Cambios en el lado derecho de las restricciones (Método gráfico)

El análisis de sensibilidad mediante método gráfico es una técnica utilizada en modelos matemáticos para determinar cómo los cambios en los valores de entrada afectan a las salidas del modelo.

Los resultados estáticos obtenidos a través de un método de solución son una fotografía, corresponden a la optimización de acuerdo a unos parámetros inalterables. Las preguntas que dan pie, tanto al análisis de sensibilidad como al análisis postóptimo son: ¿Qué pasaría si los valores de algunos parámetros cambian? ¿Cómo afecta esto a la solución óptima o la factibilidad del modelo? ¿Cómo afecta a las variables de decisión y/o la función objetivo?

Para responder a estas preguntas acudimos a los análisis complementarios: Sensibilidad y Postóptimo.

El análisis de sensibilidad determina las condiciones que mantendrán la solución actual sin cambios (desde el punto de vista geométrico, ya que es posible que la función objtivo y las variables de decisión cambien ante los cambios de los parámetros del modelo), mientras que el análisis postóptimo determina la nueva solución óptima cuando los datos del modelo cambian. Las tecnologías actuales, como Geogebra, han reducido la diferencia entre estos dos tipos de análisis, permitiendo una transición fluida desde el análisis de sensibilidad (indicadores lineales) hasta el análisis postóptimo mediante técnicas dinámicas.

Es importante destacar que, aunque el método gráfico es útil para comprender las relaciones en el sistema, existen otras herramientas más robustas, como la programación paramétrica con lenguajes de programación, que superan las limitaciones de la cantidad máxima de variables que puede manejar el método gráfico. Por lo tanto, el método gráfico puede ser una buena opción para visualizar los resultados, pero no es la herramienta más adecuada para un análisis exhaustivo y detallado de la sensibilidad.

Empezaremos por uno de los casos de análisis de sensibilidad más conocidos:

Cambios en el lado derecho de las restricciones

También conocido como «cambio en la disponibilidad de los recursos», este tipo de análisis de sensibilidad es técnicamente definido como «cambio en el lado derecho de las restricciones» y es uno de los más populares. Sin embargo, es importante destacar que las restricciones en un sistema no solo se relacionan con la disponibilidad de recursos, sino que también representan condiciones, relaciones y políticas que rigen al sistema en sí. Por lo tanto, denominar este tipo de análisis como «cambio en la disponibilidad de los recursos» puede generar ambigüedad y no reflejar completamente su alcance.

En palabras más sencillas: Vamos a explorar el impacto que tiene en los resultados del modelo de programación lineal, los cambios en el lado derecho de las restricciones. ¿Cambios en plural? Sí, lea la siguiente advertencia:

Los paradigmas de la enseñanza tradicional no paran ahí, también tenemos que:

Con el propósito de evaluar los resultados obtenidos a través del tratamiento de un problema técnicamente formulado y abordado, utilizaremos un caso descrito en el libro Investigación de Operaciones (9na edición), de Hamdy A. Taha (University of Arkansas, Fayetteville), (Ejemplo 3.6-1):

JOBCO fabrica dos productos en dos máquinas. Una unidad del producto 1 requiere 2 horas en la máquina 1, y 1 hora en la máquina 2. Una unidad del producto 2 requiere 1 hora en la máquina 1, y 3 horas en la máquina 2. Los ingresos por unidad de los productos 1 y 2 son de $30 y $20, respectivamente. El tiempo de procesamiento diario total disponible en cada máquina es de 8 horas.

Si x e y son las cantidades diarias de productos 1 y 2, respectivamente, el modelo se da como:

Zmax = 30x + 20y

Sujeto a:

2x + y <= 8 (Máquina 1)

x + 3y <= 8 (Máquina 2)

x, y >= 0 (No negatividad)

La solución de este modelo mediante método gráfico nos muestra lo siguiente:

Es decir que tenemos:

x (producto 1)	3.2
y (producto 2)	1.6
Z (ingresos)	$ 128

La pregunta que pretende responder este caso de análisis de sensibilidad es ¿Qué pasaría con estos resultados si cambia el lado derecho de algunas de sus restricciones?

Propiamente, qué pasaría si aumenta o disminuye la disponibilidad de tiempo de alguna de las máquinas de acuerdo al caso planteado (máquina 1 / máquina 2).

Así que, vamos a formular específiamente la pregunta a resolver:

¿Qué pasaría con los resultados del modelo si el tiempo disponible de la máquina 1 aumenta en una hora?

Un cambio en la restricción supone un cambio en la representación gráfica de la misma, en consecuencia, debemos trazar la línea que representa la restricción ante este cambio de disponibilidad.

Restricción inicial (R1)	Restricción nueva (R1′)
2x + y <= 8	2x + y <= 9

La representación gráfica de una línea requiere un mínimo de dos puntos. La representación gráfica de un punto requiere dos coordenadas; por lo tanto vamos a tabular las coordenadas necesarias (en la igualdad).

¿Qué valor tomaría Y cuando X sea 0?	¿Qué valor tomaría X cuando Y sea 0?
2(0) + y = 9	2x + 0 = 9
y = 9	2x = 9
	x = 9/2
	x = 4.5

Así entonces, tenemos nuestras coordenadas:

R1′: 2x + y <= 9	x	y
Punto 1	0	9
Punto 2	4.5	0

Trazamos los puntos y la línea que representan a R1:

Trazar esta nueva restricción nos muestra que si desplazamos R1 hacia el lugar en el que se muestra R1′ (aumento de la disponibilidad del recurso), tendremos una nueva intersección óptima. Simplificando: El cambio en el lado derecho de esta restricción tendría un efecto sobre los resultados obtenidos inicialmente. ¿Cuál es este efecto? Para saberlo debemos hallar la nueva intersección.

Si usamos técnicas matemáticas, tendremos que recurrir a la solución de ecuaciones de 2 * 2. Se trata de encontrar la intersección entre R1′ y R2. Veamos el método de reducción / eliminación:

R1′	2x + y = 9
R2	x + 3y = 8
R1′ * (-3)	-6x -3y = -27
R1’*(-3) + R2	-5x = -19
	x = -19/-5
	x = 3.8

Si despejamos x = 3.8 en cualquiera de las restricciones tendremos el valor de y:

2(3.8) + y = 9

7.6 + y = 9

y = 9 – 7.6

y = 1.4

Por lo tanto tenemos las coordenadas del nuevo punto óptimo (3.8, 1.4):

Si evaluamos la función objetivo en este nuevo punto tendremos que:

Zmáx = 30(3.8) + 20(1.4)

Zmáx = 142

Podemos afirmar que un cambio en el lado derecho de la restricción 1 (tiempo disponible en horas de la máquina 1), tuvo un efecto en los resultados de la siguiente manera:

	Solución inicial	Solución nueva (cambio en el RHS)	Diferencia
x	3.2	3.8
y	1.6	1.4
Z	$ 128	$ 142	$14

La diferencia en la función objetivo entre la solución nueva y la solución inicial ante un cambio unitario en el lado derecho de una restricción es un indicador lineal conocido como valor dual. En este caso, el valor dual es de 14 $/hora. Es decir, por cada hora que aumente la disponibilidad de la máquina 1, la utilidad se incrementará en $14. Del mismo modo funciona de manera inversa: Por cada hora que disminuya la disponibilidad de la máquina 1, la utilidad disminuirá en $14.

¿Este valor dual tiene validez ante cualquier cambio en este recurso? ¡No! Este indicador lineal tiene validez dentro de unos límites denominados límites de factibilidad.

¿Entonces es imposible calcular el impacto por fuera de los límites del valor dual? ¡No! La literatura invita a recalcular todo el modelo. Sin embargo, si utilizamos un software como Geogebra podemos calcular el impacto de un cambio por fuera de los límites de factibilidad:

Cambios en el lado derecho de las restricciones con Geogebra

Utilice los desplazadores para ver el impacto del cambio del lado derecho de las restricciones en los resultados del modelo.

De acuerdo a la representación gráfica de Geogebra vemos cómo podemos lograr conocer el impacto de cambios simultáneos en los lados derechos de las restricciones. También podemos validar el resutado obtenido manualmente, validar ese valor dual de $14 si aumentamos la disponibilidad de la máquina 1 a 9 horas y verificar, desde luego, que dicho impacto lineal no es ilimitado, ya que existen límites que abordaremos en un próximo post.