distancias']),
                                           data['num_vehiculos'], data['deposito'])

Paso 5: Crear el modelo de enrutamiento

    routing = pywrapcp.RoutingModel(manager)

Paso 6: Definir la devolución del llamado de distancia

Así mismo, esta función permite establecer los costos del arco (útil para los casos que aborden dimensiones adicionales a las distancias).

def distance_callback(from_index, to_index):
    """Retorna la distancia entre dos nodos"""
    # Convierte desde la variable de ruta Index hacia
    # la matriz de distancia NodeIndex.
    from_node = manager.IndexToNode(from_index)
    to_node = manager.IndexToNode(to_index)
    return data['matriz_distancias'][from_node][to_node]

transit_callback_index = routing.RegisterTransitCallback(distance_callback)
routing.SetArcCostEvaluatorOfAllVehicles(transit_callback_index)

Paso 7: Adherir una dimensión de distancia

dimension_name = 'Distancia'
routing.AddDimension(
    transit_callback_index,
    0,  # Sin holgura
    3000,  # Distancia máxima de viaje para un vehículo
    True,  # Iniciar el acumulador en cero
    dimension_name)
distance_dimension = routing.GetDimensionOrDie(dimension_name)
distance_dimension.SetGlobalSpanCostCoefficient(100)

Paso 8: Configurar los parámetros de búsqueda

    search_parameters = pywrapcp.DefaultRoutingSearchParameters()
    search_parameters.first_solution_strategy = (
        routing_enums_pb2.FirstSolutionStrategy.PATH_CHEAPEST_ARC)

El solucionador considera 14 estrategias de primera solución. En este caso, utilizaremos la estrategia de ruta más corta: PATH_CHEAPEST_ARC.

Paso 9: Invocar el solucionador

 solution = routing.SolveWithParameters(search_parameters)

Paso 10: Imprimir la solución

 if solution:
print_solution(data, manager, routing, solution)
else:
print('No se encuentra solución !')

Es posible que el desarrollo de los diez pasos anteriores demande algún grado de complejidad subyacente del uso de un lenguaje de programación; sin embargo, es preciso mencionar que, el modelo anterior queda perfectamente configurado, y puede replicarse con modificaciones menores en múltiples problemas de enrutamiento de vehículos básicos (VRP).

¿Cómo ejecutar el modelo?

Alternativa 1, ejecución en nuestro equipo:

Lo primero que debemos considerar, en el caso de que queramos ejecutar este código en nuestro equipo, es que es preciso contar con la instalación de Python en nuestro equipo de cómputo, así mismo debemos contar con la última versión del comando pip y por supuesto, el software OR-Tools. Una guía detallada de la instalación de estos requerimientos la podrás encontrar en el siguiente enlace:

Instalación de OR-Tools para Python

Ahora, lo recomendable es trabajar con algún editor de código práctico (IDE), por ejemplo: Sublime Text, o Spyder (Una herramienta más completa y por ende más robusta y pesada).

Alternativa 2, ejecución en un entorno virtual (Recomendado):

Podemos utilizar del mismo modo, un entorno virtual. En este caso recomendamos el uso de Colaboratory de Google, un entorno que cuenta con todas las herramientas necesarias para nuestros desarrollos. No tendremos que instalar nada en nuestro equipo, y aprovecharemos la potencia de las máquinas de Google.

El código completo de nuestro desarrollo lo presentamos a continuación. También puedes ver el cuaderno de este módulo en nuestro Colaboratory: Problema de Enrutamiento de Vehículos (VRP).

"""Problema de enrutamiento de vehículos simple (VRP)

Ejercicio de ejemplo: MSc. Ing. Bryan Salazar López 2021

"""

from ortools.constraint_solver import routing_enums_pb2
from ortools.constraint_solver import pywrapcp


def create_data_model():
    """Almacena los datos de entrada del problema"""
    data = {}
    data['matriz_distancias'] = [
        [
            0, 548, 776, 696, 582, 274, 502, 194, 308, 194, 536, 502, 388, 354,
            468, 776, 662
        ],
        [
            548, 0, 684, 308, 194, 502, 730, 354, 696, 742, 1084, 594, 480, 674,
            1016, 868, 1210
        ],
        [
            776, 684, 0, 992, 878, 502, 274, 810, 468, 742, 400, 1278, 1164,
            1130, 788, 1552, 754
        ],
        [
            696, 308, 992, 0, 114, 650, 878, 502, 844, 890, 1232, 514, 628, 822,
            1164, 560, 1358
        ],
        [
            582, 194, 878, 114, 0, 536, 764, 388, 730, 776, 1118, 400, 514, 708,
            1050, 674, 1244
        ],
        [
            274, 502, 502, 650, 536, 0, 228, 308, 194, 240, 582, 776, 662, 628,
            514, 1050, 708
        ],
        [
            502, 730, 274, 878, 764, 228, 0, 536, 194, 468, 354, 1004, 890, 856,
            514, 1278, 480
        ],
        [
            194, 354, 810, 502, 388, 308, 536, 0, 342, 388, 730, 468, 354, 320,
            662, 742, 856
        ],
        [
            308, 696, 468, 844, 730, 194, 194, 342, 0, 274, 388, 810, 696, 662,
            320, 1084, 514
        ],
        [
            194, 742, 742, 890, 776, 240, 468, 388, 274, 0, 342, 536, 422, 388,
            274, 810, 468
        ],
        [
            536, 1084, 400, 1232, 1118, 582, 354, 730, 388, 342, 0, 878, 764,
            730, 388, 1152, 354
        ],
        [
            502, 594, 1278, 514, 400, 776, 1004, 468, 810, 536, 878, 0, 114,
            308, 650, 274, 844
        ],
        [
            388, 480, 1164, 628, 514, 662, 890, 354, 696, 422, 764, 114, 0, 194,
            536, 388, 730
        ],
        [
            354, 674, 1130, 822, 708, 628, 856, 320, 662, 388, 730, 308, 194, 0,
            342, 422, 536
        ],
        [
            468, 1016, 788, 1164, 1050, 514, 514, 662, 320, 274, 388, 650, 536,
            342, 0, 764, 194
        ],
        [
            776, 868, 1552, 560, 674, 1050, 1278, 742, 1084, 810, 1152, 274,
            388, 422, 764, 0, 798
        ],
        [
            662, 1210, 754, 1358, 1244, 708, 480, 856, 514, 468, 354, 844, 730,
            536, 194, 798, 0
        ],
    ]
    data['num_vehiculos'] = 4
    data['deposito'] = 0
    return data


def print_solution(data, manager, routing, solution):
    """Imprime la solución sobre la consola"""
    max_route_distance = 0
    for vehicle_id in range(data['num_vehiculos']):
        index = routing.Start(vehicle_id)
        plan_output = 'Ruta para el vehículo {}:\n'.format(vehicle_id)
        route_distance = 0
        while not routing.IsEnd(index):
            plan_output += ' {} -> '.format(manager.IndexToNode(index))
            previous_index = index
            index = solution.Value(routing.NextVar(index))
            route_distance += routing.GetArcCostForVehicle(
                previous_index, index, vehicle_id)
        plan_output += '{}\n'.format(manager.IndexToNode(index))
        plan_output += 'Distancia de la ruta: {}m\n'.format(route_distance)
        print(plan_output)
        max_route_distance += route_distance
        max_route_distance = max(route_distance, max_route_distance)
    print('Distancia total de todas las rutas: {}m'.format(max_route_distance))



def main():
    """Punto de entrada del programa"""
    # Invocar la data de entrada.
    data = create_data_model()

    # Crea el administrador del índice de rutas.
    manager = pywrapcp.RoutingIndexManager(len(data['matriz_distancias']),
                                           data['num_vehiculos'], data['deposito'])

    # Crea el modelo de enrutamiento.
    routing = pywrapcp.RoutingModel(manager)


    # Crea y registra una devolución de llamada de distancia.
    def distance_callback(from_index, to_index):
        """Retorna la distancia entre dos nodos."""
        # Convierte desde la variable de ruta Index hasta la matriz de distancia NodeIndex.
        from_node = manager.IndexToNode(from_index)
        to_node = manager.IndexToNode(to_index)
        return data['matriz_distancias'][from_node][to_node]

    transit_callback_index = routing.RegisterTransitCallback(distance_callback)

    # Define el costo de cada arco.
    routing.SetArcCostEvaluatorOfAllVehicles(transit_callback_index)

    # Adhiere la dimensión de distancia.
    dimension_name = 'Distancia'
    routing.AddDimension(
        transit_callback_index,
        0,  # Sin holgura
        3000,  # Distancia máxima de viaje del vehículo
        True,  # Iniciar el acumulador en cero
        dimension_name)
    distance_dimension = routing.GetDimensionOrDie(dimension_name)
    distance_dimension.SetGlobalSpanCostCoefficient(100)

    # Configurar los parámetros de búsqueda.
    search_parameters = pywrapcp.DefaultRoutingSearchParameters()
    search_parameters.first_solution_strategy = (
        routing_enums_pb2.FirstSolutionStrategy.PATH_CHEAPEST_ARC)

    # Solucionador del problema.
    solution = routing.SolveWithParameters(search_parameters)

    # Imprimir la solución en la consola.
    if solution:
        print_solution(data, manager, routing, solution)
    else:
        print('No se encuentra solución !')


if __name__ == '__main__':
    main()

Al ejecutar nuestro desarrollo en Colaboratory, tenemos:

El siguiente diagrama muestra las rutas asignadas:

¿Qué pasaría si se dispone de un vehículo menos?

Las bondades de la programación basada en restricciones nos permiten efectuar este tipo de modificaciones con suma facilidad. Así entonces, modificamos la cantidad de vehículos en los datos de entrada para evidenciar los resultados:

Los resultados evidencian que, de acuerdo a las condiciones del ejercicio, disponer de un vehículo menos en la flota de transporte, representaría una menor distancia total recorrida. ¿Cómo explicamos este fenómeno? Pues bien, el solucionador con las condiciones actuales, determina que los clientes que deberían ser visitados por el cuarto vehículo se distribuyan en los vehículos restantes; esto implica que por lo menos, un vehículo no tendrá que desplazarse desde y hacia el depósito, lo cual puede incidir en la distancia total recorrida.

Ahora bien, en la práctica los vehículos presentan una capacidad limitada, ya sea por volumen, peso, tiempo, combustible, entre otros, lo cual suele restringir aún más el modelo de transporte. Es muy probable que en la práctica no fuese posible reasignar los clientes desatendidos ante la disponibilidad de un vehículo menos en la flota de transporte.

El modelo de problema de enrutamiento de vehículos simple (VRP) y el script del solucionador quedaron desarrollados en un lenguaje de programación estándar y ampliamente utilizado. Desde luego, las posibilidades de integrar datos de entrada y procesar los datos de salidas son interesantes. Por ejemplo, es posible desarrollar un script mediante el cual el código ya desarrollado tome los datos de entrada desde un archivo de Excel, o desde un servidor externo.

También, es posible desarrollar una interfaz amigable desde la cual se ingrese la información; o vincular los datos de salida con algún modelo o documento determinado.

En próximos artículos abordaremos las distintas variaciones del modelo general de enrutamiento de transporte, como es el caso de los CVRP, VRPTW y muchos más, como por ejemplo, aplicaciones desde las cuales se integre Google Maps a un modelo de enrutamiento.

La entrada Problema de Enrutamiento de Vehículos (VRP) con Google OR-Tools se publicó primero en Ingenieria Industrial Online.

En artículos anteriores hemos mencionado la diferencia existente entre programación lineal (PL) y programación lineal entera (PLE). Recordamos entonces que, cuando un modelo presenta todas sus variables enteras, se denomina puro. En caso contrario, cuando utiliza una combinación de variables enteras y continuas, se denomina mixto, constituyendo un modelo de programación lineal mixta.

En materia de optimización lineal, la programación lineal mixta, lógicamente, aborda la mayor cantidad de casos de aplicación práctica. En la medida en que se consideren la mayor cantidad de variables que representen mediante un modelo de optimización, la realidad; es potencialmente adecuado, hacer uso de modelos de programación mixta.

Por ejemplo, pensemos en la producción de televisores, es posible que en un modelo lineal queramos representar por medio de una variable entera, la cantidad de unidades producidas; ahora bien, también es posible que queramos representar por medio de una variable continua, el tiempo empleado en la fabricación. En este escenario, requerimos de programación lineal mixta.

El objetivo de este artículo consiste en utilizar las librerías del software Google OR-Tools para abordar problemas de programación lineal mixta (optimización lineal mixta). 

OR-Tools proporciona una herramienta principal para resolver este tipo de problemas de optimización:

El problema

En el artículo de introducción (programación lineal), abordamos un caso descrito en el libro Applied Mathematical Programming, de Bradley, Hax, and Magnanti (Addison-Wesley, 1977), del MIT (Cápitulo 2 página 50). Con fines prácticos, hemos adaptado dicho problema, incorporando nuevas restricciones y modificando algunos datos del modelo original, con el propósito de evidenciar la diferencia en los resultados obtenidos por medio del uso de variables continuas, enteras y mixtas.

El propietario de una tienda que produce remolques para automóviles desea determinar la mejor combinación para sus tres productos: remolques de plataforma plana, remolques económicos y remolques de lujo. Su taller se limita a trabajar 24 días al mes en el trabajo de los metales y 60 días al mes en el trabajo de la madera para estos productos.

Existe un contrato vigente, mediante el cual, el propietario deberá entregar como mínimo 4 remolques tipo económico cada mes.

La siguiente tabla indica los datos de producción de los remolques.

Modelamiento del problema

Sean las variables de decisión del problema:

x₀ = Número de remolques de plataforma plana producidos por mes

x₁ = Número de remolques económicos producidos por mes

x₂ = Número de remolques de lujo producidos por mes

Suponiendo que los costos de la capacidad de trabajo en metal y madera sean fijos, el problema se convierte en un problema de maximización:

Zmax = 6x₀ + 14x₁ + 13x₂

Sujeto a las siguientes restricciones de capacidad:

0,6x₀ + 2x₁ + x₂ <= 24,

x₀ + 2x₁ + 4x₂ <= 60,

Sujeto a la siguiente restricción de demanda mínima (contrato)

x₁ >= 4

Sujeto a las siguientes restricciones de no-negatividad:

x₀ >= 0,

x₁ >= 0,

x₂ >= 0,

Podemos, del mismo modo, establecer un par de variables que correspondan a las horas ociosas para las dos tareas establecidas (metal y madera):

x₃ = Número de horas ociosas en el trabajo en metal al mes,

x₄ = Número de horas ociosas en el trabajo en madera al mes,

Reescribimos las restricciones (adicionando las variables de horas ociosas). Podemos observar que las inecuaciones ahora serán igualdades, para que de esta forma ahora podamos tener información relacionada a los recursos. En otras palabras, lo que se utiliza (horas productivas) + lo que sobre (horas ociosas) = tiempo disponible:

0,6x₀ + 2x₁ + x₂ + x₃ = 24,

x₀ + 2x₁ + 4x₂ + x₄ = 60,

x₀ >= 0,

x₁ >= 0,

x₂ >= 0,

x₃ >= 0,

x₄ >= 0,

Así entonces, tenemos el problema completamente modelado.

Resolución del modelo mediante Google OR-Tools

De acuerdo a lo mencionado en el artículo de introducción a Google OR-Tools, esta herramienta soporta múltiples lenguajes de programación, en esta ocasión, haremos uso del lenguaje de programación Python.

Paso 1: Importar la librería

El siguiente fragmento de código importa las librerías necesarias:

# Importar la librería de Google OR-Tools
from ortools.linear_solver import pywraplp

Paso 2: Declarar el solucionador

El siguiente fragmento de código declara el solucionador SCIP (Solving Constraint Integer Programs), un solucionador de código abierto disponible que permite resolver problemas lineales mixtos (Google OR-Tools posee múltiples solucionadores):

solver = pywraplp.Solver.CreateSolver('SCIP')

Paso 3: Crear las variables del modelo

El siguiente fragmento de código permite crear las variables del modelo. La sintaxis permite declarar la naturaleza de cada una de las variables y el rango de valores permitidos (restricciones de no-negatividad).

    x0 = solver.IntVar(0, solver.infinity(), 'x0')
    x1 = solver.IntVar(0, solver.infinity(), 'x1')
    x2 = solver.IntVar(0, solver.infinity(), 'x2')
    x3 = solver.NumVar(0, solver.infinity(), 'x3')
    x4 = solver.NumVar(0, solver.infinity(), 'x4')

A partir de la declaración de estas variables, el modelo corresponde a un problema de programación lineal mixta.

Paso 4: Definir las restricciones del modelo

El siguiente fragmento de código define las restricciones del modelo:

    # Restricción 0: 0.6x0 + 2x1 + x2 + x3 = 24. (horas metales)
    solver.Add(0.6 * x0 + 2 * x1 + x2 + x3 == 24.0)

    # Restricción 1: x0 + 2x1 + 4x2 + x4 = 60. (horas madera)
    solver.Add(x0 + 2 * x1 + 4 *x2 + x4 == 60.0)

    # Restricción 3: x1 >= 4. (demanda mínima)
    solver.Add(x1 >= 4.0)

Paso 5: Definir la función objetivo del modelo

El siguiente fragmento de código define la función objetivo del modelo:

    # Función objetivo (max): 6x0 + 14x1 + 13x2
    solver.Maximize(6 * x0 + 14 * x1 + 13 * x2)

Paso 6: Invocar el solucionador

El siguiente fragmento de código sirve para invocar el solucionador del modelo:

status = solver.Solve()

Paso 7: Definir las salidas del solucionador

    if status == pywraplp.Solver.OPTIMAL:
        print('Solución:')
        print('Valor objetivo =', solver.Objective().Value())
        print('Número de remolques de plataforma plana producidos por mes =', x0.solution_value())
        print('Número de remolques económicos producidos por mes =', x1.solution_value())
        print('Número de remolques de lujo producidos por mes =', x2.solution_value())
        print('Número de horas ociosas en el trabajo en metal al mes =', x3.solution_value())
        print('Número de horas ociosas en el trabajo en madera al mes =', x4.solution_value())
    else:
      if status == solver.FEASIBLE:
        print('Se encontró una solución potencialmente subóptima.')
      else:
        print('El problema no tiene solución óptima.')

    # Información avanzada del solucionador

    print('\nUso avanzado:')
    print('Problema resuelto en %f milisegundos' % solver.wall_time())
    print('Problema resuelto en %d iteraciones' % solver.iterations())

Es posible que el desarrollo de los siete pasos anteriores demande algún grado de complejidad subyacente del uso de un lenguaje de programación; sin embargo, es preciso mencionar que, el modelo anterior queda perfectamente configurado, y puede replicarse con modificaciones menores en múltiples problemas de optimización lineal.

¿Cómo ejecutar el modelo?

Alternativa 1, ejecución en nuestro equipo:

Lo primero que debemos considerar, en el caso de que queramos ejecutar este código en nuestro equipo, es que es preciso contar con la instalación de Python en nuestro equipo de cómputo, así mismo debemos contar con la última versión del comando pip y por supuesto, el software OR-Tools. Una guía detallada de la instalación de estos requerimientos la podrás encontrar en el siguiente enlace:

Instalación de OR-Tools para Python

Ahora, lo recomendable es trabajar con algún editor de código práctico (IDE), por ejemplo: Sublime Text, o Spyder (Una herramienta más completa y por ende más robusta y pesada).

Alternativa 2, ejecución en un entorno virtual (Recomendado):

Podemos utilizar del mismo modo, un entorno virtual. En este caso recomendamos el uso de Colaboratory de Google, un entorno que cuenta con todas las herramientas necesarias para nuestros desarrollos. No tendremos que instalar nada en nuestro equipo, y aprovecharemos la potencia de las máquinas de Google.

El código completo de nuestro desarrollo lo presentamos a continuación. También puedes ver el cuaderno de este módulo en nuestro Colaboratory: Programación Lineal Mixta.

#Adaptado de: Bradley, Hax, and Magnanti, 'Applied Mathematical Programming', Chapter 2
#Nuevo caso y modelo: Salazar, ingenieriaindustrialonline.com (Programación lineal mixta)

# Importar la librería de Google OR-Tools
from ortools.linear_solver import pywraplp

def LinearProgrammingExample():
    solver = pywraplp.Solver.CreateSolver('SCIP')

    x0 = solver.IntVar(0, solver.infinity(), 'x0')
    x1 = solver.IntVar(0, solver.infinity(), 'x1')
    x2 = solver.IntVar(0, solver.infinity(), 'x2')
    x3 = solver.NumVar(0, solver.infinity(), 'x3')
    x4 = solver.NumVar(0, solver.infinity(), 'x4')

    print('Número de variables =', solver.NumVariables())

    # Restricción 0: 0.5x0 + 2x1 + x2 + x3 = 24.
    solver.Add(0.6 * x0 + 2 * x1 + x2 + x3 == 24.0)

    # Restricción 1: x0 + 2x1 + 4x2 + x4 = 60.
    solver.Add(x0 + 2 * x1 + 4 *x2 + x4 == 60.0)

    # Restricción 3: x1 >= 4.
    solver.Add(x1 >= 4.0)

    print('Número de restricciones =', solver.NumConstraints())

    # Función objetivo (max): 6x0 + 14x1 + 13x2
    solver.Maximize(6 * x0 + 14 * x1 + 13 * x2)

    # Declarar el solucionador.
    status = solver.Solve()

    # Declarar las salidas del solucionador
    if status == pywraplp.Solver.OPTIMAL:
        print('Solución:')
        print('Valor objetivo =', solver.Objective().Value())
        print('Número de remolques de plataforma plana producidos por mes =', x0.solution_value())
        print('Número de remolques económicos producidos por mes =', x1.solution_value())
        print('Número de remolques de lujo producidos por mes =', x2.solution_value())
        print('Número de horas ociosas en el trabajo en metal al mes =', x3.solution_value())
        print('Número de horas ociosas en el trabajo en madera al mes =', x4.solution_value())
    else:
      if status == solver.FEASIBLE:
        print('Se encontró una solución potencialmente subóptima.')
      else:
        print('El problema no tiene solución óptima.')

    # Información avanzada del solucionador

    print('\nUso avanzado:')
    print('Problema resuelto en %f milisegundos' % solver.wall_time())
    print('Problema resuelto en %d iteraciones' % solver.iterations())

LinearProgrammingExample()

Al ejecutar nuestro desarrollo en Colaboratory, tenemos:

Hemos modificado la naturaleza de las variables con el objetivo de mostrar los resultados a partir de tres escenarios: variables mixtas, enteras y continuas:

El anterior, es un problema lineal que representa un caso sencillo, sin embargo, los resultados obtenidos presentan variaciones menores de acuerdo a la naturaleza de las variables consideradas.

Sin embargo, en modelos robustos, estas variaciones pueden ser considerables y determinantes. Por tal razón, la programación lineal mixta ofrece la posibilidad de modelar variables cuya naturaleza refleje con precisión la realidad que se pretende representar.

Ahora bien, el modelo de optimización lineal mixta y el script del solucionador quedaron desarrollados en un lenguaje de programación estándar y ampliamente utilizado. Desde luego, las posibilidades de integrar datos de entrada y procesar los datos de salidas son interesantes. Por ejemplo, es posible desarrollar un script mediante el cual el código ya desarrollado tome los datos de entrada desde un archivo de Excel, o desde un servidor externo.

También, es posible desarrollar una interfaz amigable desde la cual se ingrese la información; o vincular los datos de salida con algún modelo o documento determinado.

La entrada Programación lineal mixta con Google OR-Tools se publicó primero en Ingenieria Industrial Online.

Ahora bien, existen innumerables casos de aplicación práctica en los cuales las soluciones fraccionarias no se ajustan a la realidad y debemos considerar el uso de variables enteras, así entonces, tendremos un modelo de programación lineal entera (PLE). Por ejemplo, pensemos en la producción de lápices, es posible que queramos determinar la producción en términos de unidades de producto, no tanto así de fracciones.

Es preciso mencionar que, cuando un modelo presenta todas sus variables enteras, se denomina puro. En caso contrario, cuando utiliza una combinación de variables enteras y continuas, se denomina mixto, y se abordará mediante programación lineal mixta.

Ciertamente, en la práctica, los solucionadores de modelos de optimización han abordado la naturaleza de las variables brindando relativa facilidad; es decir, podemos cambiar el tipo de variable entre continua y entera de una manera muy sencilla, sin que esto afecte considerablemente el modelo.

El objetivo de este artículo consiste en utilizar las librerías del software Google OR-Tools para abordar problemas de programación lineal entera (optimización lineal entera). 

OR-Tools proporciona dos herramientas principales para resolver este tipo de problemas de optimización:

El problema

Con el propósito de evaluar los resultados obtenidos a través del tratamiento de un problema técnicamente formulado y abordado, utilizaremos un caso descrito en el libro Investigación de Operaciones (9na edición), de Hamdy A. Taha (University of Arkansas, Fayetteville), (Conjunto de problemas 9.1A – Problema 3).

Suponga que tiene 7 botellas de vino llenas, 7 a la mitad y 7 vacías. Le gustaría dividir las 21 botellas entre tres individuos de modo que cada uno reciba exactamente 7. Además, cada individuo debe recibir la misma cantidad de vino. Exprese el problema como restricciones del PLE, y halle una solución. TAHA

Modelamiento del problema

El problema plantea un caso de asignación, en el cual debemos determinar la cantidad de botellas de cada tipo (llenas, medias y vacías), asignadas a cada uno de un conjunto de 3 individuos (1, 2 y 3). Por lo tanto, las variables de decisión se definirán de la siguiente manera:

x_ij = Cantidad de botellas de tipo i asignadas al individuo j

i = {0 = Llena; 1 = Media; 2 = Vacía}

j = {0 = Individuo 1; 1 = individuo 2; 2 = individuo 3}

Donde todos los x_ij son enteros no negativos. (Ya que queremos determinar cantidad de botellas, es decir que las variables de decisión no están formuladas en función del contenido).

Este modelo puede abordar las restricciones de volumen de líquido (contenido igual para todos los individuos), por medio de coeficientes de contenido, o, definiendo que el contenido corresponde a una variable, la cual debe declararse de igual forma. Ya que el contenido que se encuentra en una botella llena, por ejemplo, es el mismo sea asignado a cualquier individuo, la manera más simple de abordarlo es por medio de coeficientes.

En la formulación del modelo de Python lo abordaremos por medio de variables con fines prácticos.

La función objetivo es artificial, dado que el modelo no pretende maximizar o minimizar algún factor. Por lo tanto podemos utilizar cualquier coeficiente, por ejemplo cero.

Zmax = 0x₀₀ + 0x₀₁  +  0x₀₂  + 0x₁₀ + 0x₁₁  +  0x₁₂  + 0x₂₀ + 0x₂₁  +  0x₂₂  

Sujeto a las siguientes restricciones:

x₀₀ + x₀₁  +  x₀₂  = 7

x₁₀ + x₁₁  +  x₁₂  = 7

x₂₀ + x₂₁  +  x₂₂  = 7

Las anteriores restricciones limitan la disponibilidad de botellas de cada tipo. Es decir, por ejemplo, la sumatoria de botellas llenas enviadas a los individuos 1, 2 y 3 deberá ser igual a 7; así mismo para el restante tipo de botellas.

x₀₀ + x₁₀  +  x₂₀  = 7

x₀₁ + x₁₁  +  x₂₁  = 7

x₀₂ + x₁₂  +  x₂₂  = 7

Las anteriores restricciones indican que cada individuo deberá recibir exactamente 7 botellas sin importar el tipo de las mismas. Es decir, por ejemplo, la sumatoria de botellas tipo 0, 1 y 2 enviadas al individuo 0, deberá ser igual a 7; así mismo para los individuos restantes.

Respecto a las restricciones de contenido, que limitarán el modelo para que cada individuo reciba la misma cantidad de vino, podemos realizar una operación previa, en la cual determinemos la cantidad total de vino disponible.

Vino disponible = 1( 7 botellas llenas) + 0,5( 7 botellas medias)

Vino disponible = 10,5 

Así entonces, para que a cada individuo le corresponda la misma cantidad de vino en la distribución de botellas, deberá dividirse el vino disponible entre el total de individuos.

Vino para cada individuo = (10,5 / 3) = 3,5

Así entonces, las restricciones de equidad en la distribución (contenido) serán las siguientes:

x₀₀ + 0,5x₁₀   = 3,5

x₀₁ + 0,5x₁₁  = 3,5

x₀₂ + 0,5x₁₂  = 3,5

Así entonces, tenemos el problema completamente modelado.

Resolución del modelo mediante Google OR-Tools

De acuerdo a lo mencionado en el artículo de introducción a Google OR-Tools, esta herramienta soporta múltiples lenguajes de programación, en esta ocasión, haremos uso del lenguaje de programación Python.

Paso 1: Importar la librería

El siguiente fragmento de código importa las librerías necesarias:

# Importar la librería de Google OR-Tools
from ortools.linear_solver import pywraplp

Paso 2: Declarar el solucionador

El siguiente fragmento de código declara el solucionador SCIP (Solving Constraint Integer Programs), un solucionador de código abierto disponible (Google OR-Tools posee múltiples solucionadores):

solver = pywraplp.Solver.CreateSolver('SCIP')

Paso 3: Crear la data del modelo

El siguiente fragmento de código crea la data del modelo. En este caso, la matriz de contenido de las botellas distribuidas a los 3 individuos (matriz 3 x 3).

# Crear la data del modelo de asignación
contenido = [
    [  1,   1,   1],
    [0.5, 0.5, 0.5],
    [  0,   0,   0],
]
num_botellas = len(contenido)
num_individuos = len(contenido[0])

Paso 4: Crear las variables del modelo

El siguiente fragmento crea las variables del modelo mediante un bucle (Hace uso número de botellas y el número de individuos), definiendo las variables x [i, j]. Así mismo, se declara el rango de valores que pueden tomar las variables, del mismo modo su naturaleza: variables enteras (solver.IntVar). Esta declaración sustituye las restricciones de no-negatividad (0, solver.infinity()), es decir, mayores a cero.

  x = {}
  for i in range(num_botellas):
      for j in range(num_individuos):
          x[i, j] = solver.IntVar(0, solver.infinity(), '')

Paso 5: Definir las restricciones del modelo

El siguiente fragmento de código define las restricciones del modelo mediante bucles:

# Restricciones de disponibilidad de botellas de cada tipo = 7
# Para cada i (tipo de botella), suma sus posibles variaciones de j (individuos)
# Por ejemplo, siendo i = 0, sumará X00 + X01 + X02, esta sumatoria
# deberá ser igual a 7 (botellas disponibles de cada tipo)
  for i in range(num_botellas):
      solver.Add(solver.Sum([x[i, j] for j in range(num_individuos)]) == 7)
# Restricciones de cantidad de botellas asignadas a cada individuo
# Para cada j (individuo), suma sus posibles variaciones de i (tipos de botella)
# Por ejemplo, siendo j = 0, sumará X00 + X10 + X20, esta sumatoria
# deberá ser igual a 7 (botellas asignadas a un individuo sin importar el tipo)
  for j in range(num_individuos):
      solver.Add(solver.Sum([x[i, j] for i in range(num_botellas)]) == 7)
# Restricciones de equidad en la distribución (utiliza la matriz de contenido)
# Para cada j (individuo), suma los productos de las posibles
# variaciones de i (tipo de botella) por sus coeficientes de contenido
# Por ejemplo, siendo j = 0 y C[i][j] equivalente al contenido
# de una botella tipo i entregado a un individuo tipo j
# sumará (C00 * X00) + (C10 * X10) + (C20 * X20), los valores de C[i][j]
# los tomará de la matriz de contenido. Esta sumatoria
# deberá ser igual a 3,5 (distribución equitativa por individuo)
  for j in range(num_individuos):
      solver.Add(solver.Sum([contenido[i][j] * x[i, j] for i in range(num_botellas)]) == 3.5)

Paso 6: Definir la función objetivo del modelo

El siguiente fragmento de código define la función objetivo del modelo. Consideremos que no es importante el criterio de la función, tampoco existe un costo asociado a las variables de decisión. Sin embargo, formularemos una función objetivo basada en bucles (utilizando la matriz de contenido), la cual quizá puede ser de utilidad en modelamientos futuros. Los coeficientes de las variables de decisión se basarán en la matriz de contenido (contenido[i][j]).

# Función objetivo
  objective_terms = []
  for i in range(num_botellas):
      for j in range(num_individuos):
          objective_terms.append(contenido[i][j] * x[i, j])
  solver.Maximize(solver.Sum(objective_terms))

Paso 7: Invocar el solucionador

El siguiente fragmento de código sirve para invocar el solucionador del modelo:

status = solver.Solve()

Paso 8: Definir las salidas del solucionador

# Configura los parámetros de impresión, las salidas del modelo
botellas_ind0 = 0
botellas_ind1 = 0
botellas_ind2 = 0  
if status == pywraplp.Solver.OPTIMAL or status == pywraplp.Solver.FEASIBLE:
      print('Puntaje total = ', solver.Objective().Value(), '\n')
      for i in range(num_botellas):
          for j in range(num_individuos):
              # Test if x[i,j] is 1 (con tolerancia de punto flotante)
              if x[i, j].solution_value() > 0.5:
                print('Botellas del tipo %d asignadas al individuo %d.  Cantidad = %d' %
                          (i, j, x[i, j].solution_value()))
      for i in range(num_botellas):
          botellas_ind0 = x[i, 0].solution_value() + botellas_ind0
      for i in range(num_botellas):
          botellas_ind1 = x[i, 1].solution_value() + botellas_ind1
      for i in range(num_botellas):
          botellas_ind2 = x[i, 2].solution_value() + botellas_ind2
  print('Número de botellas asignadas al individuo 0:', botellas_ind0)
  print('Número de botellas asignadas al individuo 1:', botellas_ind1)
  print('Número de botellas asignadas al individuo 2:', botellas_ind2)

En este caso, configuramos las salidas del solucionador. Nos deberá indicar la cantidad de botellas de cada tipo que deberán ser distribuidas a cada individuo. El valor de la función objetivo (contenido total), nos servirá para verificar la solución (10,5).

Como información adicional, hemos configurado algunas impresiones (arbitrarias) para que nos detalle la cantidad de botellas que le deberán ser asignadas a cada individuo.

Es posible que el desarrollo de los ocho pasos anteriores demande algún grado de complejidad subyacente del uso de un lenguaje de programación; sin embargo, es preciso mencionar que, el modelo anterior queda perfectamente configurado, y puede replicarse con modificaciones menores en múltiples problemas de optimización lineal.

¿Cómo ejecutar el modelo?

Alternativa 1, ejecución en nuestro equipo:

Lo primero que debemos considerar, en el caso de que queramos ejecutar este código en nuestro equipo, es que es preciso contar con la instalación de Python en nuestro equipo de cómputo, así mismo debemos contar con la última versión del comando pip y por supuesto, el software OR-Tools. Una guía detallada de la instalación de estos requerimientos la podrás encontrar en el siguiente enlace:

Instalación de OR-Tools para Python

Ahora, lo recomendable es trabajar con algún editor de código práctico (IDE), por ejemplo: Sublime Text, o Spyder (Una herramienta más completa y por ende más robusta y pesada).

Alternativa 2, ejecución en un entorno virtual (Recomendado):

Podemos utilizar del mismo modo, un entorno virtual. En este caso recomendamos el uso de Colaboratory de Google, un entorno que cuenta con todas las herramientas necesarias para nuestros desarrollos. No tendremos que instalar nada en nuestro equipo, y aprovecharemos la potencia de las máquinas de Google.

El código completo de nuestro desarrollo lo presentamos a continuación. También puedes ver el cuaderno de este módulo en nuestro Colaboratory: Programación Lineal Entera.

# Caso: Investigación de Operaciones (9na edición), de Hamdy A. Taha 
# (University of Arkansas, Fayetteville), (Conjunto de problemas 9.1A - Problema 3)
# Modelo: MSc. Ing. Bryan Salazar López

# Importar la librería de Google OR-Tools
from ortools.linear_solver import pywraplp

# Declarar el solucionador que abordará el modelo
solver = pywraplp.Solver.CreateSolver('SCIP')

# Data del modelo

contenido = [ 
    [  1,   1,   1], 
    [0.5, 0.5, 0.5],
    [  0,   0,   0],      
] 
num_botellas = len(contenido)
num_individuos = len(contenido[0])


def main():

# Variables del modelo
  x = {}
  for i in range(num_botellas):
      for j in range(num_individuos):
          x[i, j] = solver.IntVar(0, solver.infinity(), '')

  # Las sumatoria de botellas de cada tipo es igual a 7
  # Cada curso podrá tener un máximo de n estudiantes
  for i in range(num_botellas):
      solver.Add(solver.Sum([x[i, j] for j in range(num_individuos)]) == 7)
  for j in range(num_individuos):
      solver.Add(solver.Sum([x[i, j] for i in range(num_botellas)]) == 7)
  for j in range(num_individuos):
      solver.Add(solver.Sum([contenido[i][j] * x[i, j] for i in range(num_botellas)]) == 3.5)



  # Función objetivo con criterio de optimización: minimizar
  objective_terms = []
  for i in range(num_botellas):
      for j in range(num_individuos):
          objective_terms.append(contenido[i][j] * x[i, j])
  solver.Maximize(solver.Sum(objective_terms))

  # Invoca el solucionador
  status = solver.Solve()

  # Configura los parámetros de impresión, las salidas del modelo
  botellas_ind0 = 0
  botellas_ind1 = 0
  botellas_ind2 = 0
  if status == pywraplp.Solver.OPTIMAL or status == pywraplp.Solver.FEASIBLE:
      print('Contenido total = ', solver.Objective().Value(), '\n')
      for i in range(num_botellas):
          for j in range(num_individuos):
              # Test if x[i,j] is 1 (con tolerancia de punto flotante)
              if x[i, j].solution_value() > 0.5:
                print('Botellas del tipo %d asignadas al individuo %d.  Cantidad = %d' %
                          (i, j, x[i, j].solution_value()))
      for i in range(num_botellas):
          botellas_ind0 = x[i, 0].solution_value() + botellas_ind0
      for i in range(num_botellas):
          botellas_ind1 = x[i, 1].solution_value() + botellas_ind1
      for i in range(num_botellas):
          botellas_ind2 = x[i, 2].solution_value() + botellas_ind2
  print('Número de botellas asignadas al individuo 0:', botellas_ind0)
  print('Número de botellas asignadas al individuo 1:', botellas_ind1)
  print('Número de botellas asignadas al individuo 2:', botellas_ind2)



if __name__ == '__main__':
  main()

Al ejecutar nuestro desarrollo en Colaboratory, tenemos:

De esta manera se ha hallado una solución óptima al modelo formulado. Esta misma respuesta se encuentra consignada en el libro Investigación de Operaciones de TAHA:

Ahora bien, el modelo de optimización lineal y el script del solucionador quedaron desarrollados en un lenguaje de programación estándar y ampliamente utilizado. Desde luego, las posibilidades de integrar datos de entrada y procesar los datos de salidas son interesantes. Por ejemplo, es posible desarrollar un script mediante el cual el código ya desarrollado tome los datos de entrada desde un archivo de Excel, o desde un servidor externo.

También, es posible desarrollar una interfaz amigable desde la cual se ingrese la información; o vincular los datos de salida con algún modelo o documento determinado.

En próximos artículos abordaremos algunos modelos que incorporen la combinación de tipos de variables (continuas y enteras): programación lineal mixta.

La entrada Programación lineal entera con Google OR-Tools se publicó primero en Ingenieria Industrial Online.

Un factor importante al abordar optimización lineal es la eficiencia del modelamiento. En el artículo introductorio a problemas de programación lineal mediante Google OR-Tools, abordamos con fines prácticos, un ejemplo con pocas variables y restricciones.

Cuando el número de variables y restricciones aumenta, se hace necesario contar con herramientas que permitan modelar eficientemente bajo estas condiciones. Una herramienta importante, considerando el modelamiento en lenguajes de programación, consiste en el uso de bucles sobre matrices, que permitan automatizar la definición de variables y restricciones; es decir, pasar de la definición individual de variables a una definición automatizada apoyándose en el uso de matrices.

El objetivo de este artículo consiste en utilizar las librerías del software Google OR-Tools para abordar problemas de programación lineal (optimización lineal) usando matrices para la definición de las variables y restricciones del modelo. 

El problema

En el artículo de introducción, abordamos un caso descrito en el libro Applied Mathematical Programming, de Bradley, Hax, and Magnanti (Addison-Wesley, 1977), del MIT (Cápitulo 2 página 50). Con fines prácticos, hemos adaptado dicho modelo, incorporando nuevos procesos al sistema, que impliquen nuevas variables y restricciones:

El propietario de una tienda que produce remolques para automóviles desea determinar la mejor combinación para sus tres productos: remolques de plataforma plana, remolques económicos y remolques de lujo. Su taller se limita a trabajar 24 días al mes en el trabajo de los metales, 60 días al mes en el trabajo de la madera, 40 días al mes en el trabajo de pintura, 50 días al mes en el trabajo de montaje y 45 días al mes en el trabajo de acabados para estos productos. La siguiente tabla indica los datos de producción de los remolques.

Tabla 1

Podemos observar, que respecto al problema original, se han incorporado tres procesos más, lo cual implica la adición de nuevas variables y nuevas restricciones.

Modelamiento del problema

Sean las variables de decisión del problema:

x₀ = Número de remolques de plataforma plana producidos por mes

x₁ = Número de remolques económicos producidos por mes

x₂ = Número de remolques de lujo producidos por mes

Suponiendo que los costos de la capacidad de trabajo en metal, madera, pintura, montaje y acabados sean fijos, el problema se convierte en un problema de maximización:

Zmax = 6x₀ + 14x₁ + 13x₂

Sujeto a las siguientes restricciones de capacidad:

0,5x₀ + 2x₁ + x₂ <= 24,

x₀ + 2x₁ + 4x₂ <= 60,

1,5x₀ + 0,5x₁ + 2x₂ <= 40,

1x₀ + 1,5x₁ + 1,5x₂ <= 50,

0,5x₀ + 1x₁ + 1,5x₂ <= 45,

Sujeto a las siguientes restricciones de no-negatividad:

x₀ >= 0,

x₁ >= 0,

x₂ >= 0,

Podemos, del mismo modo, establecer un conjunto de variables que correspondan a las horas ociosas para cada uno de los procesos del sistema (metal, madera, pintura, montaje y acabados):

x₃ = Número de horas ociosas en el trabajo en metal al mes,

x₄ = Número de horas ociosas en el trabajo en madera al mes,

x₅ = Número de horas ociosas en el trabajo en pintura al mes,

x₆ = Número de horas ociosas en el trabajo en montaje al mes,

x₇ = Número de horas ociosas en el trabajo en acabados al mes,

Reescribimos las restricciones (adicionando las variables de horas ociosas). Podemos observar que las inecuaciones ahora serán igualdades, para que de esta forma ahora podamos tener información relacionada a los recursos. En otras palabras, lo que se utiliza (horas productivas) + lo que sobre (horas ociosas) = tiempo disponible:

0,5x₀ + 2x₁ + x₂ + x₃ = 24,

x₀ + 2x₁ + 4x₂ + x₄ = 60,

1,5x₀ + 0,5x₁ + 2x₂ + x₅ = 40,

1x₀ + 1,5x₁ + 1,5x₂ + x₆ = 50,

0,5x₀ + 1x₁ + 1,5x₂ + x₇ = 45,

x₀ >= 0,

x₁ >= 0,

x₂ >= 0,

x₃ >= 0,

x₄ >= 0,

x₅ >= 0,

x₆ >= 0,

x₇ >= 0,

Así entonces, tenemos el problema completamente modelado.

Resolución del modelo mediante Google OR-Tools

Tal como lo hemos mencionado, el objetivo de este artículo es abordar un problema de optimización lineal utilizando matrices para la definición de variables. De tal manera que detallaremos nuevamente cada uno de los pasos utilizados en el modelamiento.

De acuerdo a lo mencionado en el artículo de introducción a Google OR-Tools, esta herramienta soporta múltiples lenguajes de programación, así entonces, haremos uso del lenguaje de programación Python.

Paso 1: Importar la librería

El siguiente fragmento de código importa las librerías necesarias:

# Importar la librería de Google OR-Tools
from ortools.linear_solver import pywraplp

Paso 2: Crear la data del modelo (matrices)

Es recomendable previamente disponer las restricciones por medio de un tabulado que nos permita observar las matrices con claridad. En este caso, la matriz en la cual se relacionan los coeficientes de las restricciones (considerando las variables de horas ociosas), se puede apreciar en la tabla 2. 

Tabla 2

Podemos observar que, en la matriz de entrada de los coeficientes de las restricciones incorporaremos todas las variables, incluso las que no forman parte de la ecuación (incluidas con coeficiente 0), esto para conservar un orden de la matriz.

def create_data_model():
  """Almacena la data de entrada del modelo"""
  data = {}
  data['restriccion_coef'] = [
      [0.5,   2,   1,   1,   0,   0,   0,   0],
      [  1,   2,   4,   0,   1,   0,   0,   0],
      [1.5, 0.5,   2,   0,   0,   1,   0,   0],
      [  1, 1.5, 1.5,   0,   0,   0,   1,   0],
      [0.5,   1, 1.5,   0,   0,   0,   0,   1],
  ]
  data['limites'] = [24, 60, 40, 50, 45]
  data['obj_coef'] = [6, 14, 13, 0, 0, 0, 0, 0]
  data['num_vars'] = 8
  data['num_restricciones'] = 5
  return data

Paso 3: Declarar el solucionador y crear las variables del modelo

Haciendo uso de las matrices definidas previamente, el siguiente fragmento de código automatiza la creación de las variables por medio de un bucle:

def main():
  data = create_data_model()
  # Declara el solucionador GLOP
  solver = pywraplp.Solver.CreateSolver('GLOP')
  # Crea las variables por medio de un bucle tomando las matrices (data).
  infinity = solver.infinity()
  x = {}
  for j in range(data['num_vars']):
    x[j] = solver.IntVar(0, infinity, 'x[%i]' % j)
  print('Número de variables =', solver.NumVariables())

Por medio del fragmento anterior se definen cada una de las variables (enteras), y se establecen los límites de cada una de ellas (0, infinity = desde cero hasta el infinito), es decir, hace las veces de restricciones de no-negatividad.

Paso 4: Definir las restricciones del modelo

Haciendo uso de las matrices definidas previamente, el siguiente fragmento de código automatiza la definición de las restricciones por medio de un bucle:

  for i in range(data['num_restricciones']):
    constraint = solver.RowConstraint(data['limites'][i], data['limites'][i], '')
    for j in range(data['num_vars']):
      constraint.SetCoefficient(x[j], data['restriccion_coef'][i][j])
  print('Número de restricciones =', solver.NumConstraints())

Usando el método RowConstraint creamos las restricciones de manera automatizada para el modelo. Los signos de las inecuaciones o igualdades (límites) se expresan dentro del método. Citaremos algunos ejemplos:

La expresión data[‘limites][i] toma el valor correspondiente al límite asociado a la fila de cada restricción (fila i) desde la matriz límites. Así entonces, y tomando como ejemplo la primera restricción (fila 0, es decir i =0), lo que expresaría el código en cada caso sería:

Paso 5: Definir la función objetivo del modelo

Haciendo uso de las matrices definidas previamente, el siguiente fragmento de código automatiza la definición de la función objetivo por medio de un bucle (maximizar):

  objective = solver.Objective()
  for j in range(data['num_vars']):
    objective.SetCoefficient(x[j], data['obj_coef'][j])
  objective.SetMaximization()

Paso 6: Invocar el solucionador

El siguiente fragmento de código sirve para invocar el solucionador del modelo:

status = solver.Solve()

Paso 7: Definir las salidas del solucionador

De acuerdo a los bucles definidos, las variables toman los nombres base siguiendo el formato x[i]; de manera que por medio del siguiente código, renombraremos las variables para una mejor comprensión de las salidas del solucionador.

    print('Valor objetivo =', solver.Objective().Value())
    print('Solución:')
    print('Remolques de plataforma plana producidos por mes =', x[0].solution_value())
    print('Remolques económicos producidos por mes =', x[1].solution_value())
    print('Remolques de lujo producidos por mes =', x[2].solution_value())
    print('Horas ociosas en el trabajo en metal al mes =', x[3].solution_value())
    print('Horas ociosas en el trabajo en madera al mes =', x[4].solution_value())
    print('Horas ociosas en el trabajo en pintura al mes =', x[5].solution_value())
    print('Horas ociosas en el trabajo en montaje al mes =', x[6].solution_value())
    print('Horas ociosas en el trabajo en acabados al mes =', x[7].solution_value())
    print()
    print('Problema resuelto en %f milisegundos' % solver.wall_time())
    print('Problema resuelto en %d iteraciones' % solver.iterations())
    
  else:
    print('El problema no tiene solución óptima.')

Es posible que el desarrollo de los siete pasos anteriores demande algún grado de complejidad subyacente del uso de un lenguaje de programación; sin embargo, es preciso mencionar que, el modelo anterior queda perfectamente configurado, y puede replicarse con modificaciones menores en múltiples problemas de optimización lineal. Ahora bien, haciendo el uso de matrices, se puede mejorar considerablemente la eficiencia del modelamiento.

¿Cómo ejecutar el modelo?

Lo primero que debemos considerar, es que es preciso contar con la instalación de Python en nuestro equipo de cómputo, así mismo debemos contar con la última versión del comando pip y por supuesto, el software OR-Tools. Una guía detallada de la instalación de estos requerimientos la podrás encontrar en el siguiente enlace:

Instalación de OR-Tools para Python

Ahora, lo recomendable es trabajar con algún editor de código práctico, por ejemplo: Sublime Text.

En este caso, haremos uso del editor Sublime Text, al cual llevaremos íntegramente el código completo del programa:

#Caso desde: Bradley, Hax, and Magnanti, 
#'Applied Mathematical Programming', Chapter 2
#Nuevos procesos adicionados por Salazar (2021)

# Importar la librería de Google OR-Tools
from ortools.linear_solver import pywraplp

def create_data_model(): 
  """Almacena la data de entrada del modelo""" 
  data = {} 
  data['restriccion_coef'] = [ 
      [0.5,   2,   1,   1,   0,   0,   0,   0], 
      [  1,   2,   4,   0,   1,   0,   0,   0], 
      [1.5, 0.5,   2,   0,   0,   1,   0,   0], 
      [  1, 1.5, 1.5,   0,   0,   0,   1,   0], 
      [0.5,   1, 1.5,   0,   0,   0,   0,   1],
  ] 
  data['limites'] = [24, 60, 40, 50, 45] 
  data['obj_coef'] = [6, 14, 13, 0, 0, 0, 0, 0] 
  data['num_vars'] = 8 
  data['num_restricciones'] = 5 
  return data

def main():
  data = create_data_model()
  # Declara el solucionador GLOP
  solver = pywraplp.Solver.CreateSolver('GLOP')
  # Crea las variables por medio de un bucle tomando las matrices (data).
  infinity = solver.infinity()
  x = {}
  for j in range(data['num_vars']):
    x[j] = solver.IntVar(0, infinity, 'x[%i]' % j)
  print('Número de variables =', solver.NumVariables())

  # Definir las restricciones por medio de un bucle tomando las matrices (data).
  for i in range(data['num_restricciones']):
    constraint = solver.RowConstraint(data['limites'][i], data['limites'][i], '')
    for j in range(data['num_vars']):
      constraint.SetCoefficient(x[j], data['restriccion_coef'][i][j])
  print('Número de restricciones =', solver.NumConstraints())

  # Define la función objetivo por medio de un bucle tomando las matrices (data).
  objective = solver.Objective()
  for j in range(data['num_vars']):
    objective.SetCoefficient(x[j], data['obj_coef'][j])
  objective.SetMaximization()
  # In Python, you can also set the objective as follows.
  # obj_expr = [data['obj_coeffs'][j] * x[j] for j in range(data['num_vars'])]
  # solver.Maximize(solver.Sum(obj_expr))

  status = solver.Solve()

  if status == pywraplp.Solver.OPTIMAL:
    print('Valor objetivo =', solver.Objective().Value())
    print('Solución:')
    print('Remolques de plataforma plana producidos por mes =', x[0].solution_value())
    print('Remolques económicos producidos por mes =', x[1].solution_value())
    print('Remolques de lujo producidos por mes =', x[2].solution_value())
    print('Horas ociosas en el trabajo en metal al mes =', x[3].solution_value())
    print('Horas ociosas en el trabajo en madera al mes =', x[4].solution_value())
    print('Horas ociosas en el trabajo en pintura al mes =', x[5].solution_value())
    print('Horas ociosas en el trabajo en montaje al mes =', x[6].solution_value())
    print('Horas ociosas en el trabajo en acabados al mes =', x[7].solution_value())
    print()
    print('Problema resuelto en %f milisegundos' % solver.wall_time())
    print('Problema resuelto en %d iteraciones' % solver.iterations())
    
  else:
    print('El problema no tiene solución óptima.')


if __name__ == '__main__':
  main()

Es necesario que el editor esté configurado de acuerdo a la sintaxis de Python y el archivo se guarde como tal, con la extensión .py.

Lo siguiente será ejecutar el código, para eso podemos utilizar la consola del sistema (símbolo del sistema) o CMD. En ella, debemos dirigirnos hacia el directorio en el cual se encuentre nuestro archivo .py y ejecutarlo de la siguiente manera:

python Nombre del archivo.py

En nuestro caso, hemos guardado el modelo como PL_matrix.py, así que de esa manera lo ejecutamos desde la consola del sistema:

Y bien, tenemos la solución a este problema de programación lineal en 5 milisegundos (varía de acuerdo a las especificaciones del equipo) y en 4 iteraciones.

Dada la adición de variables de holgura o exceso, podemos identificar que existen dos restricciones redundantes: Horas montaje y horas de acabados.

Ahora bien, el modelo de optimización lineal y el script del solucionador quedaron desarrollados en un lenguaje de programación estándar y ampliamente utilizado. Desde luego, las posibilidades de integrar datos de entrada y procesar los datos de salidas son interesantes. Por ejemplo, es posible desarrollar un script mediante el cual el código ya desarrollado tome las matrices de entrada desde un archivo de Excel, o desde archivo csv.

Podemos observar que las variables que forman parte de la solución toman valores continuos, y dado el caso práctico, no es ajustado a la realidad mencionar que se producirán 9,99 remolques de lujo. De manera que, en próximos artículos abordaremos la solución de problemas de programación lineal entera y mixta (optimización lineal entera y mixta MIP), ya que Google OR-Tools cuenta con un solucionador específico para abordar este tipo de modelos.

La entrada Uso de matrices para definir un modelo de programación lineal en Google OR-Tools se publicó primero en Ingenieria Industrial Online.

Tal como lo hemos mencionado en artículos anteriores (programación lineal); la optimización lineal, es el nombre con el que se conoce al cálculo de la mejor solución a un problema modelado como un conjunto de restricciones lineales y una función objetivo también lineal.

El objetivo de este artículo consiste en utilizar las librerías del software Google OR-Tools para abordar problemas de programación lineal (optimización lineal). 

El problema

Con el propósito de evaluar los resultados obtenidos a través del tratamiento de un problema técnicamente formulado y abordado, utilizaremos un caso descrito en el libro Applied Mathematical Programming, de Bradley, Hax, and Magnanti (Addison-Wesley, 1977), del MIT (Cápitulo 2 página 50).

El propietario de una tienda que produce remolques para automóviles desea determinar la mejor combinación para sus tres productos: remolques de plataforma plana, remolques económicos y remolques de lujo. Su taller se limita a trabajar 24 días al mes en el trabajo de los metales y 60 días al mes en el trabajo de la madera para estos productos. La siguiente tabla indica los datos de producción de los remolques.

Modelamiento del problema

Sean las variables de decisión del problema:

x₀ = Número de remolques de plataforma plana producidos por mes

x₁ = Número de remolques económicos producidos por mes

x₂ = Número de remolques de lujo producidos por mes

Suponiendo que los costos de la capacidad de trabajo en metal y madera sean fijos, el problema se convierte en un problema de maximización:

Zmax = 6x₀ + 14x₁ + 13x₂

Sujeto a las siguientes restricciones de capacidad:

0,5x₀ + 2x₁ + x₂ <= 24,

x₀ + 2x₁ + 4x₂ <= 60,

Sujeto a las siguientes restricciones de no-negatividad:

x₀ >= 0,

x₁ >= 0,

x₂ >= 0,

Podemos, del mismo modo, establecer un par de variables que correspondan a las horas ociosas para las dos tareas establecidas (metal y madera):

x₃ = Número de horas ociosas en el trabajo en metal al mes,

x₄ = Número de horas ociosas en el trabajo en madera al mes,

Reescribimos las restricciones (adicionando las variables de horas ociosas). Podemos observar que las inecuaciones ahora serán igualdades, para que de esta forma ahora podamos tener información relacionada a los recursos. En otras palabras, lo que se utiliza (horas productivas) + lo que sobre (horas ociosas) = tiempo disponible:

0,5x₀ + 2x₁ + x₂ + x₃ = 24,

x₀ + 2x₁ + 4x₂ + x₄ = 60,

x₀ >= 0,

x₁ >= 0,

x₂ >= 0,

x₃ >= 0,

x₄ >= 0,

Así entonces, tenemos el problema completamente modelado.

Resolución del modelo mediante Google OR-Tools

De acuerdo a lo mencionado en el artículo de introducción a Google OR-Tools, esta herramienta soporta múltiples lenguajes de programación, así entonces, haremos uso del lenguaje de programación Python.

Paso 1: Importar la librería

El siguiente fragmento de código importa las librerías necesarias:

# Importar la librería de Google OR-Tools
from ortools.linear_solver import pywraplp

Paso 2: Declarar el solucionador

El siguiente fragmento de código declara el solucionador GLOP (Google OR-Tools posee múltiples solucionadores):

solver = pywraplp.Solver.CreateSolver('GLOP')

Paso 3: Crear las variables del modelo

El siguiente fragmento crea las variables del modelo, así mismo indica el tipo de variables correspondientes y su rango de valores. Así entonces, desde la creación de las variables se pueden abordar las restricciones de no-negatividad (entre 0 e infinito):

x0 = solver.NumVar(0, solver.infinity(), 'x0')
x1 = solver.NumVar(0, solver.infinity(), 'x1')
x2 = solver.NumVar(0, solver.infinity(), 'x2')
x3 = solver.NumVar(0, solver.infinity(), 'x3')
x4 = solver.NumVar(0, solver.infinity(), 'x4')

print('Número de variables =', solver.NumVariables())

Paso 4: Definir las restricciones del modelo

El siguiente fragmento de código define las restricciones del modelo:

# Restricción 0: 0.5x0 + 2x1 + x2 + x3 = 24.
solver.Add(0.5 * x0 + 2 * x1 + x2 + x3 == 24.0)

# Restricción 1: x0 + 2x1 + 4x2 + x4 = 60.
solver.Add(x0 + 2 * x1 + 4 *x2 + x4 == 60.0)

print('Número de restricciones =', solver.NumConstraints())

Paso 5: Definir la función objetivo del modelo

El siguiente fragmento de código define la función objetivo del modelo (maximizar):

# Función objetivo (max): 6x0 + 14x1 + 13x2
solver.Maximize(6 * x0 + 14 * x1 + 13 * x2)

Paso 6: Invocar el solucionador

El siguiente fragmento de código sirve para invocar el solucionador del modelo:

status = solver.Solve()

Paso 7: Definir las salidas del solucionador

if status == pywraplp.Solver.OPTIMAL:
    print('Solución:')
    print('Valor objetivo =', solver.Objective().Value())
    print('Número de remolques de plataforma plana producidos por mes =', x0.solution_value())
    print('Número de remolques económicos producidos por mes =', x1.solution_value())
    print('Número de remolques de lujo producidos por mes =', x2.solution_value())
    print('Número de horas ociosas en el trabajo en metal al mes =', x3.solution_value())
    print('Número de horas ociosas en el trabajo en madera al mes =', x4.solution_value())
else:
    print('El problema no tiene solución óptima.')

Es posible que el desarrollo de los siete pasos anteriores demande algún grado de complejidad subyacente del uso de un lenguaje de programación; sin embargo, es preciso mencionar que, el modelo anterior queda perfectamente configurado, y puede replicarse con modificaciones menores en múltiples problemas de optimización lineal.

¿Cómo ejecutar el modelo?

Alternativa 1, ejecución en nuestro equipo:

Lo primero que debemos considerar, en el caso de que queramos ejecutar este código en nuestro equipo, es que es preciso contar con la instalación de Python en nuestro equipo de cómputo, así mismo debemos contar con la última versión del comando pip y por supuesto, el software OR-Tools. Una guía detallada de la instalación de estos requerimientos la podrás encontrar en el siguiente enlace:

Instalación de OR-Tools para Python

Ahora, lo recomendable es trabajar con algún editor de código práctico (IDE), por ejemplo: Sublime Text, o Spyder (Una herramienta más completa y por ende más robusta y pesada).

Alternativa 2, ejecución en un entorno virtual (Recomendado):

Podemos utilizar del mismo modo, un entorno virtual. En este caso recomendamos el uso de Colaboratory de Google, un entorno que cuenta con todas las herramientas necesarias para nuestros desarrollos. No tendremos que instalar nada en nuestro equipo, y aprovecharemos la potencia de las máquinas de Google.

El código completo de nuestro desarrollo lo presentamos a continuación. También puedes ver el cuaderno de este módulo en nuestro Colaboratory: Programación Lineal.

#Desde: Bradley, Hax, and Magnanti, 'Applied Mathematical Programming', Chapter 2

# Importar la librería de Google OR-Tools
from ortools.linear_solver import pywraplp

def LinearProgrammingExample():
    solver = pywraplp.Solver.CreateSolver('GLOP')

    x0 = solver.NumVar(0, solver.infinity(), 'x0')
    x1 = solver.NumVar(0, solver.infinity(), 'x1')
    x2 = solver.NumVar(0, solver.infinity(), 'x2')
    x3 = solver.NumVar(0, solver.infinity(), 'x3')
    x4 = solver.NumVar(0, solver.infinity(), 'x4')

    print('Número de variables =', solver.NumVariables())

    # Restricción 0: 0.5x0 + 2x1 + x2 + x3 = 24.
    solver.Add(0.5 * x0 + 2 * x1 + x2 + x3 == 24.0)

    # Restricción 1: x0 + 2x1 + 4x2 + x4 = 60.
    solver.Add(x0 + 2 * x1 + 4 *x2 + x4 == 60.0)

    print('Número de restricciones =', solver.NumConstraints())

    # Función objetivo (max): 6x0 + 14x1 + 13x2
    solver.Maximize(6 * x0 + 14 * x1 + 13 * x2)

    # Declarar el solucionador.
    status = solver.Solve()

    # Declarar las salidas del solucionador
    if status == pywraplp.Solver.OPTIMAL:
        print('Solución:')
        print('Valor objetivo =', solver.Objective().Value())
        print('Número de remolques de plataforma plana producidos por mes =', x0.solution_value())
        print('Número de remolques económicos producidos por mes =', x1.solution_value())
        print('Número de remolques de lujo producidos por mes =', x2.solution_value())
        print('Número de horas ociosas en el trabajo en metal al mes =', x3.solution_value())
        print('Número de horas ociosas en el trabajo en madera al mes =', x4.solution_value())
    else:
      if status == solver.FEASIBLE:
        print('Se encontró una solución potencialmente subóptima.')
      else:
        print('El problema no tiene solución óptima.')

    # Información avanzada del solucionador

    print('\nUso avanzado:')
    print('Problema resuelto en %f milisegundos' % solver.wall_time())
    print('Problema resuelto en %d iteraciones' % solver.iterations())

LinearProgrammingExample()

Al ejecutar nuestro desarrollo en Colaboratory, tenemos:

Podemos observar que se ha obtenido la misma respuesta que se encuentra consignada en el libro Applied Mathematical Programming (Página 51).

Ahora bien, el modelo de optimización lineal y el script del solucionador quedaron desarrollados en un lenguaje de programación estándar y ampliamente utilizado. Desde luego, las posibilidades de integrar datos de entrada y procesar los datos de salidas son interesantes. Por ejemplo, es posible desarrollar un script mediante el cual el código ya desarrollado tome los datos de entrada desde un archivo de Excel, o desde un servidor externo.

También, es posible desarrollar una interfaz amigable desde la cual se ingrese la información; o vincular los datos de salida con algún modelo o documento determinado.

En próximos artículos abordaremos algunos scripts haciendo uso de las librerías de Google OR-Tools que nos permitan utilizar bucles de matrices, con el objetivo de automatizar el proceso de definición de variables y restricciones, mejorando la eficiencia del modelamiento.

La entrada Programación lineal en Google OR-Tools se publicó primero en Ingenieria Industrial Online.

Podemos decir que el problema o algoritmo de la ruta más corta es una popularización del problema del flujo del costo mínimo, una variación de los modelos generales de flujos. Cuando nos referimos al costo mínimo, este en realidad puede expresarse en diversas magnitudes: distancia, tiempo, volumen, y en general, cual cualquier unidad que represente el caso de estudio.

En el problema del flujo de costo mínimo, cada arco de la red tiene un costo asociado a transportar unidades a través de él, es decir, por ejemplo, que el arco que une a los nodos 0 y 1, tiene un costo subyacente a su transporte, en los términos que representen mejor al modelo. Además del costo, cada arco debe considerar una capacidad de transporte.

Del mismo modo, debe considerarse que en este problema los nodos tienen una naturaleza, y existen algunos nodos especiales:

En el anterior gráfico se puede apreciar una representación básica de lo que sería la naturaleza de los nodos aplicada a un caso común: una planta que produce material, lo envía hacia algunos centros de distribución o consolidación y un cliente, lugar que representa el destino final del material. Claramente pueden apreciarse cuales son los nodos de oferta, de demanda y de tránsito. Ahora bien, es posible que en la práctica existan múltiples nodos de oferta y múltiples nodos de demanda, del mismo modo, es posible que los nodos de tránsito también suministren o consuman unidades, lo que los convertiría en nodos mixtos, y lo que podría representar múltiples casos prácticos, por ejemplo: un centro de distribución ubicado en una planta, el cual recibe unidades para consumo interno y despacha excedentes hacia otros centros o clientes.

Problema de la ruta más corta

Tal como se mencionó en la introducción del artículo, el problema de la ruta más corta puede abordarse desde la perspectiva del problema del flujo de costo mínimo, en el cual el objetivo consiste en determinar el plan de rutas que genere la trayectoria con la mínima distancia total, que una un nodo fuente (puro) con un nodo destino (puro), sin importar el número de nodos que existan entre estos.

Así entonces, en su versión más básica, el flujo y la capacidad de los arcos puede reducirse a la unidad (1), asumiendo que no se transportan materiales y que el único objetivo que se persigue consiste en determinar la ruta más corta que une a un nodo fuente con un nodo destino. Dicho de otro modo, el nodo fuente produce una unidad que es transportada por medio de arcos con capacidad de unidad y se consume en la medida de una unidad en el nodo destino.

Es preciso reiterar que cuando nos referimos distancia nos ajustamos al nombre del algoritmo «la ruta más corta», sin embargo, lo que se considera distancia, bien puede expresarse en otras unidades de medida, por ejemplo: costo.

El objetivo de este artículo consiste en utilizar las librerías del software Google OR-Tools para abordar el problema de la ruta más corta a través de una interfaz base del algoritmo del flujo de costo mínimo. Posteriormente, abordaremos un script básico en Python que nos permita integrar al modelo de optimización, data de entrada proveniente de fuentes como un documento de Excel.

El problema

Con el propósito de evaluar los resultados obtenidos mediante distintos métodos y solucionadores, utilizaremos el mismo problema que abordamos mediante programación lineal y el módulo de network modeling de WinQSB.

Un minero ha quedado atrapado en una mina, la entrada a la mina se encuentra ubicada en el nodo 0, se conoce de antemano que el minero permanece atrapado en el nodo 8, para llegar a dicho nodo hay que atravesar una red de túneles que van conectados entre sí. El tiempo de vida que le queda al minero sin recibir auxilio es cada vez menor y se hace indispensable hallar la ruta de acceso al nodo 8 más corta. Las distancias entre nodos de la mina se encuentran en la siguiente gráfica dadas en cientos de metros:

Resolviendo un problema de la ruta más corta mediante Google OR-Tools

De acuerdo a lo mencionado en el artículo de introducción a Google OR-Tools, esta herramienta soporta múltiples lenguajes de programación, así entonces, haremos uso del lenguaje de programación Python.

Es posible que para la ejecución de este script, debas instalar el comando future, el cual puedes encontrar en el siguiente enlace: future 0.18.2. La instalación es muy simple, tan solo escribir en el cmd (símbolo del sistema) lo siguiente:

pip install future

Paso 1: Importar la librería

El siguiente fragmento de código importa las librerías necesarias:

# Importar la librería de Google OR-Tools
from __future__ import print_function
from ortools.graph import pywrapgraph

Paso 2: Crear la data del modelo

Define cuatro matrices paralelas: nodos_fuente, nodos_destino, capacidades, y costos_unitarios, entre cada par. Por ejemplo, el arco desde el nodo 0 hacia el nodo 1 tiene una capacidad de 1 y un costo asociado de 4 (distancia). En su versión más básica el objetivo consiste en unir un nodo fuente y un nodo destino; por esta razón, en este ejemplo la capacidad de todos los nodos equivale a 1 y el flujo es binario, donde tomará valores de 1 en el caso en que el arco forme parte del conjunto solución y 0 en el caso contrario:

Pueden observarse las matrices perfectamente alineadas, ya que el orden es importante. El orden entre la matriz de nodos_fuente y nodos_destino definirá el valor de los arcos del modelo (distancia).

nodos_fuente  = [ 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7]
nodos_destino = [ 1, 2, 2, 3, 1, 3, 4, 5, 6, 3, 6, 7, 6, 8, 5, 7, 8, 6, 8]
capacidades   = [ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
distancia     = [ 4, 2, 2, 7, 4, 9, 6, 1, 5, 2, 3, 2, 1, 5, 4, 3, 6, 2, 6]

suministros = [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1]

También definimos la matriz de suministros asociada a los nodos, donde los valores positivos corresponde a oferta y los valores positivos corresponde a demanda. Los ceros se asocian a los nodos de tránsito. En nuestro ejemplo solo existe un nodo de oferta = nodo 0, y un nodo de demanda = nodo 8.

Paso 3: Declarar el solucionador y agregar los arcos del modelo

El siguiente fragmento define en primera instancia el solucionador (declara). Luego, define cada arco del problema, es decir, con base en las matrices definidas como datos de entrada (en su orden), establece el valor (costo = distancia) de cada arco. Posteriormente, define los suministros (o demandas) para cada nodo.

# Crea una instancia para el solucionador
min_cost_flow = pywrapgraph.SimpleMinCostFlow()

# Define cada arco del problema
for i in range(0, len(nodos_fuente)):
  min_cost_flow.AddArcWithCapacityAndUnitCost(nodos_fuente[i], nodos_destino[i],
                                              capacidades[i], distancia[i])

# Define los suministros para cada nodo.
for i in range(0, len(suministros)):
  min_cost_flow.SetNodeSupply(i, suministros[i])

Paso 4: Invocar al solucionador y definir la información de salida del modelo

El siguiente fragmento de código utiliza las librerías predeterminadas de Google OR-Tools para abordar problemas de flujo de costo mínimo. Así mismo, se especifican las salidas del solucionador: arco / flujo / capacidad  / distancia, para cada arco; y distancia total de la red.

# Encuentra el costo mínimo entre el nodo 0 y el nodo 8
if min_cost_flow.Solve() == min_cost_flow.OPTIMAL:
  print('Distancia mínima:', min_cost_flow.OptimalCost())
  print('')
  print(' Arco Flujo / Capacidad Distancia')
  for i in range(min_cost_flow.NumArcs()):
    cost = min_cost_flow.Flow(i) * min_cost_flow.UnitCost(i)
    print('%1s -> %1s %3s / %3s %3s' % (
        min_cost_flow.Tail(i),
        min_cost_flow.Head(i),
        min_cost_flow.Flow(i),
        min_cost_flow.Capacity(i),
        cost))
else:
  print('Hubo un problema con la entrada de flujo de distancia mínima.')

Es posible que el desarrollo de los cuatro pasos anteriores demande algún grado de complejidad subyacente del uso de un lenguaje de programación; sin embargo, es preciso mencionar que, el modelo anterior queda perfectamente configurado, y puede replicarse con modificaciones menores en múltiples problemas de asignación.

¿Cómo ejecutar el modelo?

Alternativa 1, ejecución en nuestro equipo:

Lo primero que debemos considerar, en el caso de que queramos ejecutar este código en nuestro equipo, es que es preciso contar con la instalación de Python en nuestro equipo de cómputo, así mismo debemos contar con la última versión del comando pip y por supuesto, el software OR-Tools. Una guía detallada de la instalación de estos requerimientos la podrás encontrar en el siguiente enlace:

Instalación de OR-Tools para Python

Ahora, lo recomendable es trabajar con algún editor de código práctico (IDE), por ejemplo: Sublime Text, o Spyder (Una herramienta más completa y por ende más robusta y pesada).

Alternativa 2, ejecución en un entorno virtual (Recomendado):

Podemos utilizar del mismo modo, un entorno virtual. En este caso recomendamos el uso de Colaboratory de Google, un entorno que cuenta con todas las herramientas necesarias para nuestros desarrollos. No tendremos que instalar nada en nuestro equipo, y aprovecharemos la potencia de las máquinas de Google.

El código completo de nuestro desarrollo lo presentamos a continuación. También puedes ver el cuaderno de este módulo en nuestro Colaboratory: Ruta más corta.

#Desde: Salazar, ingenieriaindustrialonline.com - Algoritmo de la ruta más corta

from __future__ import print_function
from ortools.graph import pywrapgraph

def main():
  """MinCostFlow adaptado a la ruta más corta - interfaz de ejemplo."""

  # Define cuatro matrices paralelas: nodos_fuente, nodos_destino, 
  # capacidades, y costos_unitarios entre cada par.

  nodos_fuente      = [ 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7]
  nodos_destino     = [ 1, 2, 2, 3, 1, 3, 4, 5, 6, 3, 6, 7, 6, 8, 5, 7, 8, 6, 8]
  capacidades       = [ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
  distancia         = [ 4, 2, 2, 7, 4, 9, 6, 1, 5, 2, 3, 2, 1, 5, 4, 3, 6, 2, 6]

  # Define una matriz con los suministros de cada nodo (valores positivos = 
  # suministros) y (valores negativos = demandas)

  suministros = [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -1]


  # Crea una instancia para el solucionador
  min_cost_flow = pywrapgraph.SimpleMinCostFlow()

  # Define cada arco del problema
  for i in range(0, len(nodos_fuente)):
    min_cost_flow.AddArcWithCapacityAndUnitCost(nodos_fuente[i], nodos_destino[i],
                                                capacidades[i], distancia[i])

  # Define los suministros para cada nodo.

  for i in range(0, len(suministros)):
    min_cost_flow.SetNodeSupply(i, suministros[i])


  # Encuentra el costo mínimo entre el nodo 0 y el nodo 8
  if min_cost_flow.Solve() == min_cost_flow.OPTIMAL:
    print('Distancia mínima:', min_cost_flow.OptimalCost())
    print('')
    print('  Arco    Flujo / Capacidad  Distancia')
    for i in range(min_cost_flow.NumArcs()):
      cost = min_cost_flow.Flow(i) * min_cost_flow.UnitCost(i)
      print('%1s -> %1s    %3s   / %3s       %3s' % (
          min_cost_flow.Tail(i),
          min_cost_flow.Head(i),
          min_cost_flow.Flow(i),
          min_cost_flow.Capacity(i),
          cost))
  else:
    print('Hubo un problema con la entrada de flujo de distancia mínima.')

if __name__ == '__main__':
  main()

Y bien, tenemos la solución a este problema simple de asignación en menos de 1 segundo.

Podemos observar que se ha obtenido la misma respuesta que la lograda mediante programación lineal y el módulo de network modeling  de WinQSB:

Problema de la ruta más corta mediante Google OR-Tools, importando los datos desde Excel

Tal como lo planteamos al inicio del artículo, abordaremos un script básico en Python que nos permita integrar al modelo de optimización, data de entrada proveniente de fuentes como un documento de Excel. Esto con el propósito de introducirnos en las bondades del modelamiento en lenguajes de programación.

Paso 1: Construir una base de datos en Microsoft Excel

En este caso, utilizaremos una hoja de cálculo haciendo uso de Microsoft Excel, en su extensión predeterminada xlsx, desde la cual, construiremos una base de datos que consignará toda la información de entrada relacionada con el modelo. Un consejo práctico, es que este archivo se guarde dentro del mismo directorio en el que se encuentra el modelo desarrollado en Python.

Se puede apreciar la forma en la cual hemos consignado la información, desde luego, respetando el orden de los datos, ya que, tal como lo mencionamos, es muy importante, ya que de ello depende la asociación de cada arco con su distancia. La anterior información la hemos consignado en la Hoja 1 del archivo, ya que en la Hoja 2 consignaremos la información relacionada con el suministros (con el objetivo práctico de mostrar cómo se importan datos desde hojas específicas), de esta manera:

Del mismo modo, el orden de los suministros es muy importante, razón por la cual hemos construido una columna denominada nodos que puede servir como guía para consignar la información de los suministros de forma ordenada.

Es de vital importancia, nombrar cada columna y tener claridad sobre ello, desaconsejamos el uso de caracteres especiales y sugerimos utilizar nombres cortos relacionados con la información contenida.

Posterior a consignar la información, podemos guardar el documento, en este caso lo hemos nombrado: data_flujo. Este dato es importante, ya que lo utilizaremos desde el script.

Paso 2: Importar la librería Pandas

En caso de requerir la instalación de la librería, tan solo debes escribir el siguiente comando en el símbolo del sistema:

pip install pandas

Esta paquete nos proporcionará la posibilidad de importar y trabajar con datos de fuentes como Microsoft Excel. El siguiente fragmento de código se adicionará al script e importará la librería:

# Importar la librería de Google OR-Tools
# Importar la librería de Pandas
from __future__ import print_function
from ortools.graph import pywrapgraph
import pandas as pd

Una vez que importemos la librería, podemos trabajar con sus funciones.

Paso 3: Importar datos desde Microsoft Excel

El desarrollo para importar la información desde Excel debe estar correctamente ordenada (correspondencia entre filas). Por ejemplo:

La anterior fila representa el arco entre el nodo 0 y el nodo 1 cuya capacidad es de 1 y de dimensión (distancia) 4.

En el caso de los suministros, debe considerarse el orden la columna en Excel. Por ejemplo:

En este caso, el nodo 0 será de oferta, es decir, desde ahí se crea flujo; el nodo 8 será de demanda, es decir, en este nodo se consume (sumidero). El nodo 4 será un nodo de tránsito (no crea inicia flujo ni lo consume), solo es un nodo de paso.

El siguiente fragmento de código importará la data que se encuentra consignada en el documento de Excel:

def create_data():

    excel = pd.read_excel('data_flujo.xlsx')
    excel_1 = pd.read_excel('data_flujo.xlsx', sheet_name=1)

    data = {}

    data['fuentes'] = excel['fuentes'].tolist() 
    data['destinos'] = excel['destinos'].tolist() 
    data['capacidad'] = excel['capacidad'].tolist() 
    data['distancias'] = excel['distancia'].tolist() 
    data['suministro'] = excel_1['suministros'].tolist() 

    return data 

Los datos de entrada del modelo los trataremos dentro de una función create_data, desde ahí utilizaremos algunas funciones de la librería Pandas (pd) para disponer correctamente de la información contenida en el documento de Excel. Veamos cómo:

excel = pd.read_excel(‘data_flujo.xlsx’)

En este caso, creamos la variable excel y dentro de ella utilizamos la función read_excel la cual permite leer el documento de Excel (en nuestro caso data_flujo.xlsx), e importarlo (en la variable excel) en formato dataframe (conjunto de columnas).

También creamos la variable excel_1 y dentro de ella utilizamos la función read_excel la cual permite leer el documento de Excel (en nuestro caso data_flujo.xlsx), e importarlo (en la variable excel). En este caso adicionamos el argumento sheet_name, el cual nos permite dentro del documento buscar la información en una hoja específica. Las hojas de Excel, en el caso de Python, se denominan desde el índice 0. Es decir que en nuestro caso, al expresar sheet_name=1 indicamos que lea la Hoja 2 del documento.

Creamos el directorio data, temporalmente vacío, en el se consignarán posteriormente cada lista de datos junto a su nombre (índice).

Ahora detallaremos cómo creamos cada listado de datos:

data[‘fuentes’] = excel[‘fuentes’].tolist()

En este caso data[‘fuentes’] indica que crearemos el índice ‘fuentes’ dentro del directorio data (que se encontraba vacío). excel[‘fuentes’] indica que dentro del dataframe Excel, queremos obtener la columna ‘fuentes’. Y la función tolist() convertirá esta columna en una lista (formato list). En defintiva, dentro de data[‘fuentes’] tendremos el listado de fuentes obtenido desde Excel.

Este mismo procedimiento lo repetimos para los datos restantes. Al finalizar, dentro del directorio data quedará contenida toda la información de entrada del modelo. Como la función create_data retorna la variable data, esto quiere decir, que toda la información de entrada quedará contenida dentro de la función create_data, esto permitirá su uso posterior.

Paso 4: Invocar la data del modelo en el main

Para utilizar los listados o inputs obtenidos desde Excel, necesitamos invocar la función «create_data» esta retornará el directorio con todos los datos.

Recomendamos utilizar el mismo nombre «data» para crear el directorio dentro de esta función:

data = create_data()

Ahora el «data» de esta función (main), contiene el directorio de la función «create_data«. Ya podemos usar los listados.

Quiere decir esto, que para acceder específicamente al listado que contiene los destinos, por ejemplo, es necesario invocar a data[‘destinos’].

Básicamente, estas son las modificaciones que deben realizarse sobre el modelo inicialmente desarrollado. De esta forma quedará nuestro código completo, el cual importará la data de entrada desde un archivo de Excel:

# """From Salazar, ingenieriaindustrialonline.com - Algoritmo de la ruta más corta"""

from __future__ import print_function
from ortools.graph import pywrapgraph #Librería de Google Or Tools
import pandas as pd #Librería pandas para obtener data desde Excel

"""MinCostFlow adaptado a la ruta más corta - interfaz de ejemplo."""

#Este desarrollo requiere que la información extraida desde Excel esté ordenada
#de acuerdo a sus filas. Por ejemplo:

#fila     fuentes   destinos    capacidad   distancia
# 1          0          1           1           4

#Esta fila representa el arco de capacidad 1 y distancia 4 que conecta el nodo fuente 0
#al nodo destino 1

#En el caso de los suministros, debe considerarse el orden de la columna de Excel. Por ejemplo:

#fila      nodos   suministros
# 1          0          1
# 5          4          0
# 9          8         -1

#En este caso, el nodo 0 será de oferta (desde ahí se crea flujo) y el nodo 8 será de demanda (ahí se consume).
#El nodo 4 será un nodo de tránsito (no crea flujo y no consume), solo es un nodo de paso.


#Creamos la data del modelo (La extraemos desde Excel)
def create_data():

    #La variable "excel" traerá la información contenida en el archivo "data_flujo.xlsx" (crea un dataframe organizado en columnas)
    excel = pd.read_excel('data_flujo.xlsx')
    excel_1 = pd.read_excel('data_flujo.xlsx', sheet_name=1) #Función que permite leer una hoja en específico (hoja 2 de Excel - Inicia desde 0)

    data = {} #Crea un directorio llamado data, en él agregaremos cada lista de datos junto con su nombre (índice)

    #La información contenida en Excel viene dada en un dataframe con todos los datos en columnas.
    #A continuación, extraeremos cada columna en específico, desde el dataframe (todas las columnas) > series (columna en específico)
    #Luego, el "tolist" convertirá cada serie en una lista. Esa lista se guardará en el directorio "data" y se etiqueta con el índice correspondiente

    data['fuentes'] = excel['fuentes'].tolist() #Columna en Excel = 'fuentes' > lista en el directorio "data" con la etiqueta (índice) "fuentes"
    data['destinos'] = excel['destinos'].tolist() #Columna en Excel = 'destinos' > lista en el directorio "data" con la etiqueta (índice) "destinos"
    data['capacidad'] = excel['capacidad'].tolist() #Columna en Excel = 'capacidad' > lista en el directorio "data" con la etiqueta (índice) "capacidad"
    data['distancias'] = excel['distancia'].tolist() #Columna en Excel = 'distancia' > lista en el directorio "data" con la etiqueta (índice) "distancia"
    data['suministro'] = excel_1['suministros'].tolist() #Columna en Excel = 'suministro' > lista en el directorio "data" con la etiqueta (índice) "suministro"

    #Quiere decir esto, que para acceder específicamente al listado que contiene los destinos, es necesario invocar a data['destinos'].

    return data #En "create_data" quedará contenido el directorio "data" el cuál contiene todas las listas con la información del modelo.


def main():

  #Para utilizar los listados o inputs obtenidos desde Excel, necesitamos invocar la función "create_data" esta retornará el directorio con todos los datos.
  #Recomendamos utilizar el mismo nombre "data" para crear el directorio dentro de esta función:

  data = create_data() #Ahora el "data" de esta función, contiene el directorio de la función "create_data". Ya podemos usar los listados.

  # Crea una instancia para el solucionador
  min_cost_flow = pywrapgraph.SimpleMinCostFlow()

  # Define cada arco del problema
  for i in range(0, len(data['fuentes'])):
    min_cost_flow.AddArcWithCapacityAndUnitCost(data['fuentes'][i], data['destinos'][i],
                                                data['capacidad'][i], data['distancias'][i])

  # Define los suministros para cada nodo.
  for i in range(0, len(data['suministro'])):
    min_cost_flow.SetNodeSupply(i, data['suministro'][i])


  # Encuentra el costo mínimo entre el nodo 0 y el nodo 8
  if min_cost_flow.Solve() == min_cost_flow.OPTIMAL:
    print('Distancia mínima:', min_cost_flow.OptimalCost())
    print('')
    print('  Arco    Flujo / Capacidad  Distancia')
    for i in range(min_cost_flow.NumArcs()):
      cost = min_cost_flow.Flow(i) * min_cost_flow.UnitCost(i)
      print('%1s -> %1s    %3s   / %3s       %3s' % (
          min_cost_flow.Tail(i),
          min_cost_flow.Head(i),
          min_cost_flow.Flow(i),
          min_cost_flow.Capacity(i),
          cost))
  else:
    print('Hubo un problema con la entrada de flujo de distancia mínima.')

if __name__ == '__main__':
  main()

Ejecutamos el modelo:

De esta manera hemos logrado integrar una base de datos que se encuentra en un archivo de Excel, el cual podemos modificar en cualquier momento con suma facilidad; un modelo de optimización flexible basado en el algoritmo de flujos de costo mínimo y un solucionador potente. Así entonces, podemos con suma eficiencia, modelar problemas relacionados con el Algoritmo de la Ruta más corta.

En próximos artículos abordaremos algunos scripts básicos en Python que nos permitan exportar los resultados del solucionador en algún formato específico, y de acuerdo a una estructura definida.

La entrada Problema de la ruta más corta en Google OR-Tools se publicó primero en Ingenieria Industrial Online.