El nombre de las variables en este caso poco importa, dado que de ser escogida para la solución básica eso significa simplemente que será empleada como ruta para ir a rescatar al minero, sin embargo nada tiene de malo el que se le pueda asociar con el envío de unidades desde la entrada de la mina hacia el minero, por ende puede sugerirse este como nombre de las variables. «Cantidad de unidades enviadas desde el nodo i hacia el nodo j».

X₁₂ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 1, hacia el nodo 2

X₁₃ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 1, hacia el nodo 3

X₂₃ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 2, hacia el nodo 3

X₂₄ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 2, hacia el nodo 4

X₃₂ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 3, hacia el nodo 2

X₃₄ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 3, hacia el nodo 4

X₃₅ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 3, hacia el nodo 5

X₄₆ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 4, hacia el nodo 6

X₄₇ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 4, hacia el nodo 7

X₅₄ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 5, hacia el nodo 4

X₅₆ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 5, hacia el nodo 6

X₅₇ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 5, hacia el nodo 7

X₅₈ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 5, hacia el nodo 8

X₆₇ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 6, hacia el nodo 7

X₆₉ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 6, hacia el nodo 9

X₇₆ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 7, hacia el nodo 6

X₇₈ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 7, hacia el nodo 8

X₇₉ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 7, hacia el nodo 9

X₈₇ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 8, hacia el nodo 7

X₈₉ = Cantidad de unidades enviadas desde el nodo 8, hacia el nodo 9

Restricciones

Función objetivo

Ingresando los datos en WinQSB

La ruta más corta para rescatar al minero  tiene como distancia total 1600 metros (dado que las distancias estaban dadas en cientos de metros) y es tal como se muestra en la siguiente gráfica:

Sin embargo, WinQSB cuenta con una metodología mucho más sencilla de resolución de algoritmos de ruta más corta, metodología que explicaremos más adelante, de todas formas hemos encontrado cómo, aplicando debidamente la razón y un algoritmo conocido como el de transbordo, podemos solucionar problemas distintos en teoría.

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Solución del algoritmo de la ruta más corta mediante WinQSB

El módulo del WinQSB que permite la resolución del algoritmo de la ruta más corta es el Network Modeling, el cual utiliza una interfaz muy sencilla en forma de matriz en la cual hay que ingresar el valor de los ramales (dependiendo del contexto este valor puede representar distancias, tiempo, costos etc.) correspondiente a cada relación de un nodo con otro.

Paso a paso

Primero se debe ingresar al módulo Network Modeling del paquete WinQSB, una vez nos encontremos en este aparecerá el menú que se muestra en la siguiente gráfica, menú en el cual tendremos que seleccionar la opción Shortest Path Problem (Problema de la ruta más corta).

Además en este menú emergente debemos de ingresar la cantidad de nodos que conforman la red del problema y tenemos la posibilidad de asignarle un nombre al mismo, en nuestro caso la cantidad de nodos de la red es igual a 9; clic en OK y aparecerá la siguiente ventana.

En esta ventana se debe ingresar la magnitud de cada ramal correspondiente a cada relación entre los nodos, tal como veremos a continuación.

Damos clic en Solve and Analize y tendremos un menú emergente en el cual tendremos que seleccionar el nodo fuente y el nodo destino, tal como se muestra en la siguiente gráfica.

Una vez efectuada la selección tendremos la opción de ver el tabulado final y la opción de ver un paso a paso gráfico; para el tabulado final click en SOLVE y para el paso a paso clic en SOLVE AND DISPLAY STEPS.

Podemos cotejar la solución que obtuvimos al plantear este problema como un modelo de transbordo con esta solución. La eficiencia se encuentra determinada en escoger la herramienta adecuada para resolver el problema planteado.

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Le recomendamos revisar: Problema de la ruta más corta en Google OR-Tools. Descubre esta poderosa herramienta de modelamiento y solución de problemas de optimización.

Teniendo en cuenta la siguiente red, que tiene como origen el nodo 1:

Procedemos con las iteraciones, partimos de la iteración 0, es decir, asignar la etiqueta para el nodo origen:

Iteración 0

En este paso, asignamos una etiqueta permanente para el nodo origen. Recordemos que la etiqueta se compone por un valor acumulado, que en este caso debe ser 0, ya que es el punto base y que no existe procedencia:

Etiqueta nodo 1 = [valor acumulado, procedencia] iteración

Etiqueta nodo 1 = [0, -] 0

Iteración 1

En este paso, evaluamos a cuáles nodos se puede llegar desde el nodo 1. En este caso se puede llegar a los nodos 2 y 3. De manera que debemos asignar las etiquetas para cada nodo:

Etiqueta nodo 2 = [valor acumulado, procedencia] iteración

Etiqueta nodo 2 = [0 + 100, 1] 1

0 es el valor acumulado en la etiqueta del nodo de procedencia, en este caso el valor acumulado para el nodo 1. 100 es el valor del arco que une el nodo procedencia (1) y el nodo destino (2). 1 es el número de la iteración.

Etiqueta nodo 3 = [valor acumulado, procedencia] iteración

Etiqueta nodo 3 = [0 + 30, 1] 1

En este caso, podemos observar que la etiqueta del nodo 3, ya contiene el menor valor acumulado posible para llegar a este. Ya que 30 es la mínima distancia posible, toda vez que para llegar al nodo 3 por medio del nodo 2, tendrá que recorrer como mínimo el valor absoluto del arco que une el origen con el nodo 2 = 100. Así entonces, la etiqueta del nodo 3 pasa a ser permanente.

Tabulamos la iteración 1:

Iteración 2:

En este paso, evaluamos las posibles salidas desde el nodo 3, es decir los nodos 4 y 5. De manera que debemos asignar las etiquetas para cada nodo:

Etiqueta nodo 4 = [valor acumulado, procedencia] iteración

Etiqueta nodo 4 = [30 + 10, 3] 2

Etiqueta nodo 4 = [40, 3] 2

30 es el valor acumulado en la etiqueta del nodo de procedencia, en este caso el valor acumulado para el nodo 3. 10 es el valor del arco que une el nodo procedencia (3) y el nodo destino (4). 2 es el número de la iteración.

Etiqueta nodo 5 = [valor acumulado, procedencia] iteración

Etiqueta nodo 5 = [30 + 60, 3] 2

Etiqueta nodo 4 = [90, 3] 2

30 es el valor acumulado en la etiqueta del nodo de procedencia, en este caso el valor acumulado para el nodo 3. 60 es el valor del arco que une el nodo procedencia (3) y el nodo destino (5). 2 es el número de la iteración.

Iteración 3:

En este paso, evaluamos las posibles salidas desde el nodo 4, es decir los nodos 2 y 5. De manera que debemos asignar las etiquetas para cada nodo:

Etiqueta nodo 2 = [valor acumulado, procedencia] iteración

Etiqueta nodo 2 = [40 + 15, 4] 3

Etiqueta nodo 2 = [55, 4] 3

40 es el valor acumulado en la etiqueta del nodo de procedencia, en este caso el valor acumulado para el nodo 4. 15 es el valor del arco que une el nodo procedencia (4) y el nodo destino (2). 3 es el número de la iteración.

Etiqueta nodo 5 = [valor acumulado, procedencia] iteración

Etiqueta nodo 5 = [40 + 50, 4] 3

Etiqueta nodo 5 = [90, 4] 3

40 es el valor acumulado en la etiqueta del nodo de procedencia, en este caso el valor acumulado para el nodo 3. 50 es el valor del arco que une el nodo procedencia (4) y el nodo destino (5). 3 es el número de la iteración.

En este caso, podemos observar que el nodo 2 ahora cuenta con 2 etiquetas temporales, y definitivas, ya que no existe otra ruta hacia dicho nodo. De manera que se elige la etiqueta que tenga el menor valor acumulado. Así entonces, la etiqueta del nodo 2 con procedencia del nodo 4, pasa a ser permanente.

Tabulamos la iteración 3:

Iteración 4:

En este paso, evaluamos las posibles salidas desde el nodo 2 y el nodo 5. Sin embargo, el nodo 2 solo tiene un posible destino, el nodo 3, el cual ya tiene una etiqueta permanente, de manera que no puede ser reetiquetado. Ahora, evaluamos el nodo 5 y es un nodo que no tiene destinos. Así entonces, su etiqueta temporal pasa a ser permanente, en este caso cuenta con 2 etiquetas que tienen el mismo valor, es decir, alternativas óptimas. De esta manera concluye el algortimo de Dijkstra.

¿Cuál es la ruta más corta? La ruta más corta entre el nodo 1 (origen) y cualquier otro nodo de la red (destino), se determina partiendo desde el nodo destino y recorriendo las procedencias de sus etiquetas. Por ejemplo:

¿Cuál es la ruta más corta entre el nodo 1 y el nodo 4?

En este caso, debemos partir desde la etiqueta del nodo 4.

La ruta más corta entre el nodo 1 y el nodo 4 tiene un valor acumulado de: 40

Es necesario considerar, que los valores utilizados en los arcos de la red objeto de estudio del algoritmo de Dijkstra, no necesariamente representan distancias. Si bien, es un modelo que aborda el denominado «problema de la ruta más corta»; en la práctica, puede utilizarse para optimizar: distancia, costos, tiempo.

De hecho, los sistemas de ruteo utilizados en la actualidad, priorizan los costos y el tiempo como variable decisión de los modelos de optimización.