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Método de aproximación de Vogel

Bryan Salazar López — Tue, 11 Jun 2019 19:59:25 +0000

El método de aproximación de Vogel es un método heurístico de resolución de problemas de transporte, capaz de alcanzar una solución básica no artificial de inicio. Este modelo requiere de la realización de un número generalmente mayor de iteraciones que los demás métodos heurísticos existentes con este fin, sin embargo produce mejores resultados iniciales que los mismos.

Algoritmo de Vogel

El método consiste en la realización de un algoritmo que consta de 3 pasos fundamentales y 1 más que asegura el ciclo hasta la culminación del método.

Paso 1

Determinar para cada fila y columna una medida de penalización restando los dos costos menores en filas y columnas.

Paso 2

Escoger la fila o columna con la mayor penalización, es decir que de la resta realizada en el «Paso 1» se debe escoger el número mayor. En caso de haber empate, se debe escoger arbitrariamente (a juicio personal).

Paso 3

De la fila o columna de mayor penalización determinada en el paso anterior debemos de escoger la celda con el menor costo, y en esta asignar la mayor cantidad posible de unidades. Una vez se realiza este paso una oferta o demanda quedará satisfecha por ende se tachará la fila o columna, en caso de empate solo se tachará 1, la restante quedará con oferta o demanda igual a cero (0).

Paso 4: De ciclo y excepciones

Si queda sin tachar exactamente una fila o columna con cero oferta o demanda, detenerse.
Si queda sin tachar una fila o columna con oferta o demanda positiva, determine las variables básicas en la fila o columna con el método de costos mínimos, detenerse.
Si todas las filas y columnas que no se tacharon tienen cero oferta y demanda, determine las variables básicas cero por el método del costo mínimo, detenerse.
Si no se presenta ninguno de los casos anteriores vuelva al paso 1 hasta que las ofertas y las demandas se hayan agotado.

Ejemplo de Método de aproximación de Vogel

Por medio de este método resolveremos el ejercicio de transporte resuelto en módulos anteriores mediante programación lineal.

El problema

Una empresa energética colombiana dispone de cuatro plantas de generación para satisfacer la demanda diaria eléctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla. Las plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al día respectivamente. Los costos asociados al envío de suministro energético por cada millón de KW entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.

Formule un modelo de programación lineal que permita satisfacer las necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte.

Solución paso a paso

El primer paso es determinar las medidas de penalización y consignarlas en el tabulado de costos, tal como se muestra a continuación.

El paso siguiente es escoger la mayor penalización, de esta manera:

El paso siguiente es escoger de esta columna el menor valor, y en una tabla paralela se le asigna la mayor cantidad posible de unidades, podemos observar como el menor costo es «2» y que a esa celda se le pueden asignar como máximo 60 unidades «que es la capacidad de la planta 3».

Dado que la fila de la «Planta 3» ya ha asignado toda su capacidad (60 unidades) esta debe desaparecer.

Se ha llegado al final del ciclo, por ende se repite el proceso

Iniciamos una nueva iteración

Continuamos con las iteraciones…

Iniciamos otra iteración

Al finalizar esta iteración podemos observar como el tabulado queda una fila sin tachar y con valores positivos, por ende asignamos las variables básicas y hemos concluido el método.

Los costos asociados a la distribución con el método de aproximación de Vogel son:

De esta manera se ha determinado una solución, la cual también fue obtenida mediante programación lineal, definitivamente desarrollar la capacidad para modelar mediante programación lineal y apoyarse de una buena herramienta como WinQSB, STORM, LINGO, TORA etc. termina siendo mucho más eficiente que la utilización de los métodos heurísticos para problemas determinísticos.

Sin embargo, cabe recordar que uno de los errores más frecuentes en los que caen los ingenieros industriales es en tratar de adaptar sus organizaciones a los modelos establecidos, cabe recordar que son los modelos los que deben adaptarse a las necesidades, lo cual requiere de determinada habilidad para realizar de forma inmediata cambios innovadores para sus fines.

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Problema del transporte o distribución

Bryan Salazar López — Tue, 11 Jun 2019 00:59:22 +0000

El problema del transporte o distribución, es un problema de redes especial en programación lineal que se funda en la necesidad de llevar unidades de un punto específico llamado fuente u origen hacia otro punto específico llamado destino. Los principales objetivos de un modelo de transporte son la satisfacción de todos los requerimientos establecidos por los destinos, y claro está, la minimización de los costos relacionados con el plan determinado por las rutas escogidas.

El contexto en el que se aplica el modelo de transporte es amplio y puede generar soluciones relacionadas con el área de operaciones, inventario y asignación de elementos.

El procedimiento de resolución de un modelo de transporte se puede llevar a cabo mediante programación lineal común, sin embargo su estructura permite la creación de múltiples alternativas de solución tales como los modelos de asignación, o los métodos de flujos de red. También es posible emplear los heurísticos más populares como Vogel, Esquina Noroeste o Mínimos Costos.

Los problemas de transporte o distribución son uno de los más aplicados en la economía actual, dejando, como es de prever, múltiples casos de éxito a escala global que estimulan la aprehensión de los mismos.

Problema de transporte mediante programación lineal

Como se mencionó anteriormente, la programación lineal puede ser utilizada para la resolución de modelos de transporte, aunque no sea sensato resolver los modelos mediante el Método Simplex, si puede ser de gran utilidad la fase de modelización, ya que la programación carece de la practicidad de los métodos de asignación, pero puede ser de gran importancia dependiendo de la complejidad de las restricciones adicionales que puede presentar un problema particular.

El problema

Una empresa energética colombiana dispone de cuatro plantas de generación para satisfacer la demanda diaria eléctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla. Las plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al día respectivamente. Los costos asociados al envío de suministro energético por cada millón de KW entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.

Formule un modelo de programación lineal que permita satisfacer las necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte.

Solución mediante programación lineal

El modelo básico de transporte es el modelo en el cual la cantidad ofertada es igual a la cantidad demandada, como es el caso de este ejercicio, sin embargo trasladar esta suposición a la realidad es casi imposible por lo cual hace falta crear orígenes y/o destinos ficticios con el excedente de oferta y/o demanda (es sugerible que se haga con la demanda).

Como ya lo hemos planteado en módulos anteriores el primer paso corresponde a la definición de las variables, regularmente se le denomina a las variables de manera algebraica X_i,j donde i simboliza a la fuente y j simboliza al destino. En este caso i define el conjunto {Planta 1, Planta 2, Planta 3 y Planta 4}, y j define el conjunto {Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla}. Sin embargo es práctico renombrar cada fuente y destino por un número respectivo, por ende la variable X_1,2 corresponde a la cantidad de millones de KW enviados diariamente de la Planta 1 a la ciudad de Bogotá.

El segundo paso corresponde a la formulación de las restricciones de oferta y demanda, cuya cantidad se encuentra determinada por el factor entre fuentes y destinos, en este caso 16 restricciones.

Restricciones de oferta o disponibilidad, las cuales son de signo ≤:

X_1,1 + X_1,2 + X_1,3 + X_1,4 ≤ 80

X_2,1 + X_2,2 + X_2,3 + X_2,4 ≤ 30

X_3,1 + X_3,2 + X_3,3 + X_3,4 ≤ 60

X_4,1 + X_4,2 + X_4,3 + X_4,4 ≤ 45

Restricciones de demanda, las cuales son de signo ≥:

X_1,1 + X_2,1 + X_3,1 + X_4,1 ≥ 70

X_1,2 + X_2,2 + X_3,2 + X_4,2 ≥ 40

X_1,3 + X_2,3 + X_3,3 + X_4,3 ≥ 70

X_1,4 + X_2,4 + X_3,4 + X_4,4 ≥ 35

Luego se procede a formular la función objetivo, en la cual se relaciona el costo correspondiente a cada ruta.

Z_MIN = 5X_1,1 + 2X_1,2 + 7X_1,3 + 3X_1,4 + 3X_2,1 + 6X_2,2 + 6X_2,3 + 1X_2,4 + 6X_3,1 + 1X_3,2 + 2X_3,3 + 4X_3,4 + 4X_4,1 + 3X_4,2 + 6X_4,3 + 6X_4,4

Luego se puede proceder al uso de la herramienta WinQSB para resolver el modelo realizado, aquí están los resultados.

Este problema presenta una solución óptima alternativa, aquí los resultados.

Red solución:

Los análisis de dualidad y sensibilidad en los modelos de transporte resultan ser bastante interesantes, pues pueden llegar a determinar aumentos de capacidad en las fuentes si el precio sombra de las rutas en relación a ellas lo justifica.

Lo invitamos a leer la Solución de un modelo de transporte mediante un algoritmo de asignación, empleando el solucionador de Google

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