Teoría de redes

Bryan Salazar López — Wed, 12 Jun 2019 18:31:19 +0000

La modelación de redes permite la resolución de múltiples problemas de programación matemática mediante la implementación de algoritmos especiales creados para tal fin, conocidos como Algoritmos de optimización de redes.

Dentro de los problemas más comúnmente resueltos mediante la modelación de redes se encuentran los ya vistos modelos de transporte, transbordo además de los muy conocidos modelos de determinación de cronograma de actividades para proyectos como lo son el PERT y el CPM.

Conceptos básicos en teoría de redes

Gráfica: Una gráfica es una serie de puntos llamados nodos que van unidos por unas líneas llamadas ramales o arcos.

Red: Una red es una gráfica que presenta algún tipo de flujo en sus ramales. Por ejemplo una gráfica cuyo flujo en sus ramales sea la electricidad es una red eléctrica. En las redes se usa una simbología específica para denotar su tamaño y elementos que la constituyen, dicha notación es la (N, A) donde N representa el número de nodos que contiene la red y A representa el número de arcos o ramales.

Cadena: Una cadena corresponde a una serie de elementos ramales que van de un nodo a otro. En el siguiente caso se resalta una cadena que va desde el nodo 1 hasta el nodo 7 y que se compone por los elementos [1-4, 4-7].

Ruta: Una ruta corresponde a los nodos que constituyen una cadena, en el siguiente caso [1, 4, 7].

Ciclo: Un ciclo corresponde a la cadena que une a un nodo con sigo mismo, en el siguiente ejemplo el ciclo está compuesto por la cadena [4-2, 2-5, 5-7, 7-4].

Ramal orientado: Un ramal o arco orientado es aquel que tiene un sentido determinado, es decir que posee un nodo fuente y un nodo destino.

Gráfica orientada: Una gráfica orientada es aquella en la cual todos sus ramales se encuentran orientados.

Árbol: Un árbol es una gráfica en la cual no existen ciclos, como el siguiente ejemplo.

Árbol de expansión: Un árbol de expansión es aquel árbol que enlaza todos los nodos de la red, de igual manera no permite la existencia de ciclos.

Nodo fuente: El nodo fuente es aquel nodo en el cual todos sus ramales se encuentran orientados hacia afuera.

Nodo destino: El nodo destino es aquel nodo en el cual todos sus ramales se encuentran orientados hacia él.

Algoritmo árbol de expansión mínima

El algoritmo del árbol de expansión mínima es un modelo de optimización de redes que consiste en enlazar todos los nodos de la red de forma directa y/o indirecta con el objetivo de que la longitud total de los arcos o ramales sea mínima (entiéndase por longitud del arco una cantidad variable según el contexto operacional de minimización, y que puede bien representar una distancia o unidad de medida).

Sean:

N = {1,2,3,…,n} el conjunto de nodos de la red.

C_k= Conjunto de nodos que se han enlazado de forma permanente en la iteración k

Č_k= Conjunto de nodos que hacen falta por enlazarse de forma permanente.

Paso cero(0): Conceptualización del algoritmo

Definir los conjuntos C₀ = {ø} y Č₀ = {N}, es decir que antes del paso 1 no se han enlazado de forma permanente nodo alguno, y por ende el conjunto que representa a los nodos que hacen falta por enlazarse de forma permanente es igual a la cantidad de nodos que existen en la red.

Paso 1:

Se debe de escoger de manera arbitraria un nodo en el conjunto Č₀ llamado i el cual será el primer nodo permanente, a continuación se debe de actualizar el conjunto C₁ = {i}, que significa que al tiempo en que el conjunto C₁ gana el elemento i el conjunto Č₀pierde el elemento i por ende ahora será igual a Č₁ = N – {i}, además se debe actualizar el subíndice de los conjuntos k, el cual ahora será igual a 2.

Paso 2: Paso general «K»

Se debe de seleccionar un nodo j del conjunto Č_K-1 («k-1» es el subíndice que indica que se está haciendo referencia al conjunto de la iteración inmediatamente anterior) el cual tenga el arco o ramal con menor longitud con uno de los nodos que se encuentran en el conjunto de nodos de enlace permanente C_K-1. Una vez seleccionado se debe de enlazar de forma permanente lo cual representa que pasa a formar parte del conjunto de enlaces permanentes y deja de formar parte del conjunto que todavía se debe conectar para lograr la expansión. Al actualizar el algoritmo en este paso los conjuntos deben de quedar de la siguiente forma.

C_K = C_K-1 + {j} mientras que Č_K = Č_K-1 – {j}

El paso general que define k que al mismo tiempo representa a las iteraciones debe de ejecutarse toda vez que el conjunto Č_K no sea vacío, cuando este conjunto sea igual a vacío se tendrá el árbol de expansión mínima.

El entendimiento del algoritmo desde el punto de vista algebraico no es quizá el más simple, sin embargo mediante el ejemplo gráfico se verá que es un algoritmo muy sencillo de elaborar.

Solución de un problema de árbol de expansión mínima

El problema

La ciudad de Cali cuenta con un nuevo plan parcial de vivienda el cual contará con la urbanización de más de 7 proyectos habitacionales que se ubicarán a las afueras de la ciudad. Dado que el terreno en el que se construirá no se encontraba hasta ahora dentro de las zonas urbanizables de la ciudad, el acueducto municipal no cuenta con la infraestructura necesaria para satisfacer las necesidades de servicios públicos en materia de suministro de agua. Cada uno de los proyectos de vivienda inició la construcción de un nodo de acueducto madre, el cual cuenta con las conexiones de las unidades de vivienda propias de cada proyecto (es decir que cada nodo madre solo necesita estar conectado con un ducto madre del acueducto municipal para contar con su suministro). El acueducto municipal al ver la situación del plan parcial debe de realizar las obras correspondientes a la instalación de ductos madres que enlacen todos los nodos del plan con el nodo Meléndez (nodo que se encuentra con suministro de agua y que no pertenece al plan parcial de vivienda, además es el más cercano al mismo), la instalación de los ductos implica obras de excavación, mano de obra y costos de los ductos mismos, por lo cual optimizar la longitud total de los enlaces es fundamental. Las distancias existentes (dadas en kilómetros) correspondientes a las rutas factibles capaces de enlazar los nodos del plan parcial se presentan a continuación. Además la capacidad de bombeo del nodo Meléndez es más que suficiente para satisfacer las necesidades de presión que necesita la red madre.

El acueducto municipal le contacta a usted para que mediante sus conocimientos en teoría de redes construya una red de expansión que minimice la longitud total de ductos y que enlace todos los nodos del plan parcial de vivienda.

PASO 0:

Se definen los conjuntos iniciales C₀ = {ø} que corresponde al conjunto de nodos enlazados de forma permanente en la iteración indicada en el subíndice y Č₀ = {N = 1,2,3,4,5,6,7,8} que corresponde al conjunto de nodos pendientes por enlazar de manera permanente en la iteración indicada en el subíndice.

PASO 1:

Se debe definir de manera arbitraria el primer nodo permanente del conjunto Č₀, en este caso escogeremos el nodo 1 (puede ser cualquier otro), que algebraicamente se representa con la letra i, se procede a actualizar los conjuntos iniciales, por ende C₁ = {i} = {1} y Č₀ = {N – i} = {2,3,4,5,6,7,8}, actualizamos k por ende ahora será igual a 2.

PASO 2:

Ahora se debe seleccionar el nodo j del conjunto Č_K-1 (es decir del conjunto del paso 1) el cual presente el arco con la menor longitud y que se encuentre enlazado con uno de los nodos de enlace permanente del conjunto C_k-1 en el cual ahora solo se encuentra el nodo 1 (es decir que se debe de encontrar un nodo que tenga el arco de menor longitud enlazado al nodo 1).

Los arcos o ramales de color naranja representan los arcos que enlazan el conjunto Č_K-1 (es decir del conjunto del paso 1, recordemos que K en este paso es igual a 2, por ende Č_K-1= Č₁) con los nodos de enlace permanente del conjunto C_k-1 en el cual ahora solo se encuentra el nodo 1, por ende ahora solo falta escoger el de menor longitud, que en este caso es el arco cuya longitud es 2, que enlaza de forma permanente ahora el nodo 2.